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第10讲 8.5.3 平面与平面平行
课程标准 学习目标
①理解并掌握平面与平面平行的判定定理。 ②理解并掌握平面与平面平行的性质定理。 1.通过对平面与平面平行的判定定理与性质定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言、符号语言进行交流的能力； 2.进一步了解空间平面与平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题； 3.进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为后面学习面面垂直打下基础；
知识点01：平面与平面平行的判定定理
（1）两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
线线平行面面平行
【即学即练1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：

①平面；②平面；
③平面；④平面平面，
其中推断正确的序号是 .
【答案】①③
【详解】对于①：因为在正方体中，
，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，
因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；
对于②：因为，与平面相交，
所以与平面相交，故②错误；
对于③：因为，，分别是，，的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④：与平面相交，所以平面与平面相交，故④错误.
故答案为：①③.

知识点02：平面与平面平行的性质定理
（1）平面与平面平行的性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
面面平行线线平行
【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则 .
【答案】
【详解】因为平面平面，由面面平行的性质定理得，
所以，所以，即，解得，
故答案为：.
知识点03：直线与平面、平面与平面之间位置关系的相互转化
由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
题型01 判断，证明面面平行
【典例1】（2023下·山西太原·高一校联考阶段练习）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个．
【典例2】（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是 ．（写出所有符合条件的序号）
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；
【典例4】（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知S是等边△ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ．
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；
题型02 补全面面平行的条件
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.

(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；
(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.
【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【变式3】（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；
(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
题型03 面面平行证明线线平行
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．
【变式3】（2023下·高一课时练习）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．
题型04 面面平行证明线面平行
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

(1)若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．
(2)在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方形和正方形，如图所示，、分别是对角线、上的点，且．求证：平面．

题型05 空间平行的转化
【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
【变式1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为 ．
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
(1)求证：；
(2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，则
2．（2024上·北京·高三阶段练习）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高一假期作业）在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（ ）
A．Q为的三等分点 B．Q为的中点
C．Q为的四等分点 D．Q与C重合
4．（2024·全国·高一假期作业）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2024·全国·高一假期作业）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
6．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设直线，平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
8．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
四、解答题
13．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．
14．（2024·全国·高三专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．
求证：平面平面.

15．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.
16．（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·湖北武汉·高二校联考期末）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .
5．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为 ，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为 .

6．（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，底面边长为1，侧棱长为且为的中点，那么在上是否存在一点，使得过的平面把该三棱柱分成等积的两个几何体？
7．（2024·全国·高一假期作业）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
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课程标准 学习目标
①理解并掌握平面与平面平行的判定定理。 ②理解并掌握平面与平面平行的性质定理。 1.通过对平面与平面平行的判定定理与性质定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言、符号语言进行交流的能力； 2.进一步了解空间平面与平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题； 3.进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为后面学习面面垂直打下基础；
知识点01：平面与平面平行的判定定理
（1）两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
线线平行面面平行
【即学即练1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：

①平面；②平面；
③平面；④平面平面，
其中推断正确的序号是 .
【答案】①③
【详解】对于①：因为在正方体中，
，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，
因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；
对于②：因为，与平面相交，
所以与平面相交，故②错误；
对于③：因为，，分别是，，的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④：与平面相交，所以平面与平面相交，故④错误.
故答案为：①③.

知识点02：平面与平面平行的性质定理
（1）平面与平面平行的性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
面面平行线线平行
【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则 .
【答案】
【详解】因为平面平面，由面面平行的性质定理得，
所以，所以，即，解得，
故答案为：.
知识点03：直线与平面、平面与平面之间位置关系的相互转化
由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
题型01 判断，证明面面平行
【典例1】（2023下·山西太原·高一校联考阶段练习）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个．
【答案】2
【详解】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①；
若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的；
若α与β相交，如图所示，,
，且l与m，n两直线等距离，
则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等. 所以排除③；
存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ. 则可以判断两个
平面α与β平行. ④是正确的．
故答案为：2
【典例2】（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是 ．（写出所有符合条件的序号）
【答案】①②
【详解】
对于①，如图1.
因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.
又，所以.
因为平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为平面，平面，，
所以平面平面.
又平面，所以平面，故①正确；
对于②，如图2，连结.
因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.
又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，
所以.
因为平面，平面，所以平面，故②正确；
对于③，如图3，连结、、.
因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.
因为平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为平面，平面，，
所以平面平面.
显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；
对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，
故平面即为平面，由正方体可得，
而平面平面，
若平面，
由平面可得，
故，显然不正确，故④错误.
故答案为：①②.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；
【答案】证明见解析
【详解】连接，，
∵为正方体，为平面的中心，
∴‖，‖，，为中点，
∵为中点，为中点，
∴‖‖，，
∴四边形为平行四边形，‖，
∵分别为中点，分别为中点，
∴‖，‖，
∴‖，
∵平面，平面，
∴‖平面，∥平面，
∵，平面，
∴平面∥平面．
【典例4】（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：分别是、的中点，
所以，
又，
所以四边形是平行四边形，
.
，
即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.
（2）（2）M、N分别是、的中点，
.又平面，平面，平面.
连接，如图所示，则，.
四边形是平行四边形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
【答案】平行
【详解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案为：平行
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
【答案】平行
【详解】，，分别为，，的中点，

