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第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课程标准 学习目标
①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用；
知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：
.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
题型01 棱柱的表面积
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【详解】当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，
设棱、、的中点分别为、、.
原三棱柱的全面积（）.
由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：
当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：
图①的全面积（），
图②的全面积（），
当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：
图③的全面积（），
图④的全面积（），
图⑤的全面积（），
图⑥的全面积（），
由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），
则（），解得：，
故a的取值范围是.
【典例3】（2023上·上海·高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）.
【答案】112或72
【详解】设底面边长、侧棱长分别为，，
则，
解得或，
所以或.
【变式1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，在长方体中，连接,

，
，
该长方体的表面积为.
故选：D.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是 .
【答案】
【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上下底面积，减去覆盖部分的面积，可知表面积为：
故答案为：.
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC 面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中点，故侧棱长为2.
（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.
题型02 棱柱的体积
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（ ）

A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【详解】设六棱柱的底面边长为，高为.
则，，，故，
.
故选：B.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，E F分别是棱 的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 .
【答案】
【详解】设正方体的棱长为，体积为，则
，
因为E是棱的中点，所以，
，
.
.
故答案为：
【典例3】（2023下·福建宁德·高一校联考期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.

(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）设底面圆的直径为2r，
由题可知,圆柱的体积，
解得，即圆柱的底面半径为1
（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，
由正弦定理，边长，
所以三棱柱的体积
【变式1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 ．
【答案】6
【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形S，
水的体积V水S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，
即当底面ABC水平放置时，液面高为6．
故答案为：6．
【变式2】（2023上·上海·高二专题练习）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；

【答案】；
【详解】由底面菱形的两对角线长分别为，，
不妨设，，
则底面菱形的面积（）
所以该棱柱的体积为（）
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用材料的形状是矩形板，制作方案如图（单位：dm），求水箱的容积．

【答案】立方分米.
【详解】由题设可得长方体的底面为边长为10的正方形，高为5，
故体积为（立方分米）.
题型03 棱锥的表面积
【典例1】（2023下·甘肃酒泉·高二校考期末）如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，连接交于点，取的中点，分别连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以底面，且，
在等腰中，为的中点，所以，即为正四棱锥的斜高，
在直角中，，可得，
所以正四棱锥的侧面积为.
故选：B.

【典例2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．

【答案】
【详解】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，如图所示，
因为为正方体的面对角线，
所以，
所以为正四面体，
所以表面积为：，
故答案为：．

【典例3】（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），.
(1)求证：；
(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)，；
（2）用正方形面积减去4个全等的等腰三角形面积可得.
【详解】（1）作，垂足分别为M，N，
由题可知，M，N分别为EF，AB的中点，
所以在中，，，
所以，
易知，在中，
所以，
即
（2）在中，易知，
所以，
又正方形ABCD的面积为，
所以正四棱锥的表面积记
因为，所以，
所以
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，正三棱锥中，为正三棱锥的高，
则，取的中点，连接，，
则在上，且，
又，，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为.
故选：B
【变式2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 .
【答案】
【详解】因为是正三角形，其边长为1，所以,
因此，四面体的表面积.
故答案为: .
【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

【答案】
【详解】作，垂足为点E，连接OE．
因为，所以．
因为，，,平面SOE，
所以平面SOE，而平面SOE，
所以，故．又，所以．
又底面周长，所以正棱锥侧．
又底，因此，该正四棱锥的表面积为表．
题型04 棱锥的体积
【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥中，四边形为平行四边形，分别为侧棱的中点，过三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，，如图，
连接，则平面就是截面，将四棱锥分成的两部分分别是四棱锥和五面体．
连接三棱锥和三棱锥的底面共面，
三棱锥和三棱锥的高相等，
它们体积的比值等于底面积的比值．
又，（ 在边上的高和在边上的高相等），
.
因为点为的中点，
点和点到平面的距离相等，
.
因为四边形为平行四边形，．
设四棱锥的体积为，则，，
又，
即，.
故选：C.
【典例2】（2024上·山东济南·高三统考期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【答案】
【详解】在平面上的投影是，因为是正四棱锥，
所以是正方形对角线的交点，连结，
，，
所以，于是.
故答案为：.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体中，用截面截下一个三棱锥，则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 .
【答案】
【详解】设，，，所以长方体体积
三棱锥的体积，
∴剩余部分的体积
∴三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.
故答案为：.
【典例4】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为
(2)表面积为，体积为
【详解】（1）如图：

