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第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题
题型01点到平面距离（定值）
【典例1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .
【典例3】（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为
【典例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点．
(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．
【变式1】（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．
(1)求证：平面平面；
(2)求点D到平面的距离．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．

(1)求证：；
(2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离．
题型02点到平面距离（最值或范围）
【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．
【典例2】（2021下·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，，.
（1）用a，b表示四面体ABCD的体积；
（2）若a=2b，求二面角D-AB-C的大小（用反三角函数表示）；
（3）若a+b=1，求点D到平面ABC距离的最大值.
.
【变式1】（2020·山东·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 .
【变式2】（2022下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 .
题型03求异面直线所成角（定值）
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .
题型04异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)点在平面内运动（含边界），当时，求直线与直线所成角的余弦值的最大值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台中，底面，，，，若是边的中点，点在侧面内，则直线与直线的夹角的余弦值可能是（ ）
A． B． C． D．
题型05根据异面直线所成角求参数
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海普陀·高二校考期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 .
【典例3】（2023下·广东广州·高一校联考期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ．
【变式1】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式2】（2023上·上海嘉定·高二校考期中）空间四边形ABCD中，，直线AD与BC所成角大小为60°，分别是的中点，则 ．
【变式3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
题型06求线面角定值
【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则 .
【典例3】（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ．
【变式1】（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 .
【变式2】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .

【变式3】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知等腰直角的斜边在平面内，与所成角为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为 .
题型07求线面角（最值或范围）
【典例1】（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【典例3】（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 .
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角正切值的最小值是（ ）
A． B． C． D．

图（1） 图（2）
【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 .
【变式3】（2023·河南·模拟预测）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为 .
题型08根据线面角求参数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ）
A．224 B．448 C． D．147
【典例3】（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，
A． B． C． D．
【典例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·北京房山·高二统考期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ．
【变式3】（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
题型10求二面角（最值或范围）
【典例1】（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是 .

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023上·福建泉州·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 .
题型11根据二面角求参数
【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .

【典例3】（2023上·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为
【典例4】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知为等腰直角三角形，是斜边且长度为，是等边三角形，若二面角大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .
【变式3】（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .
【变式4】（2023下·重庆·高一统考期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．

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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题
题型01点到平面距离（定值）
【典例1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时，
因为为正三角形，，，
所以，
则，
当平面平面时，
取线段中点，则点为直角三角形的外心，
连接，则易知平面，
所以四面体外接球球心在上，
因为为正三角形，
所以四面体外接球球心即为的中心，
则，
设点到面的距离为，点到面的距离为，
由得，
因为边长为2，所以，
，
中，，
所以，
则，
所以点到面的距离为.
故选：C
【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .
【答案】
【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，
所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面，
易得,
在△中由余弦定理：得，故，
于是，
由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d
因为，所以,解得
故答案为：
【典例3】（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为
【答案】
【详解】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，
则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，
此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
【典例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面
平面，
平面，
，
又平面，
平面，
又分别为棱的中点，
平面．
（2）分别为棱的中点，，
，
又．
由第（1）问得平面，平面，
，，
平面，
．
平面，
．
设点到平面的距离为，
则，
解得，
所以点到平面的距离为．
【变式1】（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 .
【答案】/
【详解】设点到平面的距离为，
因为，，为中点，
所以，所以为等边三角形，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
故答案为：.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．
(1)求证：平面平面；
(2)求点D到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
Q，H分别是DM，DE的中点，，
平面，平面，平面．
如图，连接PN，
N，P分别是AF，AE的中点，，．
易知，，
∵Q是DM的中点，，，
，，四边形QMNP为平行四边形，
．
不在平面，平面，平面．
，平面PQH，
平面平面PQH．
（2）
如图，取ME的中点O，连接OQ，OH，PO，PD，
易知四边形DEFM是边长为2的正方形，，
平面平面DEFM，平面平面，
平面DEFM，
P是AE的中点，
，，平面DEFM．
Q，H分别为DM，DE的中点，
，，．
在中，，
在中，，
是边长为的正三角形，
，．
设点D到平面PQH的距离为d，
，
，，
点D到平面PQH的距离为．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．