，，
又平面，平面，平面，
同理可证，平面，
又平面，平面，且，
∴平面//平面DEF
平面平面．
故答案为：平行.
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知S是等边△ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ．
【答案】平行
【详解】∵分别是的中点，
∴是的中位线，∴.
又∵平面，平面，
所以平面.
同理平面.
∵，
所以平面平面.
故答案为：平行.
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；
【答案】证明见解析
【详解】解：连接，如图所示：
依题意，，
则四边形是平行四边形，
于是，而平面，平面，
因此平面，同理平面，
∵，平面，
∴平面平面．
题型02 补全面面平行的条件
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在为中点使面面，理由见解析
【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下：
当为中点，连接，
又是的中点，是的中点，
所以，，
而平面，平面，所以平面，
同理可证面，
又，即平面平面，
综上，为中点时平面平面．
【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.

(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；
(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.
【答案】(1)存在，证明见解析
(2)2
【详解】（1）与的中点，可以使得平面平面，
证明：在三棱柱中，
∵与为与的中点，
∴与平行且相等，
故四边形为平行四边形，∴，
∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形 故，
因为，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
而， 平面，平面，
∴平面平面；

（2）∵，
，
.
【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为中点
【详解】（1）连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为平行四边形，所以为的中点，
所以为的中点．
（2）存在，为中点时，平面平面，
因为为中点，为的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
由于，平面，
所以平面平面.

【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
【答案】当为的中点时，证明见解析.
【详解】当为的中点时，平面平面．
连接，因为为的中点，为的中点，所以．
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．连接，则，
又为的中点，为的中点，
所以．平面，平面，
所以平面．
又，所以平面平面．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
【变式3】（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；
(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，证明见解析
【详解】（1）因为分别是的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面；
（2）存在，点是的中点，此时，连结

因为分别是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
由（1）可知，平面，且，且平面，
所以平面平面，
所以上存在中点，使平面平面.
题型03 面面平行证明线线平行
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在四棱柱中，连接，FG，如图，

因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，于是，
平面平面，而平面，则平面，
在平面内存在与不重合的直线，又平面平面，平面，
则平面AEF，在平面AEF内存在与不重合直线，从而，平面AEF，
平面AEF，则平面AEF，又平面，平面平面，
因此，BG，AF可确定平面，因为平面平面，
平面平面，平面平面，于是，即有，
所以.
故选：B
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.
【答案】证明见解析
【详解】在直四棱柱中，平面平面，
平面，平面，则，
而且，又，因此且，
则四边形是平行四边形，所以，又，，
所以．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.
【答案】点为线段上靠近点的三等分点
【详解】点为线段上靠近点的三等分点，证明如下：
在取点，连接，，使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.
【答案】证明见解析
【详解】因为平面平面，四点共面，
且平面平面，平面平面，
所以．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
【变式3】（2023下·高一课时练习）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】由四棱柱可知，，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面；
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以.
题型04 面面平行证明线面平行
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【答案】证明见解析
【详解】由题意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以且，
因为为的中点，所以且，
因为、分别为、的中点，
所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，故平面．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？
【答案】.
【详解】当点是线段上靠近点的三等分点，即时，平面.
过点作交于点，过点作交于点，连接，
平面，平面，
平面，
，面，平面，
平面，
又，平面，平面，
∴平面平面，
平面，
平面．
∴，
当时，平面．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

【答案】证明见解析
【详解】因为直四棱柱中，
又，且平面，平面，
平面，平面
而，平面,
平面平面，
又平面平面
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

(1)若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．
(2)在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)存在，证明见解析
【详解】（1），理由如下，
因为平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．
又因为，∴；
（2）当Q是PB的中点时，平面BDE成立，理由如下，
取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，
连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，
∴E为CF的中点，∴，
∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，
又，∴平面平面BDE，
∵平面AQF，∴平面BDE．