在正六棱锥中，，
H为中点，所以．
因为是正六边形的中心，
所以为正六棱锥的高．
，
在中，，
所以．
在中，．
在中，，，
所以．
故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．
（2）的面积为，
的面积为，
所以正六棱锥的表面积为，
体积为
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示，连接，，
则四边形为正方形，且平面，
由正八面体可知，
，
则，，
所以，
表面积，
所以，
故选：B.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的体积为分别为的中点，则三棱锥的体积为 ．
【答案】/0.25
【详解】设点到平面的距离为，
因为分别为的中点，则点到平面的距离为，
又因为分别为的中点，则，
由题意可知：，
整理得，即三棱锥的体积为.
故答案为：.
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的体积和侧棱长；
(2)求棱锥的表面积．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）
由题意可知底面四边形是正方形，设其对角线交于O点，则，
所以四棱锥的体积为：，
侧棱长；
（2）取的中点E，连接，易知，
由上可知，
所以棱锥的表面积为.
题型05 棱台的表面积
【典例1】（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图正四棱台中，连接，，过点、分别作、，交于点、，
依题意，，，
则，所以，
所以正四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积，
又正四棱柱的侧面积，
所以该柷（含底座）的侧面积约为；
故选：B
【典例2】（2023下·福建南平·高一统考期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为 .
【答案】/
【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，

又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，
所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，
上下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为．
故答案为：．
【典例3】（2024·全国·高一假期作业）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
【答案】(1)
(2)侧面积为，全面积为
【详解】（1）设正六棱锥的高，底面边长，
因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥，
所以小棱锥的高为，底面边长，
在中，因为，所以，
于是有：，
因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；

（2）由（1）可知：，
已知大棱锥的侧棱，
显然在中，上的高长为，
所以，
所以，
由（1）可知：截得的棱台的侧面积为，
截得的棱台的全面积为.
【变式1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
【变式2】（2023·江苏·高一专题练习）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（ ）
A．27 B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm，
连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，
在中，，
，
所以，
所以．
故选：B
【变式3】（2023下·河南驻马店·高一统考期末）《九章算术》中将正四梭台（上 下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
【答案】
【详解】如图所示，分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，，
则即为正四梭台的高，，
由，得，
所以此方亭的表面积为.
故答案为：.

题型06 棱台的体积
【典例1】（2023·安徽·校联考模拟预测）中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是正四棱台，，，
侧面以及对角面为等腰梯形，故，，
，所以，
所以该四棱台的体积为，
故选：B.
【典例2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为．
故选：C．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则 ．
【答案】
【详解】如图，连接，交于点，连接交于点，连接，
则，底面，平面，．
过作于点，则，底面．
该四棱台的体积，．
又，，，．
故答案为：
【变式1】（2023上·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为 ．
【答案】
【详解】如图，取的中点、的中点，上、下底面的中心、，
则为斜高，四边形为直角梯形．
正四棱台的侧面积，
，
在直角梯形中，过点作⊥于点，
则，，
因为，，
所以cm，
cm，
该四棱台的体积为
故答案为：
【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【详解】因为上底面与下底面的面积之比为，设，则，
故方亭的高为，
故方亭的体积为，解得，
故m，即该方亭的上底面边长为3m.
故选：A
【变式3】（2023·广西·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、6，高为，则正四棱台的体积为 ，外接球的半径为 .
【答案】
【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：，
所以正四棱台的体积为；
连接，交于点，连接，交于点，如图所示：
当外接球的球心在线段延长线上，
设，外接球半径为R，则，
因为，上、下底面边长分别为4、6，
则，，
所以
当外接球的球心在线段延长线上，显然不合题意；
当球心在线段之间时，则，同上可得，，不符舍去．
故答案为：；.
题型07 求简单组合体的表面积和体积
【典例1】（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
【答案】D
【详解】圆柱体积为，圆锥体积为，
所以，该组合体的体积为.
故选：D
【典例2】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到，各顶点在正方体棱的中点上，
如下图，故该二十四等边体的体积为.
故选：A
【典例3】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则下列结论正确的是（ ）

A．该几何体的体积为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的表面积为
D．该几何体的表面积为
【答案】AC
【详解】过直线和直线分别作平面，平面（图略），平面和平面都平行于竖直的正六棱柱的底面，如下图所示：

