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第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）
课程标准 学习目标
①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。 ②掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.
知识点1：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
【即学即练1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在正方体中，二面角平面角的正切值为 .
【答案】
【详解】如图
取的中点，连接
在正方体中，可知
所以，
所以二面角的平面角为
设，所以
所以
故答案为：
知识点2：二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
知识点3：二面角的平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).
知识点4：求二面角的平面角步骤
(1)找到或作出二面角的平面角；
(2)证明(1)中的角就是所求的角；
(3)计算出此角的大小
以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”
知识点5：平面与平面垂直
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
知识点4：平面与平面垂直的判定定理
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
（3）应用：线面垂直面面垂直.
【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ．
【答案】平面，平面，平面
【详解】连接面对角线，因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面⊥平面，
同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.
故答案为：平面，平面，平面.
题型01 判断面面垂直
【典例1】（2023上·山西运城·高三校考阶段练习）如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】B
【详解】对于A，因为底面为正方形
所以
因为平面，平面
所以，
而，
所以平面，
又因为平面
所以平面平面，故A正确；
对于C，因为底面为正方形，
所以，
因为平面，平面，
所以，
而，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，故C正确；
对于D，因为
由选项C可得平面，
而平面
所以平面平面，故D正确.
对于B，平面与平面不垂直，故B错误.
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
【典例3】（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
【答案】①②③
【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故①正确；
②由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故②正确；
③由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故③正确；
④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以,
因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误．
故答案为：①②③．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】B
【详解】因为，所以平面，
同理平面，平面，平面；
所以平面平面，平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，共5对.
故选：B．
【变式2】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）

A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
【答案】C
【详解】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD为矩形
而
平面，平面
平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD
又
平面，平面PBC⊥平面PAB
选项A，B，D可证明
故选：C
题型02 平面与平面的垂直判定
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.

【答案】证明见解析
【详解】因为平面，平面，则，
取中点，连接，

因为，，，
则，且，可知四边形为平行四边形，
又因为，，可知四边形为正方形，
则，⊥，
所以为等腰直角三角形，
故，，即，
又，平面，可得平面，
因为平面，所以平面⊥平面.
【典例2】（2024上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：为直二面角的平面角，
平面平面，
又平面平面，
且平面，
平面，
又平面，
，
又在平面四边形中，连接，
由题意可知，
，
，
又，
平面平面，
平面，
又平面，
平面平面.

【典例3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）在四面体中，分别是和的中点.

(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为是的中点，所以.
又是的中点，所以.
因为，所以.
又，平面.
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．
(1)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，取的中点，连接．

因为是等边三角形，为的中点，所以．
因为，所以．
因为，，，
所以四边形为矩形．所以．
又因为，所以，即．
因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
【变式2】（2024上·陕西宝鸡·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
【变式3】（2024上·广东东莞·高三统考期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接，与相交于点，连接，
四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点，
，则，
平面，，平面，
平面，所以平面平面
题型03补全面面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意.
故答案为：（答案不唯一）
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】解：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，
且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，
又，面，所以平面平面，又平面，
所以平面
（2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面，
要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以
【典例3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在；点为线段中点.
【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为，
则：.
故四棱锥的体积为：.
（2）存在，点为线段中点，理由如下：
取的中点，取中点，连接、，如下图：
因为、分别为、的中点，所以：，，
所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：，
因为底面，平面，所以：，
又因为底面为正方形，所以：，且，平面，
所以：平面，因为：平面，所以：，
又因为：，点为中点，所以：，
又因为：，平面，所以：平面，
又因为：，所以：平面，
又因为：平面，所以：平面平面.
故当点为的中点时，平面平面.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.
【答案】BM⊥PC(或DM⊥PC)
【详解】
∵△PAB≌△PAD，
∴PB=PD，易知△PDC≌△PBC，
当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM =M，
故，此时PC⊥平面MBD，PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：BM⊥PC(或DM⊥PC).
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【答案】（或，等都可）
【详解】解：可填，
由为菱形，则，
∵平面，平面，
所以，
又，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，
所以平面MBD，
又因平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：.（或，等都可）
【变式3】（2023上·北京·高二北理工附中校考阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，当为中点时面面，证明见解析
【详解】（1），为的中点．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
（2）存在点，当为中点时，面面；
证明如下：
四边形是正方形，为的中点，则，
所以，又，所以
，
由（1）知，平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，
平面平面．