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方形和正方形，如图所示，、分别是对角线、上的点，且．求证：平面．

【答案】证明见解析
【详解】证明：过点作交于点，连接，

因为，则，
又因为，则，所以，，
因为四边形为矩形，则，所以，，
因为，平面，平面，所以，平面，
因为，平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，所以，平面.
题型05 空间平行的转化
【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取,的中点为,，连接 ，则,且，
在平面中，过点作交于，则 为平面AMN与侧面的交线，且,
由于,
故选：C

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
【答案】作图见解析，证明见解析
【详解】
如图，延长交的延长线于，
连接交于，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
证明：∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴.
又∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，∴.
【变式1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为 ．
【答案】
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
因为平面平面，所以平面；
因为平面平面，所以平面；
又因为平面，，所以平面平面．
因此平面即为平面，即平面与正方形的交线即为．
所以．
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
(1)求证：；
(2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)直线与直线相交，理由见解析.
【详解】（1）解：因为平面，平面，平面平面，
所以.
（2）解：直线与直线相交，理由如下：
连接，
因为分别是棱的中点，
所以，同理可证：，
因为，所以，
所以四点共面，
因为，所以，
所以与不平行，即与相交.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，则
【答案】D
【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.
【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；

B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；

C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；

D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D
2．（2024上·北京·高三阶段练习）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由面面平行的性质可判断.
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
对于A，，，故A正确；
对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误；
对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误；
对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误；
故选：A.

3．（2024·全国·高一假期作业）在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（ ）
A．Q为的三等分点 B．Q为的中点
C．Q为的四等分点 D．Q与C重合
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理易证Q为的中点时满足题意．
【详解】如图所示，设为的中点，连接PQ，
∵为的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，
故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA，
又QB面，PA面，∴PA∥面．
连接，则DB过O，且O是DB中点，
又∵是中点，∴∥PO，
又面，PO面，∴PO∥面．
又，PA，PO面，
∴平面∥平面，
故为的中点时，有平面∥平面．
故选：B

4．（2024·全国·高一假期作业）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.
【详解】
如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图，
则，平面，
平面AEF，平面平面；
即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形，
其中，
，
故选：A.
5．（2024·全国·高一假期作业）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【分析】把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可.
【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，
对于①，因为，分别是，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，因为，平面，平面，
所以平面，故②正确；
对于③，因为，平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④，平面平面，故④错误;
所以正确的有①②③.
故选：C.
6．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】延拓过点三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择.
【详解】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：
对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；
对：MC1与是相交直线，所以A不正确；
对：因为//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面
故选：.
7．（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设直线，平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】B
【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A. ，且，由于无法得知是否相交，所以不能得到，
对于B. ，且，则，故B正确，
对于C. ，且，此时可能相交，
对于D. ，且，则可能相交，
故选：B
8．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体，正三棱柱的性质，线面的位置关系及线面平行的判定定理结合条件逐项分析即得.
【详解】A选项中，由正方体的性质可知，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；
B选项中，因为，故平面CNQ即为平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；
C选项中，因为，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；
D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交于点D，则点D是在上靠近点的四等分点，
由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，平面，则平面平面CNQ，
而平面与平面，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，
显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．
故选：B.
二、多选题
9．（2023下·陕西渭南·高一校考期末），，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】BD
【分析】运用面面平行的性质、面面平行的判定可判断各个选项.
【详解】对于A项，若，，，由面面平行的性质可得，故A项正确；
对于B项，，，，则与平行或相交，故B项错误；
对于C项，若，，由面面平行的性质可得，故C项正确；
对于D项，若，，，则与平行或相交，故D项错误.
故选：BD.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BCD
【分析】根据正方体六个面即三对互相平行的平面的性质，结合空间直观想象作出截面图形即可.
【详解】对选项A，假设过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状为三角形，则必为三角形的一条边，
但线段不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边.故A项错误；
对选项B，如图，取AB的中点为，连接PM，过点P，Q，M的平面作截面，
则平面，设平面，且点，
由平面平面，则，又，且，又，
则，故所在直线与重合，又，
连接MD，，则四边形为平行四边形，且，
故此时过点P，Q，M的平面截正方体所得的截面为四边形，
故选项B正确；
对选项C，如图，连接，过点的平面作截面，
则平面，设平面，且点，
由平面平面，则，
取上靠近的四等分点为，连接，
再分别取的中点，连接，
由，，可得四边形为平行四边形，
则，同理可证，又由分别为的中点，则，
则由平行的传递性可得，，
即所在直线与重合，即平面；
同理，取上靠近的三等分点为M，连接，
由平面平面，可得，平面；
连接，此时过点的平面截正方体所得的截面为五边形PBNQM，
故C项正确；
对选项D，如图，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，
连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
与BC项同理可由平面平面，平面平面，平面平面，
得，，，
即此时过点的平面截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.
故选：BCD．
三、填空题
11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解.
【详解】如图，取的中点，并连接、、，
因为E在棱上且满足，即E是棱的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面，所以动点F在侧面上的轨迹即为，
因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：.

