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第08讲 8.5.1 直线与直线平行
课程标准 学习目标
①会判断空间两直线的位置关系。 ②能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题。 1.让学生直观认识空间中直线与直线的位置关系，通过观察得出基 本事实 4.基本事实 4 表明了平行线的传递性，可以作为判断空间两条直线平行的依据， 同时它 给出了空间两条直线平行的一种证法 2.通过本节内容的学习，为学生学习立体几何知识打下基础， 同时能更好地提升学生直观想 象和罗辑推理等数学学科核心素养.
知识点01：直线与直线平行
（1）基本事实4（平行线的传递性）
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行
②图形语言：
③符号语言：直线,,
④作用：证明两条直线平行
⑤说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
（2）空间四边形
空间顺次连接不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形.如图中的四边形表示空间四边形.
点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的线段,,,连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段,.空间四边形的对角线不共面.
（3）等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言：,或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
【即学即练1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知和且，则 ．
【答案】或
【详解】如图1，此时，
如图2，此时，
故答案为：或.
题型01 基本事实4的应用
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【典例2】（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
【典例3】（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【变式1】（2024上·上海·高二校考期末）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是 ．
【变式2】（2023下·全国·高一随堂练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
题型02等角定理的应用
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，若，则（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25
【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）如果，，那么与之间具有什么关系？
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是 （填序号）．
【变式2】（2024上·上海·高二专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由．
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2023·全国·高一专题练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
5．（2023·全国·高一专题练习）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　）
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
6．（2023下·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行
二、填空题
7．（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则 .
9．（2023·全国·高一专题练习）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
三、解答题
10．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；
(2)求四边形的面积．
11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.
（1）证明: ，，.
（2）求的值.
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第08讲 8.5.1 直线与直线平行
课程标准 学习目标
①会判断空间两直线的位置关系。 ②能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题。 1.让学生直观认识空间中直线与直线的位置关系，通过观察得出基 本事实 4.基本事实 4 表明了平行线的传递性，可以作为判断空间两条直线平行的依据， 同时它 给出了空间两条直线平行的一种证法 2.通过本节内容的学习，为学生学习立体几何知识打下基础， 同时能更好地提升学生直观想 象和罗辑推理等数学学科核心素养.
知识点01：直线与直线平行
（1）基本事实4（平行线的传递性）
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行
②图形语言：
③符号语言：直线,,
④作用：证明两条直线平行
⑤说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
（2）空间四边形
空间顺次连接不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形.如图中的四边形表示空间四边形.
点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的线段,,,连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段,.空间四边形的对角线不共面.
（3）等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言：,或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
【即学即练1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知和且，则 ．
【答案】或
【详解】如图1，此时，
如图2，此时，
故答案为：或.
题型01 基本事实4的应用
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故选：A.
【典例2】（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
【典例3】（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【详解】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
【变式1】（2024上·上海·高二校考期末）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是 ．
【答案】
【详解】因为且
根据平行线的传递性知平行或重合，
又因为，
再次利用平行线的传递性知平行或重合，
因为c，d为不重合的两条直线
所以.
故答案为：.
【变式2】（2023下·全国·高一随堂练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
【答案】平行
【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【答案】平行
【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
题型02等角定理的应用
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，若，则（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25
【答案】D
【详解】由已知可得，平面平面，平面，平面平面，
根据面面平行的性质定理可得，，且.
同理可得，，.
根据等角定理可得，，，，
所以，.
所以，.
故选：D.
【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）如果，，那么与之间具有什么关系？
【答案】相等或互补
【详解】当与在同一平面内时，令OB交A1O1于点M，如图：
因，则，，
又，则，因此，，，显然C与A可换位，
所以与之间相等或互补；
当与不在同一平面内时，
若射线OA与O1A1同方向，射线OB与O1B1同方向，
在射线OA与O1A1上分别取点E，E1，使OE=O1E1，在射线OB与O1B1上分别取点D，D1，使OD=O1D1，
连接OO1，DD1，EE1，ED，E1D1，如图，
因，则四边形OEE1O1是平行四边形，EE1//OO1，且EE1=OO1，同理DD1//OO1，且DD1=OO1，
于是得EE1//DD1，且EE1=DD1，则四边形DEE1D1是平行四边形，即有ED=E1D1，
从而有，则，即，
射线OC是射线OA的反向延长线，则有，即，显然C与A可换位，
因此，与之间相等或互补，
若射线OA与O1A1方向相反或射线OB与O1B1方向相反，则射线OA的反向延长线与O1A1同方向或射线OB的反向延长线与O1B1同方向，
在其反向延长线上按上述同样的方式进行，可得与之间相等或互补，
所以与之间相等或互补，
综上得：与之间相等或互补.
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】解：(1)∵为正方体．∴，且，
又，分别为棱，的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴且．
又且，∴且，
∴四边形为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．∵和方向相同，
∴．
法二：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴，∴．
题型03空间中直线与直线平行的应用
【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【详解】如图，

连接AD1，CD1，AC，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故选：C
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示：
连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四边形AA′C′C为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是 （填序号）．
【答案】①
【详解】由公理4知①正确；
当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；
当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故③不正确；
当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
故答案为：①
【变式2】（2024上·上海·高二专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由．
【答案】EF与平行．理由见解析．
【详解】，理由如下：
在中，因为，即，所以，
又因为，所以.
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.
故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.

4．（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】B
【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
5．（2023·全国·高一专题练习）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　）
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
【答案】D
【详解】试题分析：根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D.
考点：等角定理
6．（2023下·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行
【答案】A
【分析】假设，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线与直线一定不平行；当与平行时，选项C正确；当与平行时，选项D正确.
【详解】假设，则由，知，
这与直线与直线不平行矛盾，
所以直线与直线不平行.
故选：A.
二、填空题
7．（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】根据平面的性质结合线线位置关系分析判断.
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，
【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
三、解答题
10．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)梯形
(2)
【分析】（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得，且 ，进而可判断四边形的形状；
（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案.
【详解】（1）
点M，N分别是和的中点，
，
，四边形是平行四边形，
，，
故四边形为梯形；
（2）由题意可得，，
则，
故梯形的高为，
故四边形的面积.
11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.
（1）证明: ，，.
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，；
（2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解.
【详解】（1）因为与相交于点O，所以与共面，
在和中，可得，
又因为，所以，
所以，，
所以
同理，.
（2）因为，，且和，和的方向相反，
∴.
同理，因此，
又，
所以.
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
【答案】证明见解析
【分析】通过平行以及长度关系证明，，然后根据等角定理证明.
【详解】证明：因为，分别是，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
同理可证，
又与方向相同，所以.
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