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第12讲 8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）
课程标准 学习目标
①了解直线与平面垂直的定义。 ②了解直线与平面所成角的概念.。 ③.掌握直线与平面垂直的判定定理。 ④会用定理判定线面垂直。 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题
知识点01：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点02：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
【即学即练1】（2024上·全国·高三期末）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；

（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
知识点03：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，与平面所成角的大小为 .
【答案】
【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，
因为，所以，
故与平面所成角为.
故答案为：
（2）说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
（3）直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
题型01判断线面垂直
【典例1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【典例2】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）.
A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直
B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
【变式2】（2023下·北京·高二统考学业考试）已知直线，和平面，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．是平面的斜线
题型02 证明线面垂直
【典例1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【典例2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【典例3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
(1)求证：平面；(2)求证：平面.
【变式2】（2024上·全国·高三期末）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．证明：平面；

题型03 补全线面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 .
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF= 时，CF⊥平面.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图：在三棱柱中，已知面，，当底面满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件）
【变式2】（2023下·全国·高一专题练习），，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？
题型03 直线与平面所成的角
【典例1】（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．

【典例4】（2023下·天津和平·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60°角，则侧棱与底面所成的角为 ．

【变式3】（2024·上海·高二专题练习）如图，在平面内，是的斜线，若，则与平面所成角是 ．
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.

题型04 直线与平面所成角的最值（范围）
【典例1】（2024上·河南漯河·高二漯河高中校考阶段练习）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（ ）

A．2 B．1 C． D．
【典例3】（2024上·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；
(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.

题型05 根据线面角求参数
【典例1】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．

(1)平面平面，证明：．
(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
【变式1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ．
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点．
(1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点；
(2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长．
【变式3】（2024·广东·高三学业考试）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，E，F，M分别为边PD，PB，PC的中点，N为BF的中点．
(1)证明：平面AEF；
(2)若，，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求三棱锥的体积．
题型06 点到平面的距离
【典例1】（2024·广东佛山·统考一模）如图，直三棱柱中，.过点的平面和平面的交线记作.
(1)证明：；
(2)求顶点到直线的距离.
【典例2】（2023上·上海·高二校考期末）为直角梯形，，，，平面，，
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离.
【变式1】（2023上·山东潍坊·高二统考期中）在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离；
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
2．（2022·高一课时练习）在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019下·江苏常州·高一校联考期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019下·江苏·高一校联考期末）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020下·高一课时练习）如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
6．（2022下·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（ ）

A．平面 B．与平面所成角为
C．面 D．点到面的距离为2
三、填空题
11．（2023上·四川达州·高二校考阶段练习）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .
12．（2023上·上海普陀·高二校考期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ．
四、解答题
13．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
14．（2021上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，四棱柱的底面四边形ABCD是菱形，且，当的值为多少时，平面？
B能力提升
1．（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2023下·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.

(1)若，求三棱柱的体积；
(2)证明：平面；
(3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论.
3．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
4．（2021上·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第12讲 8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）
课程标准 学习目标
①了解直线与平面垂直的定义。 ②了解直线与平面所成角的概念.。 ③.掌握直线与平面垂直的判定定理。 ④会用定理判定线面垂直。 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题
知识点01：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点02：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
【即学即练1】（2024上·全国·高三期末）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；

（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
知识点03：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，与平面所成角的大小为 .
【答案】
【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，
因为，所以，
故与平面所成角为.
故答案为：
（2）说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
（3）直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
题型01判断线面垂直
【典例1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【详解】必要性，若，则存在直线，，
由于，，得，
因为，，所以，必要性成立；
充分性：若平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足， ，
但平面，即，不满足充分性；
所以“”是“”的必要非充分条件；
故选：B.