如下图所示，易知正六边形的对角线，底面面积为；

则该竖直的正六棱柱夹在平面和平面之间的部分的体积为；
将多面体分成三部分，，
三棱柱的体积为，所以多面体的体积为.
两个正六棱柱重合部分的体积为.
一个正六棱柱的体积为.
故该几何体的体积为，即A正确，B错误；
梯形的面积为，正六棱柱侧面除梯形外的面积为，
所以水平的正六棱柱的侧面积，
竖直的正六棱柱的侧面积，正六棱柱的底面面积，
两个正六棱柱侧面的公共面积.
故该几何体的表面积为，即C正确，D错误；
故选：AC
【变式1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为﹐下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗
【答案】C
【详解】由条件可得，茶碗的上底面面积，
茶碗的下底面面积，茶碗高，
则茶碗的体积，
所以，即茶水至少可以喝9碗.
故选：C
【变式2】（2023上·山东德州·高三统考期中）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且,
则青铜器的体积为，
故选：D
【变式3】（2023上·云南昆明·高三统考期中）第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为 ．
【答案】
【详解】根据圆台的体积公式，
可得（），
故答案为：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【详解】,
故选:A
2．（2024·广东·高三学业考试）已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（　　）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
3．（2024·广东·高三学业考试）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为，
根据圆锥的体积公式，其体积为：.
故选：B

4．（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为和，则此时鱼塘的水深（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设水深为，则，
解得，故此时水深为.
故选：C.
5．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）棱台的上、下底面面积分别为2、4，高为3，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设棱台的上、下底面面积分别为,则，
所以.
故选：A.
6．（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】因为面
所以.
故选：D.
7．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【详解】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
故选：B.
8．（2024上·广东东莞·高三统考期末）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，
设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，
则，可得，可得，
所以，该正四棱台的体积为.
故选：C.
9．（多选）（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在长方体上任意选取不共面的4个顶点，由这4个顶点构成的几何体中，则（ ）
A．存在三个面为直角三角形的四面体
B．存在每个面都是直角三角形的四面体
C．存在每个面都是全等三角形的四面体
D．四面体的体积为该长方体体积的六分之一
【答案】ABC
【详解】如图一四面体符合A选项的要求；
如图一四面体符合B选项的要求；
如图二当为正方体时容易知道正四面体符合C的要求，
且的体积不是长方体的六分之一故D不正确.
故选：ABC
10．（多选）（2024上·甘肃武威·高三统考期末）如图，在边长为的正方形中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中为正方形对角线的交点，，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为，则该正四棱锥的表面积可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
设翻折前，则翻折后，斜高，
该四棱锥的高，
则.
该四棱锥的表面积.
因为该正四棱锥的内切球半径为，所以，即，
则，解得或或（舍）
故或.
故选：BC.
11．（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ．
【答案】/
【详解】如图，
因为棱台的上、下底面的边长之比为，正四棱锥的底面边长是，高为，
所以正四棱锥的底面边长为，高为，
所以该棱台的体积为.
故答案为：.
12．（2024·全国·高三专题练习）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .

【答案】 /
【详解】设正方体棱长为1，由图知，切去的4个三棱锥体积相等，故截去的三棱锥的体积之和为，
而正方体的体积为，所以正三棱锥的体积为，
故正三棱锥与正方体体积之比为；
因为正三棱锥的每条棱长为，所以表面积为，
又正方体的表面积为，故表面积之比为.
故答案为：；
四、解答题
13．（2024·全国·高一假期作业）已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
【答案】(1)10；
(2).
【详解】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.

14．（2024·全国·高一假期作业）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．
(1)求四边形的周长；
(2)求多面体的体积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，故且，
又，，，
所以四边形的周长.
（2）多面体为三棱台，
又，，高，
所以.
15．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【答案】(1)；
(2)侧面积；表面积.
【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
则在等边三角形中，
有，，
又，得，即，解得，
所以，即金字塔的上底面的边长为，
所以金字塔的体积约为．
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的母线长为，，分别是上、下底面内一点（包括边界）．若点与点之间的距离的最大值和最小值分别为5和3，则该圆台的体积为 ．
【答案】
【详解】显然当垂直于底面时，，之间的距离最小，所以圆台的高为3．
设上、下底面半径分别为，记点在下底面内的射影为，直线交圆于点，
如图，当点与重合时，之间的距离最大．
此时，且母线长为3，
所以
所以圆台体积．

