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第01讲 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课程标准 学习目标
①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；
知识点01：实数系
（1）实数系的分类
(2)实数的性质
①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；
②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；
③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.
知识点02：复数的概念
（1）复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.
所以实数系经过扩充后得到的新数集是.
（2）复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（3）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？
（2）若，且，则实数的值分别为多少？
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由已知得，
解得；
（2）由已知得，
解得或.
知识点03：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
题型01 虚数单位及其性质
【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习） .
【答案】0
【详解】，
故答案为：0.
【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习） ．
【答案】/
【详解】∵，∴，
则，故原式．
故答案为：.
【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】，
故选：A
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）原式；
（2）原式，
.
题型02 复数的基本概念
【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
【答案】答案见解析
【详解】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6．
4，0是实数；
，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数．
【典例2】（2021·高一课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【答案】A
【详解】由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0.
故选：A.
【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【详解】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．存在x使得小于0 B．存在x使得
C．不是实数 D．实部和虚部均为1
【答案】AB
【详解】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A正确；
当x＝时，，故B正确；
当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确；
由于x的取值未知，故D错误．
故选：.
题型03 求复数的实部与虚部
【典例1】（2024上·广东·高二学业考试）若复数，则复数的虚部为（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【答案】B
【详解】的虚部为-5.
故选：B
【典例2】（多选）（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意得：，，
解得：或，，或或，
故选：ACD.
【变式1】（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）复数，则复数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故虚部为.
故选：B
【变式2】（2023上·云南·高二校联考期中）已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
题型04 复数相等的充要条件
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）由题意得，解得.
【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知，求实数，的值．
【答案】
【详解】解根据两个复数相等的充要条件，可得
整理得解得
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）设，，若复数，求，．
【答案】
【详解】根据复数相等的定义可得，
解得.
题型05 复数的分类
【典例1】（2022下·山东青岛·高一统考期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
【答案】A
【详解】解：由是纯虚数，得，解得．
故选：A.
【典例2】（2023下·上海奉贤·高一校考阶段练习）若复数是实数，则实数 .
【答案】
【详解】复数是实数，则有，解得.
故答案为：.
【典例3】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.
【答案】(1)或 (2)且 (3)
【详解】（1）由题意复数，
当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即且时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
【变式1】（2022下·天津和平·高一校联考期末）若是纯虚数，则实数的值等于（ ）
A．0或2 B．2或 C． D．2
【答案】C
【详解】因为是纯虚数，所以，解得；
故选：C.
【变式2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： .
【答案】
【详解】由，解得，故.
故答案为：
【变式3】（2021下·河南新乡·高二辉县市第一高级中学校考阶段练习）在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【答案】（1）或4；（2）.
【详解】（1）因为复数为实数，所以，
所以或4．
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以.
题型06复数中的比较大小
【典例1】2．（2022下·高一课时练习）已知，且，则 .
【答案】或/或
【详解】因为，
所以，
由②解得或，
当时，，解得，
又因，所以或，
当时，，解得，
又，所以不存在这样的，
综上所述，或.
故答案为：或.
【典例2】（2022·高一课时练习）设，，且，若，则 ．
【答案】1
【详解】由于，，
所以且．
所以，解得，
此时，，满足．
故答案为：1．
【变式1】（2022下·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
【变式2】（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知，，且，则实数 ．
【答案】－2
【详解】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故．
故答案为：－2
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】复数的虚部是.
故选：D.
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
3．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.
故选：A．
4．（2021下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数为纯虚数, .
故选:A.
5．（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
【答案】B
【详解】复数是纯虚数，则，解得.
故选：B
6．（2022下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
【答案】B
【详解】因为为纯虚数，
故，则，解得.
故选：B
7．（2022上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）已知，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）
对于D：，D正确.
故选：AB.
10．（2022·高一课时练习）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
【答案】ACD
【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误；
选项B中，时，为纯虚数，正确；
选项C中，若是纯虚数，则，即，
所以，错误；
选项D中，没有给出是实数，当时，
也是虚数，错误.
故选：ACD
三、填空题
11．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
【答案】
【详解】由复数为纯虚数，可知，
，得.
故答案为：
12．（2023下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 .
【答案】
【详解】，
，令，
根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减，
，
所以的范围为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)或
(2)或或或
(3)
【详解】（1）因为，为实数，且，
则，解得或；
（2）因为且，为实数，
所以，解得或，
解得或，
所以或或或；
（3）因为且，为实数，
所以，解得.
14．（2023·全国·高一课堂例题）当为何实数时，复数分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当且，即时，复数是纯虚数；
（4）当且，即时，复数．
B能力提升
1．（2023下·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
2．（2022·辽宁沈阳·统考三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2021下·山西太原·高二校考阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，
故为实数
或
故选：A
4．（2022上·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知复数，，（，，），且．
(1)若且，求的值；
(2)设，关于的方程在上恰有解，求实数的值以及方程的解集．
【答案】(1)或
(2)，解集为
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，即或．
（2）因为，
关于的方程在上恰有解，则，如图所示，
此时，，，，故解集为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课程标准 学习目标
①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；
知识点01：实数系
（1）实数系的分类
(2)实数的性质
①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；
②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；
③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.
知识点02：复数的概念
（1）复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.
所以实数系经过扩充后得到的新数集是.
（2）复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（3）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？
（2）若，且，则实数的值分别为多少？
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由已知得，
解得；
（2）由已知得，
解得或.
知识点03：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
题型01 虚数单位及其性质
【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习） .
【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习） ．
【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
题型02 复数的基本概念
【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
【典例2】（2021·高一课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．存在x使得小于0 B．存在x使得
C．不是实数 D．实部和虚部均为1
题型03 求复数的实部与虚部
【典例1】（2024上·广东·高二学业考试）若复数，则复数的虚部为（ ）
A．5 B．-5 C．5 D．-5
【典例2】（多选）（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）的实部
【典例3】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.
【变式1】（2022下·天津和平·高一校联考期末）若是纯虚数，则实数的值等于（ ）
A．0或2 B．2或 C． D．2
【变式2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： .
【变式3】（2021下·河南新乡·高二辉县市第一高级中学校考阶段练习）在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
题型06复数中的比较大小
【典例1】2．（2022下·高一课时练习）已知，且，则 .
【典例2】（2022·高一课时练习）设，，且，若，则 ．
【变式1】（2022下·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【变式2】（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知，，且，则实数 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．（2021下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
6．（2022下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
7．（2022上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）已知，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．（2022·高一课时练习）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
三、填空题
11．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
12．（2023下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 .
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
14．（2023·全国·高一课堂例题）当为何实数时，复数分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
B能力提升
1．（2023下·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁沈阳·统考三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021下·山西太原·高二校考阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2022上·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知复数，，（，，），且．
(1)若且，求的值；
(2)设，关于的方程在上恰有解，求实数的值以及方程的解集．
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