【典例2】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）.
A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直
B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
【答案】C
【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直，
A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符，
故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
【答案】A
【详解】根据线面垂直的判断定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A错误，C正确；根据线面平行的判断定理可知，平面外的线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故BD正确.
故选：A
【变式2】（2023下·北京·高二统考学业考试）已知直线，和平面，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．是平面的斜线
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
故选：C
题型02 证明线面垂直
【典例1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【答案】证明见解析
【详解】∵为⊙O的直径，
∴⊥.
又⊥平面，平面，
∴⊥.
又∵，平面，
∴⊥平面.
又平面，
∴⊥.
又⊥，且，平面，
∴⊥平面.
【典例2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，是的中点，所以.
在中，，
由已知，所以，所以.
又平面，
所以平面.
（2）因为，是的中点，
所以.
由(1)知.
又因为平面，
所以平面.
【典例3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面，
且四边形为正方形，所以，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面.
【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又平面，
所以平面；
（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，
则，又平面，平面，
所以平面.
【变式2】（2024上·全国·高三期末）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
（2）因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．证明：平面；

【答案】证明见解析
【详解】过点作于点，

因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面．
题型03 补全线面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 .
【答案】a与b相交
【详解】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交.
故答案为：a与b相交
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF= 时，CF⊥平面.
【答案】1或2/2或1
【详解】由已知得平面，又平面，所以，
若CF⊥平面，则必有，
设，则，，，
所以由得，解得或2，
所以当或2时，CF⊥平面.
故答案为：1或2.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图：在三棱柱中，已知面，，当底面满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
【答案】
【详解】当底面满足条件时，有．
理由如下：面，，
四边形是正方形，，
，．
又，，平面，
平面，
，平面，
平面，，
平面，平面，
当底面满足条件时，有．
故答案为：．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件）
【答案】四边形ABCD为菱形.（答案不唯一）
【详解】如图，
因为平面，平面，
所以，
当四边形为菱形时，，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以.
故答案为：四边形为菱形.（答案不唯一）
【变式2】（2023下·全国·高一专题练习），，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
【答案】
【详解】由线面垂直的判定定理可知：
，，，，且，
则，
故答案为：
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？
【答案】AB=AC
【详解】解：由线面垂直的判断定理有，要使直线AM垂直于平面BMC，
则应有AM垂直于MC，且垂直于MB，即AM是BC上的高，
又因为M为边BC的中点，
所以AB=AC，即在AB=AC的条件下直线AM垂直于平面BMC．
题型03 直线与平面所成的角
【典例1】（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取是的中点，连接，如下图所示：
设三棱柱底面边长为，可得，
由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，
易知，由勾股定理可得，
所以；
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B
【典例2】（2023上·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取中点，连接，如图，
在正三棱柱中，是正三角形，，
底面底面，，
又平面，平面，
为与平面所成角，
平面平面，，
由题意，，
在中，.
故选：A.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．

【答案】45°
【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴，
作于O，连接，则平面，
∴，从而在图1中，C、O、E三点共线，
在图1中，，，，
∴，而，∴，那么在图2中也有，
从而，故，即直线与平面所成的角为45°．
解法二：如图2，作于E，由题意，平面，
故即为与平面所成的角，
由三余弦公式，，
∴，故，
从而，∴直线与平面所成的角为45°．

【典例4】（2023下·天津和平·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【详解】（1）连接，，
因为底面为平行四边形，为中点，
故与相交于，
因为为的中点，
则，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，
由余弦定理得，即，
解得，
因为，所以⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为平面，，
所以平面；
（3）取的中点，连接，则，
因为⊥平面，所以⊥平面，
则为直线与平面所成角，
其中，故，
因为⊥，，由勾股定理得，
故，
由勾股定理得，
所以.
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，四棱锥中，
由题意得，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又四边形是矩形，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
故即为与平面所成角，
其中，
，，
所以，
又，，由勾股定理得，
所以.
故选：D
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60°角，则侧棱与底面所成的角为 ．

【答案】45°
【详解】如图，作平面于E，由题意，E应落在的平分线上，即，由三余弦公式，，即，
∴，从而，故侧棱与底面所成的角为45°．

【变式3】（2024·上海·高二专题练习）如图，在平面内，是的斜线，若，则与平面所成角是 ．
【答案】
【详解】
如图,取中点为,连接,
,
同理, 在△中，,
,,且，
又,，
，即,
又因为,所以平面，
所以为与平面所成角，
在△中，,所以.
故答案为:.
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】
【详解】取的中点O，连接，，易得.

