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第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课程标准 学习目标
①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等；
知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，
则挖洞后几何体的表面积为．
故答案为：102.28.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥，
所以表面积为，
故答案为：.
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为 ．
【答案】/
【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面，
故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，

则圆台的体积为，
故答案为：
知识点03：球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
【答案】/
【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
题型01圆柱的表面积与体积
【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意作图如下：
由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，
该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，
故该圆柱的侧面积，
当时，侧面积取得最大值．
故选：C.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为 ．
【答案】 5cm
【详解】大圆柱的表面积为，
小圆柱的侧面积为，上、下底面积之和为，
所以加工后物件的表面积为，
所以当(cm)时，表面积最大．
故答案为：5cm.
【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
(2)试求圆柱侧面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为圆锥的底面半径，高.
所以圆锥的母线长、
圆锥体积.
设圆柱的高，则，所以，
圆柱体积，
剩余部分体积为，
（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中，设，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
当时，有最大值为，
方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
当时，有最大值为.
【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】当圆柱底面半径为，高为时，表面积；
当圆柱底面半径为，高为时，表面积.
故选：CD
【变式2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，

(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【答案】(1)体积为，表面积为；
(2)
【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)元
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
题型02 圆锥的表面积与体积
【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.

【典例2】（2024上·山东潍坊·高三统考期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，可得圆锥的母线长，
设圆锥的底面半径为r，则，解之得，
则圆锥的高
则该圆锥的体积为
故选：C
【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为 ．（交通锥筒的厚度忽略不计）．
【答案】
【详解】解法一：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为．
因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的底面周长为，
故，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
解法二：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，面积为．
因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的侧面积为，
故，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：.
【变式1】（2024上·四川南充·高二统考期末）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面积公式即可.
【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为，
则，
故选：B.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，侧面展开图扇形SAB的面积为，则此圆锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的侧面积，所以，
所以圆锥的高，
故圆锥的体积.
故选：A.
【变式3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为，侧面积为，则该建筑的高为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设该建筑的母线长为，高为，则由其侧面积为，可得，
解得，所以．
故选：C．
题型03 圆台的表面积与体积
【典例1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
利用弧长公式可得，解得
又，解得；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
【典例2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：
则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，
母线5，
所以圆台的表面积.
故选：D
【典例3】（多选）（2024·全国·高一假期作业）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
【答案】BCD
【详解】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆台的母线长为．高为．
所以，解得，
所以．
所以该圆台的体积．
故选：D．
【变式2】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为圆台纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为 ，
所以圆台的母线为长，
则该纸镇下部的侧面积为，
该纸镇下部的体积为.
故选：C.
【变式3】（多选）（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ ）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．该圆台有内切球，且半径为
【答案】AB
【详解】对于A，由，可得高，
则圆台轴截面ABCD的面积为，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为，
又，，
所以，故B正确；
对于C，圆台的体积为，故C错误；
对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误，
故选：AB.
题型04 球的表面积与体积
【典例1】（2024上·湖南娄底·高三统考期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高为，将该圆柱注满水，然后将一个半径为的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积，
即.
故选：B
【典例2】（2024上·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,
则该球为正方体的内切球，故球的半径为，
则球的表面积为.
故选：C.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆的半径为，因为圆M的面积为，可得，解得，
设球O的半径为，由截面圆的性质，可得，即，
解得，所以球的表面积为．
故选：C．
【变式2】（2024·全国·高一假期作业）如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设实心球的半径为 ，实心金属几何体的体积.
因为 ，所以，所以该球的直径为.
故选：C
题型05 简单组合体的表面积与体积
【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的底面半径为r，则，高为，
故圆锥的体积为，
圆柱的底面半径也为，母线长也即高为4，
则圆柱的体积为，
故几何体的体积为，
故选：C
【典例2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：，
所以cm，
所以cm，
所以两个球冠的面积为cm2，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：
cm2，
故选：C.
【变式1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得，
因为圆锥的侧面积为，所以．
故该几何体的体积为．
故选：B.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．

【答案】/
【详解】由题意知圆台的体积为，
如图可知，则球心到圆台上底面的距离为，

故球缺的高为，
故球缺的体积为，
所以组合体的体积为，
故答案为：．
题型06 球的截面问题
【典例1】2．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
【答案】
圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.
【详解】设球O半径为R，由，得，
平面截球O所得截面小圆半径，由，得，
因此，球心O到平面的距离，
而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，
于是得圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，
点C为弦中点，如图，由题意，，
则，，，
所以.
故答案为：.
【典例2】（2023上·上海·高二校考期中）球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【答案】
【详解】设球的半径为，因为，，，则，
所以，，则为直角三角形，且为斜边，
所以，的外接圆半径为，
因为所确定的截面到球心的距离等于球半径的，
则，可得，
因此，该球的体积为.
故答案为：.
【变式1】（2023上·上海·高二专题练习）若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】设两球的半径分别为，，则由题意得，
解得，故；
故选： A.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则 ；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为 .
【答案】 ； .
【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，
易知球O的半径，
所以，，所以；
设MN的中点为C，连接PC，DM，则，
易知，，所以，所以.
过O点作，垂足为E，易知，则，
又，则.
设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，
则，所以截面的面积为.
故答案为：；.
题型07 球的切、接问题
【典例1】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】根据题意可知，如下图所示：
当的面积最大时，即取得最大值，
可得，
由对称性可知，可得；
又因为为的中点，所以，
又，由勾股定理可知棱两两垂直，
所以三棱锥的外接球半径为，
可得该外接球的表面积，
故答案为：.
【典例2】（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．