故答案为：
3．（2024·四川南充·统考一模）已知圆台的上下底面半径分别为和，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为 ．
附：圆台体积公式为：
【答案】
【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则
，
所以，
过点作于，则，
所以，
所以圆台的体积为
，
故答案为：
4．（2024·吉林·统考二模）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为 ; 的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】由题意可知几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
正四棱台高为，
可得体积为；
设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，
可得，解得，
所以的外接球的表面积为；
故答案为：；.
5．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为 ．

【答案】
【详解】
如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点，
则多面体可以分成8个全等三棱锥，
则
则该“十字贯穿体”的体积为:
故答案为：.
6．（2024·安徽池州·池州市第一中学校联考模拟预测）如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为 .
【答案】
【详解】设，由题意，，得，
将（※）代入（#），可得.
因为，所以，则，
，
当时，取得最大值.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课程标准 学习目标
①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用；
知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：
.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
题型01 棱柱的表面积
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是 .
【典例3】（2023上·上海·高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）.
【变式1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是 .
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
题型02 棱柱的体积
【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（ ）

A． B． C． D．以上都不对
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，E F分别是棱 的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 .
【典例3】（2023下·福建宁德·高一校联考期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.

(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
【变式1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 ．
【变式2】（2023上·上海·高二专题练习）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用材料的形状是矩形板，制作方案如图（单位：dm），求水箱的容积．

题型03 棱锥的表面积
【典例1】（2023下·甘肃酒泉·高二校考期末）如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．

【典例3】（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），.
(1)求证：；
(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围.
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 .
【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

题型04 棱锥的体积
【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥中，四边形为平行四边形，分别为侧棱的中点，过三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为，则（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2024上·山东济南·高三统考期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体中，用截面截下一个三棱锥，则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 .
【典例4】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
【变式1】（2024·全国·高一假期作业）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的体积为分别为的中点，则三棱锥的体积为 ．
【变式3】（2024·全国·高一假期作业）正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的体积和侧棱长；
(2)求棱锥的表面积．
题型05 棱台的表面积
【典例1】（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023下·福建南平·高一统考期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为 .
【典例3】（2024·全国·高一假期作业）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
【变式1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（2023·江苏·高一专题练习）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（ ）
A．27 B．
C． D．
【变式3】（2023下·河南驻马店·高一统考期末）《九章算术》中将正四梭台（上 下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
题型06 棱台的体积
【典例1】（2023·安徽·校联考模拟预测）中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则 ．
【变式1】（2023上·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为 ．
【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
【变式3】（2023·广西·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、6，高为，则正四棱台的体积为 ，外接球的半径为 .
题型07 求简单组合体的表面积和体积
【典例1】（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
【典例2】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则下列结论正确的是（ ）

A．该几何体的体积为B．该几何体的体积为
C．该几何体的表面积为D．该几何体的表面积为
【变式1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为﹐下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗
【变式2】（2023上·山东德州·高三统考期中）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·云南昆明·高三统考期中）第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为 ．

A． B．
C． D．
9．（多选）（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在长方体上任意选取不共面的4个顶点，由这4个顶点构成的几何体中，则（ ）
A．存在三个面为直角三角形的四面体
B．存在每个面都是直角三角形的四面体
C．存在每个面都是全等三角形的四面体
D．四面体的体积为该长方体体积的六分之一
10．（多选）（2024上·甘肃武威·高三统考期末）如图，在边长为的正方形中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中为正方形对角线的交点，，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为，则该正四棱锥的表面积可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ．
12．（2024·全国·高三专题练习）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .

四、解答题
13．（2024·全国·高一假期作业）已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
14．（2024·全国·高一假期作业）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．
(1)求四边形的周长；
(2)求多面体的体积．
15．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
B能力提升
1．（2024上·山西·高三期末）如图，玛雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每个侧面都是等腰梯形，并且梯形两腰延长得到的三角形是一个呈“金”字的等边三角形，它的底面是边长为的正方形，塔高为．该金字塔的体积约为（ ）．（参考数据，）

A．120064 B．40977 C．34048 D．31659
2．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的母线长为，，分别是上、下底面内一点（包括边界）．若点与点之间的距离的最大值和最小值分别为5和3，则该圆台的体积为 ．
3．（2024·四川南充·统考一模）已知圆台的上下底面半径分别为和，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为 ．
附：圆台体积公式为：
4．（2024·吉林·统考二模）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为 ; 的外接球的表面积为 .
5．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为 ．

6．（2024·安徽池州·池州市第一中学校联考模拟预测）如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为 .
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