(1)求证：；
(2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）如图，过点作于点，连接.
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面.
所以即为直线与平面所成的角.
因为
又∵四边形是菱形，是等边三角形，所以，
所以，故为的中点.
因为平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由题意可得：.
连接，，
由（1）得：，平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
在中，，
所以，故，
在中，，
所以.
所以，
.
设点到平面的距离为，则，
得.
所以点到平面的距离为.
题型02点到平面距离（最值或范围）
【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由于，故点在以为球心，半径为的球面上，
设到平面的距离为，则由等体积法可得,
而,所以,
故，
因此点到平面的距离的最大值为，
故答案为：
【典例2】（2021下·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，，.
（1）用a，b表示四面体ABCD的体积；
（2）若a=2b，求二面角D-AB-C的大小（用反三角函数表示）；
（3）若a+b=1，求点D到平面ABC距离的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）该四面体可看作以为底面，以为高的三棱锥，DA=DB=a，
，所以为等边三角形，，
所以.
（2）取的中点，连接 则，因为，且DA=DB，所以，则，所以，则为二面角D-AB-C 的平面角.
因为，即，，，所以平面，即，又，，所以，所以，即二面角D-AB-C的大小为.
.
（3）三棱锥可看作以为底面，以为高的三棱锥，也可看作以为底面，为顶点的三棱锥，设到底面的距离为，则有.
由（2）可知，为等腰三角形，，则；即 ，解得：，令
当且仅当时等号成立，
所以
【变式1】（2020·山东·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【详解】边长为，则中线长为，
点到平面的距离为，
点是以为直径的球面上的点，
所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过和的两个平行平面间距离，
分别取中点，连，
则，同理，
分别过做，
直线确定平面，直线确定平面，
则，同理，
为所求，，
，
所以到直线最大距离为.
故答案为:；.
【变式2】（2022下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 .
【答案】
【详解】绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为.
故答案为：
题型03求异面直线所成角（定值）
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以异面直线与所成角为或其补角，
又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱，
所以，
所以，
故选：A.
【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图,取的中点,取的中点,连接
则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角．
易知平面,所以平面,所以.
因为,,所以,
所以由勾股定理得,
又,,
所以在△中,由余弦定理得,
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选:A．
【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，
则，则，可知或其补角为异面直线与所成的角．

因为，即为等边三角形，
不妨取，连接，则，
过点作于点，则，可得，
连接，则，
过点作，垂足为，连接，则，
所以，则，
又，所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正方体棱长为2，连接，如图，
因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，
在直角三角形中，，
故选：D
【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，取的中点的中点，连接，，，所以,
又M，N分别为，的中点，所以，
故，平面,所以平面，
又,所以四边形为平行四边形，故，
平面,平面，
又，平面，，故平面平面，
所以当平面时，平面，则点在线段上，
当时，取得最小值，易知，
则此时为线段的中点．（等腰三角形中三线合一）
由可得，所以为异面直线与所成的角，
且由平面几何知识可知，，，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：D．
【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【详解】设平面平面，因为平面，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，
同理可证，异面直线与所成的角即所成的
在正四棱柱中，底面是正方形，且，
，，
，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
题型04异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
当，即时，取得最大值，即BD的最大值为.
过做交于，
设直线与所成角为，
又因为，
由此可知越大，直线与所成角的余弦值越大；
当平面与平面垂直时，直线与垂直，，即此时所成角的余弦值最小值0，
当与 共面，即将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中的初始和结束状态时，余弦值最大，
,解得：
，，所以
此时直线与所成角余弦值
综上所述，直线与所成角的余弦值的取值范围是,
故选：B.
【典例2】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)点在平面内运动（含边界），当时，求直线与直线所成角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为正方体，所以，
又因为，
所以≌，所以，
所以，即.
又因为平面，且平面，所以.
又因为，平面，
所以平面.
（2）设，其中，则，
所以，当且仅当取等号.
因为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积的最大值为.
（3）因为平面平面，所以，
在正方形中，，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，点在平面内运动（含边界），且平面平面，
所以点，所以点的轨迹为线段，
把原正方体扩展成长方体，连结，