【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接．

由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，
则正八面体的体积为．
此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面．
由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，
其半径，所以所得截面的面积为．
故答案为：；.
【典例3】（2024·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．
【答案】
【详解】取的中点，连接，因为底面为等腰三角形，，所以，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为三角形为等腰三角形，，则，设，则，
设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，
连接，则三点共线，由平面得平面，
由正弦定理得，故，则，
连接，则，由平面，且三角形外接圆的圆心为，可得，
因为平面，所以，又平面，平面，故平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
又因为点到平面的距离的最大值为，所以，解得，所以，球的表面积为.
故答案为：.
【典例4】（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
【答案】
【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q，
上、下底面的中心分别为，，
设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，
所以，
，同理．
因为内切球与平面相切，切点在上，
所以①，
在等腰梯形中，②，
由①②得．
在梯形中，③，
由②③得，代入得，则棱台的高，
所以棱台的体积为．
故答案为：.

【变式1】（2024上·青海西宁·高三统考期末）在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】因为，，取的中点，
易知，
所以为四面体外接球的一条直径.
又，所以四面体外接球的表面积.
故答案为：.
【变式2】（2024·陕西铜川·统考一模）A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为 .
【答案】
【详解】由题意可知为球的直径，设到面的距离为，
易知等边的面积为，
所以，则球心到面的距离为1，
设面，易知为等边的外心，
所以，
故.
故答案为：
【变式3】（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .
【答案】3
【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上，
，则，侧面上高为，
则正三棱锥的表面积为，
则正三棱锥的体积为，
即，故，
又，则，则，
故，
令，则，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为3，
故答案为：3
【变式4】（2024·全国·模拟预测）已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】或
【详解】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l．如图：为圆锥的轴截面
所以
由①得③．
由得④．
将③代入④，得或，
所以或．
故答案为：或.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得，
所以该圆锥的高为.
故选：A
2．（2024·全国·高一假期作业）两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】C
【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.
【详解】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.
故选：C.
3．（2024·全国·高三专题练习）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，
圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为，
故选：C.
4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三棱锥补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积.
【详解】将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
如图，的中点即为外接球的球心，为直径，
由勾股定理得，
故半径为，球的表面积为.
故选：B
5．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知圆锥的底面半径为2，若圆锥被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出圆锥的高，由题意可得，结合圆锥体积公式计算即可得体积.
【详解】设圆锥的高为，由题意可得，即，
则圆锥的体积为.
故选：C.
6．（2024·全国·高一假期作业）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5，
则，
所以.
故选：D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知的三个顶点都在球O的表面上，两直角边AC，BC的长度分别为3，，若四面体OABC的体积为，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，连接OD，则平面ABC，根据三棱锥的体积公式求出OD，利用勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】由已知得的斜边，
设AB的中点为D，连接DC，则D是的外心，且，
连接OD，易知平面ABC，所以OD是四面体OABC的高，
又四面体OABC的体积为，所以，解得．
设球O的半径为R，则，
所以球O的表面积为，
故选：A．