题型04求二面角的大小
【典例1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，取AB中点M，连接CM，DM
因为为等边三角形，为等腰直角三角形
所以，
故即为二面角的平面角.
因为，
所以，
所以
所以
即二面角的大小为.
故选：D.
【典例2】（2024上·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于 ．
【答案】
【详解】如图所示，
取的中点为，底面中心为，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以，
中，，底面为正方形，故，
所以是二面角的平面角，即，
又在中，，所以，即该四棱锥的高为.
故答案为：.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）∵平面，平面，∴，
∵，，，如图过作交于点，
所以，，所以
∴，，
又平面，，
∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）由（1）知平面，平面，∴，
又有，故即二面角的平面角，
∵平面，平面，∴，所以
因为，所以
在中，，
所以二面角的余弦值为．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是 .

【答案】/
【详解】∵是正方体，
∴平面，
∴，，
∴是平面和平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵，
∴平面和平面ABCD所成的二面角的平面角为.
故答案为：.
【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．
又∵，平面，
∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面．
（2）如图所示，取的中点F，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
因为，所以⊥，⊥，
故就是二面角的平面角．
又⊥平面，平面，
所以⊥，
∵，
∴，
∴．
∴二面角P－AD－E的大小为．
【变式3】（2024·全国·高二专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；
(2)二面角的平面角的度数；
(3)二面角的平面角的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）平面，平面，
，又四边形为正方形，，
平面，平面，
又平面，平面平面，
二面角的平面角的度数为；
（2）平面，平面，平面，
，．
为二面角的平面角．
又由题意可得，
二面角的平面角的度数为；
（3）平面，平面，平面，
，．
为二面角的平面角．
又四边形为正方形，，
即二面角的平面角的度数为.
题型05求二面角最值（范围）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【典例2】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）如图1，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为.

(1)如图2，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度.
(2)如图3，当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）点在平面ABCD上的射影为且点在上，
点恰好落在边上，
平面平面ACD，
又，平面平面
平面，又平面，
，
又，，平面，平面,
平面，平面,
设，，则，
，
，
，
在中，,解得，
.
（2）作，交于，交于，如图：

当点O恰好落在的内部(不包括边界)时，点O恰好在线段EF上，
又，，
为二面角的平面角,
当时，由,可得，且，，
故二面角的余弦值的取值范围为
【变式1】（2024上·湖北·高二期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.

(1)证明：平面的充要条件是；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明“必要性”：当平面，有：
由平面，平面，
，由题意，故为的中点，在上，
又平面，平面，，
又为的中点，故三角形为等腰三角形，则.

证明“充分性”：当，有平面：
取中点，连接，由，得，
又平面平面且交线为，平面，
由面面垂直的性质得平面，
由题意点即为点，为中点，得，
同理由，为中点，得，
又平面，则平面.

（2）由三角形不是钝角三角形且面积为，得到面的距离为1，
由题知点在平面上的射影在线段上，作于，
由平面平面，且交线为，平面，
知平面，而平面，故，
作于，平面，
则平面，则即为二面角的平面角，
如图，过作直线，过作，垂足为，过作，垂足为，
，又，
故，，又，
在直角三角形中，，
,
，
，
所以二面角的正弦值的取值范围为.
【变式2】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点在棱上，平面.

(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)是的中点，理由见解析
(2)
【详解】（1）是的中点，理由如下：
连结，交于点，连结.
底面是正方形，是的中点.
平面，平面，平面平面，
.
是的中点，是的中点.
（2）令，连结，交于点，过点作，垂足为，连结.
为正方形，.
平面，.
平面，平面.
平面，.
又平面，平面.
平面，.
即为二面角的平面角.
，.
.
.
，.