因为侧棱底面，侧棱侧棱，
所以侧棱底面，底面，所以.
因为，，平面，故平面，
所以所求直线与平面所成的角为.
由平面，平面可得.
因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为2，则，，，
则.
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
题型04 直线与平面所成角的最值（范围）
【典例1】（2024上·河南漯河·高二漯河高中校考阶段练习）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设，连接，则，
因为在正方体中，平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角．
设，，
因为，
所以，
因为，所以，
故选：C．

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（ ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】取的中点，连接、、、、，如图所示：

在正方体中，且，
因为、分别是棱、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
，平面，
所以平面平面，
平面，若，则平面，平面，
所以，点在侧面内的轨迹为线段，
因为平面，
所以与侧面所成的角为，
在，，
所以，
所以与侧面所成角的正切值为，
在中，，所以，
所以点到边的距离为，即的最小值为，
所以与侧面所成角的正切值的最大值为，
故选：D.
【典例3】（2024上·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）为直角三角形，且斜边为，.
将以直线为轴旋转得到，则，即.
二面角是直二面角，即平面平面.
又平面平面，平面，平面.
平面，因此，平面平面；
（2）在中，，斜边，且.
由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.
在中，，，，
，
当时，取最小值，此时取最大值，且.
因此，，
即直线与平面所成角的正弦的最大值为.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】先证明一个结论：如图，直线为平面的一条斜线，为斜足，与平面所成的角为，则平面内的直线与直线所成角的最小值为.

证明：对于平面内的任意一条直线，如果其不过点，则可以平移该直线至点，
此时直线与直线所成角即为平移后的直线与直线所成的角.
设平移后的直线为直线（如图），过作的垂线，垂足为，
在平面内的射影为，连接，则，
而直线与直线所成的角即为，其中，.
因为，
故，当且仅当与重合时等号成立，
所以平面内的直线与直线所成角的最小值为.
回到原题，
如图，设，取上一点，过作，垂足为，
垂足为，连接，
因为，，故，而，，
平面，故平面，
而平面，故，故为平面的平面角的补角，
故.
不妨令，则.
又，所以，所以，
所以.
因为，故与平面所成的角为，
由前述所证结论可得，直线所成角的最小值为，其正切值为.
故选：B.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；
(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2.
【详解】（1）在三棱锥中，在平面内过点作直线，如图，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）过作交于，连接，由（1）知平面，
因此是直线与平面所成的角，
又平面，所以，
设，由，，得，，
又，所以，，
在中，由余弦定理,
得，
所以，当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成的角的正切值最大值为2.

题型05 根据线面角求参数
【典例1】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，
则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面，
因为上、下底面边长分别为2和4，所以，
故，，
，由于，故，
故该正四棱台的体积为.
故选：B
【典例2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，1
【详解】（1）因为为正方形，则，
则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，
因为三角形是等边三角形，则
平面，平面，，．
所以异面直线AC与BD所成的角为．
（2）作交于点，连接，
平面，平面，
则与平面所成的角为，
设，则，
则.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．

(1)平面平面，证明：．
(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面平面，
所以平面，平面，
又因为平面平面，所以．
（2）过点作的垂线，垂足为，则，
因为平面，所以平面，
所以直线与平面的夹角为，
又，设，
则，
所以，所以，
所以M为CD中点，E为PC中点，

因为平面，所以平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为，
故
【变式1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ．
【答案】
【详解】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角，
即，而平面，则有，，
因此正边上的高，
所以正的边长为.
故答案为：
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点．
(1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点；
(2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过作交于，连接,
由于,所以,
因此平面即为平面，
由于为的中点，所以为中点，