故答案为：.
12．（2024·黑龙江伊春·高二伊春二中校考学业考试）已知是三条不重合直线，是三个不重合平面，下列说法：
①，； ②，；
③，；④，；
⑤，；⑥，.
其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上）
【答案】② ④
【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质和判定定理进行判断.
【详解】①若，，则可能平行或相交或异面，故①错；
②根据平行公理，故②正确；
③若，，也可能相交，只要保证平行于的交线，故③错；
④利用平面与平面平行的性质与判定，可得，故④正确；
⑤若，，则也可能成立，故⑤错；
⑥若，.，则也可能成立，故⑥错.
故答案为：②④.
四、解答题
13．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.
【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
14．（2024·全国·高三专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．
求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得到证明.
【详解】
在圆柱中，，平面，平面，
故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，
故，
则为正三角形，故，则，
平面，平面，
故平面；
又平面，
故平面平面．
15．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】连接交于，连接，即可得到，从而证明平面，再说明四边形是平行四边形得到，即可得到平面，从而得证.
【详解】连接交于，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面．
16．（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

【答案】证明见解析
【分析】先证明平面，平面，可得平面平面，进而可得结论.
【详解】因为直四棱柱中，
又，且平面，平面，
平面，平面
而，平面,
平面平面，
又平面平面
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，取AD的中点M、CD的中点N，连接，
因为E为BC的中点，M为中点，由正方体的性质可得，
，，所以四边形是平行四边形，
所以，，又因为，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，由正方体的性质可得,
，，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为M为中点，N为中点，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
所以动点F的轨迹为线段，
又，故动点F的轨迹长度为．
故选：D．
2．（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在四棱柱中，连接，FG，如图，

因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，于是，
平面平面，而平面，则平面，
在平面内存在与不重合的直线，又平面平面，平面，
则平面AEF，在平面AEF内存在与不重合直线，从而，平面AEF，
平面AEF，则平面AEF，又平面，平面平面，
因此，BG，AF可确定平面，因为平面平面，
平面平面，平面平面，于是，即有，
所以.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，如下图所示，在正方体中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面，故A满足；
对于B选项，如下图所示，连接，
在正方体中，且，

因为、分别为、的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，故B满足；
对于C选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，
连接、、，

因为且，、分别为、的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，所以，，则，
所以，、、、四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，所以，
因为、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，故C满足；
对于D选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，
连接、、、、、，

因为且，、分别为、的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，所以，故，
所以，、、、四点共面，
同理可证，故，同理可得，
反设平面，因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，故D不满足．
故选：D．
4．（2024上·湖北武汉·高二校联考期末）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .

【答案】 /
【详解】取CD中点G，连接BG、EG，
正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面，

而，，
故梯形的周长为；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为.
故答案为：；.
6．（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，底面边长为1，侧棱长为且为的中点，那么在上是否存在一点，使得过的平面把该三棱柱分成等积的两个几何体？
【答案】满足条件的点是存在的
【详解】
假设存在点，使得过点的平面将三棱柱分成等积的两部分．如图所示：
设．
因为平面平面，
所以由面面平行的性质定理得：截面与底面有交线，记为，.
因为为的中点，过点的平面将三棱柱分成等积的两部分.
则，
所以多面体是一个棱台．
则
又因为正三棱柱底面边长为1，
所以，，
则.
所以，．
因为，且存在点，使得过点的平面将三棱柱分成等积的两部分.
所以，即，
化简得：，解得．
所以满足条件的点是存在的．
7．（2024·全国·高一假期作业）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；N为的中点，证明见解析
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
在中，因为E、M分别为、的中点
所以且．
又为的中点，，所以且，
即且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）当N为的中点时，平面平面．
证明：连接，．
因为N，F分别是和的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为，，所以．
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，，
所以平面平面．

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