题型06根据二面角求参数
【典例1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】作，垂足为E，连接，

因为，即，平面，
故平面，平面，故，
又，故平面，平面，
则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即，
由于，，故为二面角的平面角，即，
，
在中，，
则，
而，则，
则，
故，
故选：C
【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .

【答案】
【详解】
如图，作，交于，则，
过作交于点，连接.
因为为直三棱柱，则平面，且，
则平面，且平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，所以，
则是二面角的平面角，
所以，所以，
又，，所以，所以，.
可把三棱锥补成棱长为，，的长方体，
则三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
【典例3】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .
【答案】/
【详解】解：因为矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.
故设，
所以，，即，解得，
所以，，
所以，
因为二面角成直角，
所以，异面直线所成角为，
所以，.
故答案为：.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】存在，
【详解】假设存在满足条件的点，连结，过作为垂足，
并延长与相交于，连结．

因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以．
所以为二面角的平面角的补角，即有．
设，则．
在中，，从而．
在中，，解得．
因此，存在符合题设条件的，且满足．
【变式1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接，，取中点，连接，
四边形为矩形，，，
即为二面角的平面角，，
又，，，为等边三角形，；
分别为中点，，，
或其补角即为异面直线与所成角，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
【变式2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，由，得为异面直线AB与PC所成的角或其补角，设分别为的中点，连接PE，PF，EF.
由底面为正方形，为等边三角形，得，，则即为二面角的平面角，所以．
又平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以，又，所以.
设，则，
在中，由余弦定理得
，所以.
又，，所以，又，
在中，由余弦定理可得．
故选：A．
【变式3】（2023下·天津河西·高一统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 .
【答案】/0.75
【详解】如图，

由，得为异面直线AB与PC所成的角或其补角，
设E，F分别为BC，AD的中点，连接PE，PF，EF．
由底面ABCD为正方形，为等边三角形，得，
则即为二面角的平面角，所以．
又平面平面，所以平面PEF，
因为平面PEF，所以，又，所以．
设，则，
在中，由余弦定理得
，
所以．
又，所以，又，
在中，由余弦定理可得．
故答案为：．
【变式4】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.
(1)证明：.
(2)若二面角的大小为，求的长.
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以，
由于，平面，平面平面，所以，
所以.
（2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以，
折叠后，
过作，则四边形是矩形，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
由于，所以三角形是等边三角形，所以，
由于平面，所以平面，
而，所以平面，
由于平面，所以，，
所以.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，
又因为平面平面，，且平面，
所以平面， 所以①正确；
对于②中，由平面，且平面，可得，
又因为，且，平面，
所以平面，所以②正确；
对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；
对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，
若平面平面，且平面平面，可得平面，
又因为平面，所以，
因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.
故选：C.
2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．平面平面 D．直线与直线所成的角为
【答案】D
【详解】对于选项A，因为四棱锥的底面为正方形，所以是的中点.
又因为是的中点，所以.
又平面，平面，所以直线平面，故A正确；
对于选项B，因为，为的中点，所以.
而，则.
又，平面，所以直线平面，故B正确；
对于选项C，因为平面，平面，所以.
又因为底面为正方形，所以.
因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于选项D，因为，，所以，
即直线与直线所成角为，故D错误.
故选：D.
3．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正三棱台的上 下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知正三棱台的上底面面积为，下底面面积为，
设中点为，为下、上底面中心，连接，过作底面交于，
由正三棱台的性质可知，，
因为平面平面，所以为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即，
因为，，
所以，，
所以此三棱台的体积，
故选：C
4．（2024上·全国·高二期末）如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由条件，知，，.
∴
，
故，
∴，又∵，
∴，
∴二面角的大小为.
故选：B.
5．（2024·四川成都·成都七中校考一模）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是（ ）
①平面；②平面平面；③．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于①，因为为球的直径，为球上异于、的一点，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面，①对；
对于②，取线段的中点，连接，
因为，则为外接圆的圆心，
由球的几何性质可知平面，
因为、分别为、的中点，则，则平面，
又因为平面，因此，平面平面，②对；
对于③，因为平面，平面，所以，，
若，且，、平面，则平面，
因为平面，则，
事实上，因为，且，则为等腰直角三角形，
且，这与矛盾，假设不成立，故与不垂直，③错.
故正确命题为①②.
故选：C.
6．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）

A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】C
【详解】A选项，连接，由于分别是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.