（2）由于四边形为菱形，且，，
所以,
取中点，连接,
由于平面，平面，所以,
又平面,
所以平面,
故即为直线与平面所成角，故，
故，因此

【变式3】（2024·广东·高三学业考试）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，E，F，M分别为边PD，PB，PC的中点，N为BF的中点．
(1)证明：平面AEF；
(2)若，，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）设Q为AF的中点，连接QN，QE，EM，因为N为BF的中点．
所以QN为△FAB的中位线，
所以，
同理，又，
所以，
故四边形QEMN为平行四边形，
所以．又平面AEF，平面AEF，
所以平面AEF．
（2）如图，过点P向平面ABCD引垂线，垂足为O，连接OA，OD，OC，过点O作AB的平行线分别交AD与BC于点S和K．
因为，所以．
又AD⊥AB，
所以AD⊥SK，故S，K分别为AD与BC的中点．
设，则，，．
又直线PA与平面ABCD所成的角为60°，
所以，
又，
所以，
所以，
解得或（舍），
故，
所以四棱锥的体积，
又三棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，
所以，
又三棱锥的体积是三棱锥的体积的，
所以三棱锥的体积．
题型06 点到平面的距离
【典例1】（2024·广东佛山·统考一模）如图，直三棱柱中，.过点的平面和平面的交线记作.
(1)证明：；
(2)求顶点到直线的距离.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题知，平面，平面，
所以平面，又因为平面平面，
平面，所以.
（2）作交直线于点，连接，因为是直三棱柱，
所以平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以就是点到直线的距离，
作交于点，因为，，所以，
又因为，所以四边形是矩形，所以，
在，，，所以，
在，，
所以点到直线的距离为.
【典例2】（2023上·上海·高二校考期末）为直角梯形，，，，平面，，
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：如图，连接,在中，,则，
因为直角梯形，且,则，
又，由可知①，
因平面,平面，故②
又平面，由①② 知平面,
因平面,故.
（2）
在中，因，由可知：,如图，过点作于，
由的面积可得：,解得：，
即点到直线的距离为.
【变式1】（2023上·山东潍坊·高二统考期中）在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】连接，与相交于点，因为四边形为正方形，
所以⊥，
又⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
故点A到平面的距离为的长，
又棱长为4，所以.
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离；
【答案】2.
【详解】由平面，平面，得，
而，则，又，则有，
于是，而平面，因此平面，
则为点到平面的距离，所以点到平面的距离为2.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
【答案】B
【详解】因为三角形的两边，有交点，
且直线和，同时垂直，
所以该直线垂直平面，故该直线与垂直.
故选：B
2．（2022·高一课时练习）在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体的六个面中，与垂直的平面有平面和平面，共两个.
故选：B
3．（2019下·江苏常州·高一校联考期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可知，，线段BB1上取一点H，即DH⊥AB1，即可证明AB1⊥平面C1DF，进而求解F点的轨迹.
【详解】如图，在线段BB1上取一点H，使B1H=，则有DH⊥AB1，又平面,故，故AB1⊥平面C1DF，则F点轨迹为C1H，则的最大值为.
故选：A.
4．（2019下·江苏·高一校联考期末）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，证明出AC⊥平面，找到点到平面的距离即CE的长，求出答案.
【详解】连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为⊥底面ABCD，平面ABCD，所以⊥，因为，所以AC⊥平面，所以CE的长即为点到平面的距离，因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得：，显然.
故选：B
5．（2020下·高一课时练习）如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【解析】根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
6．（2022下·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可.
【详解】因为，，所以，，
因此，因为D是的中点，
所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面，
而平面，所以，因为，
平面，所以平面，而平面，
因此，在直角三角形中，，
当时，即，
此时，而，即，
即，而，平面，
因此平面，此时，
故选：C
7．（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接，作，交于点，
是的中点，，
平面，平面，，
，平面，
平面，又平面，
，又，，平面，
平面，
设平面与上底面交于，，点的轨迹为；
，，是母线中点，
，
，
.
故选：C.
8．（2023上·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，
则，而平面，平面，于是，
又平面，因此平面，
则是直线与平面所成的角，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
二、多选题
9．（2023下·高一课时练习）设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】BD
【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.
【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则或或l与相交，故C错误；
对于D，若，，则，
又因为，则，故D正确.
故选：BD.
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（ ）