依题意∥，则为直线与直线所成的角，
设，
则，
所以
且在上为减函数.
所以当时，即与重合，
直线与直线所成的角的余弦值的最大值为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取中点，连接，，
，，
，
，
为正三角形，
取中点，连接，
则，且，
易知平面，
，平面，
，在图中圆上，
当与，重合时，最大，
当与，重合时，最小．
故选：A.
【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台中，底面，，，，若是边的中点，点在侧面内，则直线与直线的夹角的余弦值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接，
由三棱台的性质知，，则四边形为平行四边形，
又为的中点，所以，，
又为的中点，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，，
因为为的中点，所以，，
故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要判断直线与AP夹角的余弦值的可能值，则需求其范围，
要使直线与AP夹角的余弦值最大，则需直线与AP夹角最小，即直线与AP夹角的正弦值最小，故需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则点到AP的距离最小时，为点到面的距离，
因为底面，，所以底面，
设点到面的距离为，利用等体积法知，
即，即，,
在直角中，，，
又在中，，，
，
，又，
设直线与AP夹角的最小值为，则，
此时，即直线与AP夹角的余弦值最大值为，
又当点与点重合时，易得为直线与AP夹角，
易得，则为正三角形，
所以，则，
综上：直线与AP夹角的余弦值最大值为，同时至少要大于或等于，
从而选项ABC都满足要求，选项D不满足.
故选：ABC.
题型05根据异面直线所成角求参数
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，将四面体放在一个长方体中，设，
因为，所以即，
因为，所以异面直线与的夹角为，
在，即，
联立 解得，
所以
设，
，
所以，的最大值为.
故选：B
【典例2】（2023上·上海普陀·高二校考期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 .
【答案】或
【详解】取中点为，连接，
因为分别是的中点，
所以，，，且，.
又异面直线所成角的大小为，
所以，或.
当时，
在中，由余弦定理可得，
，
所以，；
当时，
在中，由余弦定理可得，
，
所以，.
综上所述，或.
故答案为：或.
【典例3】（2023下·广东广州·高一校联考期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ．
【答案】/
【详解】取的中点，连接，如图，

因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角，
令，而两两互相垂直，则，，
在等腰中，，，解得，
显然平面，所以四面体的体积为.
故答案为：
【变式1】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】BD
【详解】
取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，，
所以，，，，
所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或，
当时，根据余弦定理得，，解得；
当时，根据余弦定理得，，解得.
故答案为：BD.
【变式2】（2023上·上海嘉定·高二校考期中）空间四边形ABCD中，，直线AD与BC所成角大小为60°，分别是的中点，则 ．
【答案】或.
【详解】取的中点为，分别连接
因为分别是的中点，所以
故为直线与所成的角或其补角,
所以或者，
在中，
所以当时，,当时，
故或
故答案为：或.
【变式3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1） 平面，平面，
，
又底面为正方形，则
且，平面，
平面．
（2）平面，
，为锐角，
又 ，
为直线与所成的角，
，在中，，
，
在中，，，于是．
题型06求线面角定值
【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为，D分别是，BC的中点，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，
因为为直径，所以，因为，即，
又因为平面，
平面，所以，平面，
所以平面，过点作交于点，
因为平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以为交线l与平面所成角，
因为，，
.
所以，结合图知.
故答案为：.
【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则 .
【答案】/
【详解】

在上任取一点D并作平面，连接，则就是直线与平面所成的角.
过点O作，，连接，.
∵平面，平面，所以，
因为面，面，
所以面，面，
又面，面，
则，.
所以，∴，∴.
∵，
∴点O在的平分线上，即.
设，∵，∴.
在直角中，，，则.
在直角中，，，则，
即直线与平面所成角的余弦值是.
故答案为：.
【典例3】（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ．
【答案】
【详解】因为底面，底面，所以，
由，所以，
又因为，且平面，所以平面，
且平面，则，
设，取的中点，连接，，
因为，可得，
且，平面，所以平面，
则即为与平面所成的角，
由，可得，所以，
在直角中，，
所以与平面所成的角的正切值为.
故答案为：.
【变式1】（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 .
【答案】
【详解】如下图

取的中点，连接，，
∵是等边三角形，，∴，，
∵是正三棱柱，
∴平面，又∵平面，
∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，又∵平面，平面，
∴，是与侧面所成的角.
∵，，
∴在中，，
又∵，∴，
即与侧面所成的角是.
故答案为：.
【变式2】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .

【答案】
【详解】
过点作于点，连接，，
因为为长方体，所以平面平面，
因为，平面平面，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
，，，
.
故答案为：.
【变式3】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知等腰直角的斜边在平面内，与所成角为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【详解】如图所示，过作于，连接，
则为与平面所成角，同理分别是与平面所成的角，
又平面，则，
由题意可得，设，则有， 在中，.
故答案为：.
题型07求线面角（最值或范围）
【典例1】（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，，
故四边形为正方形，且，，
又由点关于折叠而来，故，且，
又、平面，且，
故平面，过点作于点，
由、，故，又平面，
故平面，连接，则为与平面所成角，
由平面，故，
故与平面所成角的正切值即为，
由，，，
故与全等，故，
，
过点作于点，则有，
设，则，
当点在线段上（可在点，不可在点）时，则，
有，
则，
则，
易得在上时随的增大而增大，
故，
当点在线段上（不在两端）时，，
则，
则，
则，
易得在上时随的增大而增大，
此时，
综上所述，，
即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为.
故选：D.
【典例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示：
因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得；
对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即，
故在中，因为，设外接圆半径为，
则，解得；
在中，因为，且，故可得，即，
再由正弦定理可得，则，又为锐角，故；
则，即是以为顶角的等腰三角形；
因为平面，故与平面的夹角即为，则，
又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则.
故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为.
故选：B.
【典例3】（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 .
【答案】/
【详解】由题意，为动直线与底面所成角，只需求旋转过程中直线与面所成角的最大角即可，
又面面，只需求直线与面最大夹角正弦值，
过作，交延长线于，连接，显然△△，
所以，故为平行四边形，则，，，
所以△为等腰三角形，过作于，则必在线段上，
综上，绕旋转过程中，点轨迹是以为圆心，为半径的圆上，
设，则，故，
所以，解得，则，，
绕旋转过程中，是为轴，圆为底面的圆锥的母线，
所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，，
而直线与面夹角为，且，，
令，则，而，
令，则，而
综上，，故的最大值是.
故答案为：
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角正切值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图（1）所示，作平面，连接，，，
因为直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，
所以，，即，
以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，
则有，，设，
由有，，化简可得，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线与平面所成的角为，则，
又①，
又点满足，即=，代入①式得，
令，则表示圆与定点连线的斜率，
又由与圆相切时，可得，
，解得，，即，
故当时，取得最小值为，此时最小，
最小值为，
故选：A.

图（1） 图（2）
【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 .
【答案】
【详解】
如图，取的中点为，连接，则可知，
所以，即为直线与平面所成的角.
设边长为2，则，设，，，
则，，.
因为，所以.
又是的中点，所以.
又，
所以有，整理可得.
因为，，所以有.
在中，有.
令，，
根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递减.
又，，
所以，
所以，.
故答案为：.
【变式3】（2023·河南·模拟预测）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，
则为的中点，平面，
过点作平面，为垂足，则，，
作，垂足为，则四边形为矩形，
，得，，
则，所以，
故，所以，
则，即，
则，
所以.
故答案为：.
题型08根据线面角求参数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，
因为，所以，
所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
则点的轨迹为圆弧.
连接，则，
因为，，
所以，
则弧的长度，
所以.
故选：C.
【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ）
A．224 B．448 C． D．147
【答案】B
【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，
.
因为四棱台上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，
所以底面，又，所以底面，
所以是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，则，
因为，所以，，
易知四边形是等腰梯形，则，
所以在中，，则，
即四棱台的高为，
则该四棱台的体积.
故选：B．
【典例3】（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .

【答案】/
【详解】如图，自点引平面的垂线，垂足为，因为，

则两点在以为高，以为母线的圆锥的底面圆周上，
因为为半平面内的两个点， 为半平面内一点，
所以当两点运动到公共棱上时，最大，则最长，此时在中为定值，最大，所以AD最大.
自点引公共棱的垂线，则由题意得，
所以，，所以，
因为，所以，
因为，所以为的中点，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中由余弦定理得,
故答案为：
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接，
由正弦定理得，则，
为的中点，，
，所以，
因为平面平面，于，平面平面，则平面，所以直线与平面所成的角是，则，即，因为，所以，则，故，
设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于，
则平面，于是，从而是矩形，
所以外接球半径满足，
解得，
所以外接球的表面积为．
故选：B．
【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连，因为平面，所以是与平面所成的角，
所以，所以，
设，则，即，
又，所以，所以，
即，所以，，
因为该长方体外接球的直径是，所以半径，
所以该外接球的表面积为.
故选：B
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接交平面于，连接，
由题意可知平面，
所以是与平面所成的角，
所以＝.
由可得，即.
在四面体中，, ,
所以四面体为正三棱锥，为的重心，
如图所示：
所以解得 ，,
又因为，
所以 ，
即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以.
故答案为:.
题型09求二面角定值
【典例1】（2023上·上海长宁·高二上海市复旦中学校考期中）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，

，则；，则，
平面，平面，
故是二面角的平面角，故.
故选：C
【典例2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：为中点，连接，，则，，
平面平面，且平面，平面，
故为二面角的平面角，