B选项，连接，
由于三角形和三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.

C选项，几何体是正四面体，
设在底面上的射影为，连接，则平面，
且是等边三角形的中心，
连接，由于分别是的中点，
所以是等边三角形的中位线，所以，
所以平面与平面不垂直，C选项错误.

D选项，连接，
同理B选项的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.

故选：C
7．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取中点，连结，
根据题意，平面，平面，
所以平面平面，
因为，所以，
又平面平面，平面
所以平面，且
由题意可知，
，
则，即为直角三角形，
，
设到平面的距离为，且，
即，
.
故选：B
8．（2023下·河北邢台·高一统考期末）在平行四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，
所以，则，
又平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以平面平面，
作于，平面，平面平面，
所以平面，是到平面的距离，
在直角三角形中，，得.

故选：B
二、多选题
9．（2023上·福建福州·高二校考阶段练习）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】ACD
【详解】对于选项A：若，则或相交，
例如在正方体中，平面平面，
且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；
对于选项B：若，由线面垂直的性质可知，故B成立；
对于选项C：若，且，则不一定垂直，
例如在正方体中，平面∥平面，
且平面，平面，，故C不一定成立；
对于选项D：若，且，则不一定成立，
例如在正方体中，平面平面，
且平面，平面，可知，故D不一定成立；
故选：ACD.
10．（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A．两点间的距离满足
B．
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当二面角 为时，
【答案】AB
【详解】如图所示，取 的中点，连接
对于，在正方形中，，将正方形沿其对角线进行折叠，
易得 两点间的距离满足，故A正确；
对于, ，ON,OD含于面BOD
平面，又平面，
,故B 正确；
对于 ，当平面平面时，三棱锥的体积的最大，
最大为 ，故C 错误;
对于,因为，
所以为二面角 的平面角，
则当时，三角形为等边三角形，
则,故错误，
故选：AB.
三、填空题
11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知矩形，，，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．异面直线和所成角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】矩形，，，是边的中点，
故，故，又，
故∽，所以，则，
故，
将沿折起，在翻折过程中与垂直时，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以面和面垂直，
因为，平面，
故⊥平面，
连接，或其补角即为异面直线和所成角，
因为，，所以，
故，则，
又，
故，
即异面直线和所成角的余弦值为．
故答案为：
12．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 .
【答案】
【详解】因为.
所以
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：分别作的中点，连接，
因为分别为的中点，且四边形为等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因为，，
可得，所以，
因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知
又因为，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，且为的中点，可得，
过作于，因为，则为的中点，
且，所以，
又由，所以，
设点到平面的距离为，则，解得，
所以点到平面的距离为.
14．（2023上·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为，所以平面平面；
（2）如图所示，
过作圆柱的母线，连接，
因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，
因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为为上底面的直径，所以，而平面，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又因为在底面射影为，所以，，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
B能力提升
1．（2023上·广东汕头·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的余弦值为
C．与平面所成角为
D．三棱锥外接球的表面积为
【答案】D
【详解】∵，，∴,
∵平面，平面，∴，
∵，，，平面，
∴平面，又平面，∴平面平面，故A正确；
∵，∴为二面角的平面角，
∵，故B正确；
∵平面，∴为与平面所成角，
∵，则，故C正确；
取的中点，连接,
∵，，∴，
∵平面，又平面，∴，
∴，
则，
∴为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，
∴三棱锥外接球的表面积为，故D错误.
故选：D.
2．（2023上·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取中点为，连接，
由已知可得，中点为，
所以，.
由题意得，又因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，且平面平面，
平面ABC，所以平面，
又平面BCD，所以平面平面，
所以点关于平面BCD对称点E落在的延长线上，
且，即，
若最小，则三点共线，
所以，
，
故答案为：
4．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.