A．平面 B．与平面所成角为
C．面 D．点到面的距离为2
【答案】ABC
【详解】由于四边形是边长为2的正方形，故，
又面，面，∴面，故A正确；

连接PO，由A可知：与平面所成角为，由条件可得，
故B正确；
易知面，面，即面，故C正确；
由A可知点到面的距离为，而，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
11．（2023上·四川达州·高二校考阶段练习）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .
【答案】
【详解】为中点，连接，如图所示，
在三棱柱中，平面，则平面，
平面，则，
为正三角形，为中点，则，
平面，，平面，
在平面内的射影为，则与平面所成角为，
，则，，，
中，，
所以与平面所成角的正切值为.
故答案为：.
12．（2023上·上海普陀·高二校考期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ．
【答案】
【详解】四棱锥中， 平面，
平面，，，
底面四边形是正方形，则，
平面，，平面，
则直线与平面所成角为，

中，，，
中，.
故答案为：
四、解答题
13．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为平面，所以,.
因为，所以.又因为平面，所以平面.
因为平面，所以．
因为，所以，
所以，又是的中点，所以．
又因为，平面，所以平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面.
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
因为平面，所以到平面的距离就是线段的长，
也就是点到平面的距离等于线段的长，所以点到平面的距离等于线段的长.
因为，，是的中点，所以.
因为平面， 平面，所以.
因为，所以.
因为是的中点，所以，
所以.
14．（2021上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，四棱柱的底面四边形ABCD是菱形，且，当的值为多少时，平面？
【答案】当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD
【详解】解：如图，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD，
证明：连接AC，A1C1，B1C，A1 A，设AC和BD交于O，B1C和B C1交于O1，连接C1O，DO1
∵四边形ABCD是菱形，且
∴AC⊥BD，BC＝CD，
又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C，∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B＝C1D，∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，
又AC⊥BD，AC∩C1O＝O，
∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1C，
∴A1C⊥BD，
当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
为等边三角形，
因为平面，、平面，
所以，，则，
故的面积，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
因为，所以，所以.
2．（2023下·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.

(1)若，求三棱柱的体积；
(2)证明：平面；
(3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)时，平面，证明见解析.
【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
且，，，
∴由三棱柱体积公式得：；
（2）证明：取的中点，连接，，

∵，分别为和的中点，
∴，，
∵平面，平面，
平面，平面，
∴平面，平面，
又，∴平面平面，
∵平面，∴平面；
（3）连接，设，
则由题意知，，
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面，
因为平面，∴平面平面，平面平面，
∵，∴，又点是的中点，则平面，
∴平面，平面，∴，
要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可，
又∵，∴，
∴，即，
∴，则时，平面.
3．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，，，所以，，
所以，，则，
因为平面，平面，所以，，
又因为，、平面，所以，平面.
（2）解：因为平面，平面，所以，，
若面，平面，则，
因为，，
由余弦定理可得，
因为平面，、平面，则，
所以，，，
在中，，，，
所以，，
所以，，
所以，，则，
因此，若满足面，则.
4．（2021上·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当为中点时，；证明见解析
【详解】（1）连接，
四边形为菱形，，又，为等边三角形，
为中点，；
，为中点，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）当为中点时，，证明如下：
分别为中点，，又平面，平面，
平面；
分别为中点，，，
四边形为平行四边形，，又平面，平面，
平面，又，平面，
平面平面，
由（1）知：平面，平面，
平面，.
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