在中，，，
在中，.
故选：A
【典例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，所以为直角三角形，
取的中点，则为的外心，
所以球心在过底面的外心（中心）且垂直底面的直线上，也在过 外心且垂直侧面的直线上，如下图，

因为三棱锥外接球的表面积为，即，解得，
取的中点，连接，则，
所以都与垂直，
所以是二面角的平面角，
又，，
在中，，
在 中,
，
所以，所以，
在中，，
由平面得，又，
所以平面，
由面得，又，
所以平面，
又平面，平面有公共点，
所以四点共面，
所以
即二面角的大小为，其余弦值为.
故选：A.
【变式1】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在四面体中，取的中点，连接，如图，

由，得，
因此是二面角的平面角，
在中，，
由余弦定理得，
而，则，所以二面角的大小为.
故选：A
【变式2】（2024上·北京房山·高二统考期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ．
【答案】 /
【详解】由于，所以是异面直线与直线所成角或其补角，
而四边形是正方形，所以.
连接交于，则，连接，
由于，是的中点，所以，
所以是平面与平面夹角，
设正方体的边长为，则，
所以在直角三角形中，.
故答案为：；
【变式3】（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
【答案】
【详解】取和的中点分别为，，
，分别是，的中点，
,,
由于且为正三角形，
，故,
由于，分别是，的中点，因此，
故,
由于截面侧面，所以,进而可得,
由于
故为侧面与底面的二面角的平面角，
设， ，，
在直角中， ，
故答案为：
题型10求二面角（最值或范围）
【典例1】（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过作的垂线交与，交于，于，
设在平面内的投影为，则在直线上，
过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，
设，由题意，，
则，
由，，得，
所以，
所以，
令，可得，则，
所以，当即，也即时，取到最大值，
此时最大，即二面角取得最大角.
故选：B
【典例2】（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是 .

【答案】/.
【详解】过点作交于点，连接，如下图所示：
因为在平面内的射影为点，所以平面，所以，
又因为，，所以平面，所以，
所以二面角的平面角为，且，
又因为，所以，易知三点共线，且，则，
在平面中建立平面直角坐标系如下图所示：
设，因为在平面内的射影为点，所以可知，
又，所以，，
所以，，所以，
所以，
设，所以，
当且仅当，即，即时取等号，
所以，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过作 的垂线交与，交于，于，

设在平面内的投影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，
则为二面角的平面角，设
由题意
，，
由，，，
，
，
令，可得解得，
所以；
故选：C．
【变式2】（2023上·福建泉州·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 .
【答案】 /
【详解】
第一空 取的中点，连接，
因为，所以；
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，，，所以，，
所以三棱锥的体积为
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
故三棱锥的体积的最大值为.
第二空 解法一：
由平面，又平面，所以，过作于，
连接，因为平面，，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
因为在以为圆心，为半径的圆上，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，
此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为.
题型11根据二面角求参数
【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又因为二面角的大小为，即，则，
因为，由图易知，，
所以，
.
故选：C.
【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .

【答案】
【详解】
如图，作，交于，则，
过作交于点，连接.
因为为直三棱柱，则平面，且，
则平面，且平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，所以，
则是二面角的平面角，
即的正切值为.
故答案为：
【典例4】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知为等腰直角三角形，是斜边且长度为，是等边三角形，若二面角大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】取的中点，连接，，
为等腰直角三角形，为等边三角形，
，，
为二面角的平面角，
二面角为直二面角，，
故,又，平面，
平面，
又是三角形的外心，
故三棱锥的外接球的球心在上，
由于,
故,
设外接球的半径为，则，
即，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：
【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取的中点，连接、，
因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，，
所以，二面角的平面角为，且，
设、分别为、的外心，
过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，
易知，同理可得，
，，，平面，
平面，，同理可得，
所以，四边形是边长为的正方形，
由正弦定理可得，，
因此，四面体的外接球的表面积为.
故选：D.
【变式2】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .
【答案】/
【详解】解：因为矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.
故设，
所以，，即，解得，
所以，，
所以，
因为二面角成直角，
所以，异面直线所成角为，
所以，.
故答案为：.
【变式3】（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .
【答案】/0.2
【详解】沿AC将折起后位置为，且为矩形，则，

所以异面直线AB与CD所成角，即为与CD所成角或其补角，
作于，连接，显然，
由二面角为直二面角，即面面，面面，
面，则面，而面，故，
由，且，故，则，
所以，又，
则.
故答案为：
【变式4】（2023下·重庆·高一统考期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．
【答案】.
【详解】设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以，
故答案为：.

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