(1)证明：；
(2)设直线到平面的距离为，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接，由题设，易知为菱形，故，
由点在平面内的射影D在AC上，则面，
面，则，而，则，
又，面，故面，
面，则，
而，面，则面，
由面，则.

（2）由（1）知面，面，则，
所以是二面角的平面角，
由，面，面，则面，
直线到平面的距离为，即到平面的距离为，
又面，面，则面面，
面，面面，即到的距离为，
由题设，易知，
点在平面内的射影D在线段AC上，则为锐角，
所以，故为等边三角形，即，
所以二面角的大小.
5．（2023上·广东江门·高二江门市新会第一中学校考期中）如图，棱长为3的正四面体中，D，M分别为AB，PC的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若过点A，M的平面与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ与平面ABC夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)，.
【详解】（1）因为为的中点，，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.

（2）记的中点为E，连接EM，平面即为，延长AE交PB于点Q，
因为为PC的中点，所以，
又，，所以满足，
设，则，
因为，所以，即，
因为共线，所以，解得，所以.
作平面，平面，连接AF，
则即为直线AQ与平面ABC的夹角，
由正四面体性质可知，为的重心，所以，
所以，
因为E为PD的中点，所以，
又，所以，
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）
课程标准 学习目标
①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。 ②掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.
知识点1：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
【即学即练1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在正方体中，二面角平面角的正切值为 .
【答案】
【详解】如图
取的中点，连接
在正方体中，可知
所以，
所以二面角的平面角为
设，所以
所以
故答案为：
知识点2：二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
知识点3：二面角的平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).
知识点4：求二面角的平面角步骤
(1)找到或作出二面角的平面角；
(2)证明(1)中的角就是所求的角；
(3)计算出此角的大小
以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”
知识点5：平面与平面垂直
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
知识点4：平面与平面垂直的判定定理
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
（3）应用：线面垂直面面垂直.
【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ．
【答案】平面，平面，平面
【详解】连接面对角线，因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面⊥平面，
同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.
故答案为：平面，平面，平面.
题型01 判断面面垂直
【典例1】（2023上·山西运城·高三校考阶段练习）如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【典例3】（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【变式2】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）

A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
题型02 平面与平面的垂直判定
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.

【典例2】（2024上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.
(1)证明：平面平面；
【典例3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）在四面体中，分别是和的中点.

(1)证明：平面平面；
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．
(1)求证：平面平面．
【变式2】（2024上·陕西宝鸡·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
【变式3】（2024上·广东东莞·高三统考期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．
(1)证明：平面平面；
题型03补全面面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可）
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【变式3】（2023上·北京·高二北理工附中校考阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.

题型04求二面角的大小
【典例1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于 ．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是 .

【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【变式3】（2024·全国·高二专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；
(2)二面角的平面角的度数；
(3)二面角的平面角的度数．
题型05求二面角最值（范围）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【典例2】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）如图1，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为.

(1)如图2，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度.
(2)如图3，当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
【变式1】（2024上·湖北·高二期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.

(1)证明：平面的充要条件是；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．
【变式2】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点在棱上，平面.

(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
题型06根据二面角求参数
【典例1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .

【典例3】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【变式1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·天津河西·高一统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 .
【变式4】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.
(1)证明：.
(2)若二面角的大小为，求的长.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．平面平面 D．直线与直线所成的角为
3．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正三棱台的上 下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·河北邢台·高一统考期末）在平行四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023上·福建福州·高二校考阶段练习）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
10．（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A．两点间的距离满足
B．
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当二面角 为时，
三、填空题
11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知矩形，，，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．异面直线和所成角的余弦值为 ．
12．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 .
四、解答题
13．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
14．（2023上·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
B能力提升
1．（2023上·广东汕头·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的余弦值为
C．与平面所成角为
D．三棱锥外接球的表面积为
2．（2023上·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ．
4．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.

(1)证明：；
(2)设直线到平面的距离为，求二面角的大小.
5．（2023上·广东江门·高二江门市新会第一中学校考期中）如图，棱长为3的正四面体中，D，M分别为AB，PC的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若过点A，M的平面与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ与平面ABC夹角的正弦值.
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