8．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，该圆台的内切球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆台与球内切可求出球的半径和母线长，进而求出圆台的体积.
【详解】设该圆台的内切球的半径为，下底面半径为，
易知球的轴截面与圆台的轴截面内切，如图所示，
由题知，，，
圆台的高为，母线长为，
在中，，
即，解得，
圆台的体积为，
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知的三边长分别是，，，则（ ）
A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为
D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
【答案】AD
【分析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，可知A正确，B错误；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是两个同底的圆锥组合体，求出其表面积和体积，可知C错误，D正确．
【详解】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误；
以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，表面积为，体积为，故C错误，D正确．
故选：AD．
10．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．正方体的内切球的半径为
B．两条异面直线和所成的角为
C．直线BC与平面所成的角等于
D．点D到面的距离为
【答案】BC
【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接，把异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角，为正三角形，可判定B正确；证得平面，进而求得直线与平面所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到，进而可判定D错误.
【详解】对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误.
对于B中，如图所示，连接，
因为且，则四边形为平行四边形，所以，
所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小，
又因为，则为正三角形，即，所以B正确；
对于C中，如图所示，连接，在正方形中，.
因为平面，平面，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面，所以直线与平面所成的角为，
所以C正确；
对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形，
所以,
又因为，根据等体积转换可知：，
即，即，解得，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2024·全国·模拟预测）已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为，则该圆台的体积为 ．
【答案】/
【分析】根据上下底面半径和母线长求得圆台的高，然后再利用圆台的体积公式计算得到答案.
【详解】由题意知作出圆台示意图，如图，所以可得圆台的高，
所以圆台的体积．
故答案为：.
12．（2024·全国·高一假期作业）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
【答案】
【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，进而得到球的半径，进而根据球体的表面积公式计算即可.
【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：
则，则，
因为球的直径即为长方体的体对角线，
则球的半径为，
所以球的表面积是.
故答案为：.
四、解答题
13．（2024·全国·高一假期作业）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.
(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据弧长公式计算可得；
（2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为，根据三角形相似求出，即可得解.
【详解】（1）因为圆锥的底面半径，母线长，
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则.
（2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为，
则，，
易知
，即，，圆柱的侧面积.
14．（2024上·上海宝山·高二校考期末）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
(1)求圆锥筒的容积；
(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积；
（2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可.
【详解】（1）设圆锥筒的半径为，容积为，
∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，
∴，解得，
∴，
∴.
∴圆锥筒的容积为.
（2）设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图，
得，
所以内接圆柱侧面积
，
所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为.
B能力提升
1．（2024上·重庆·高二校联考期末）正方体棱长为1，则三棱锥内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三棱锥内切球半径为，
三棱锥的表面积
，
三棱锥的体积，
因为，
所以，解得，
所以三棱锥内切球的表面积为.
故选：C.
【答案】
【详解】
如图，由题意可知旋转角度为，设上、下正四边形的中心分别为，，连接，
则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，OA即该几何体外接球的半径，
设棱长为4a，则侧面积为，
，，，过点B作于点C，
则，，
易得四边形为矩形，即，，
则，即该“四角反棱柱”外接球的半径．
外接球表面积为，
该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为．
故答案为：.
4．（2024·河南郑州·统考一模）已知是正四面体的外接球的一条直径，点在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】如下图所示：

设点在平面内的摄影为，为的中点，易知在上，且平面；
又正四面体的棱长是2，所以可得，
在正中，由勾股定理可得；
设外接球半径为，则可知，
即，解得；
易知，
又因为是外接球的一条直径，所以，且；
因此，
易知，
所以，；
因此可知的取值范围为.
故答案为：
5．（2024上·广东中山·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 .
【答案】.
【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，
则四面体体积之比.
事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而
.
设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得
，则，
，则，
所以；
同理可得.
所以，解得，即，从而.
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课程标准 学习目标
①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等；
知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，
则挖洞后几何体的表面积为．
故答案为：102.28.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥，
所以表面积为，
故答案为：.
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为 ．
【答案】/
【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面，
故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，

则圆台的体积为，
故答案为：
知识点03：球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
【答案】/
【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
题型01圆柱的表面积与体积
【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为 ．
【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
(2)试求圆柱侧面积的最大值.
【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，

(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
题型02 圆锥的表面积与体积
【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·山东潍坊·高三统考期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为 ．（交通锥筒的厚度忽略不计）．
【变式1】（2024上·四川南充·高二统考期末）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，侧面展开图扇形SAB的面积为，则此圆锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为，侧面积为，则该建筑的高为（ ）

A． B． C． D．
题型03 圆台的表面积与体积
【典例1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）（2024·全国·高一假期作业）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（多选）（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ ）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．该圆台有内切球，且半径为
题型04 球的表面积与体积
【典例1】（2024上·湖南娄底·高三统考期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高为，将该圆柱注满水，然后将一个半径为的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高一假期作业）如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A． B． C． D．
题型05 简单组合体的表面积与体积
【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．

题型06 球的截面问题
【典例1】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
【典例2】（2023上·上海·高二校考期中）球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【变式1】（2023上·上海·高二专题练习）若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则 ；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为 .
题型07 球的切、接问题
【典例1】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .
【典例2】（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．

【典例3】（2024·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．
【典例4】（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
【变式1】（2024上·青海西宁·高三统考期末）在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为 .
A． B．
C． D．
4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知圆锥的底面半径为2，若圆锥被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·高一假期作业）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知的三个顶点都在球O的表面上，两直角边AC，BC的长度分别为3，，若四面体OABC的体积为，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，该圆台的内切球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知的三边长分别是，，，则（ ）
A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为
D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
10．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．正方体的内切球的半径为
B．两条异面直线和所成的角为
C．直线BC与平面所成的角等于
D．点D到面的距离为
三、填空题
11．（2024·全国·模拟预测）已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为，则该圆台的体积为 ．
12．（2024·全国·高一假期作业）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
四、解答题
13．（2024·全国·高一假期作业）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.
(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.
14．（2024上·上海宝山·高二校考期末）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
(1)求圆锥筒的容积；
(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值．
B能力提升
1．（2024上·重庆·高二校联考期末）正方体棱长为1，则三棱锥内切球的表面积为（ ）
A．B． C．D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为 ．
4．（2024·河南郑州·统考一模）已知是正四面体的外接球的一条直径，点在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为 ．
5．（2024上·广东中山·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 .
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