资源简介

2024-2025 学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 = 1 ，其共轭复数为 ， 是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B.在复平面内 对应的点在第二象限

C. = 1 + D. | | = 2
2.已知向量 = (1,2)， = (3,4)，则 ( + ) =( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
3.设 ， 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ，则 //
4.如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，
图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是( )
A.图(1)中平均数<中位数=众数 B.图(2)中平均数<众数<中位数
C.图(2)中众数<平均数<中位数 D.图(3)中平均数<中位数<众数
5.已知三棱锥 ， = = 2，点 ， 分别是棱 ， 的中点，且 = 2，则异面直线 与
所成的角是( )
A. 2 B.
C. 3 4 D.

6
6 △ 3 3.已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 = 3， = 1，且△ 的面积为 4 ，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 2 2 D. 3
7.已知△ 的外接圆圆心为 ，且 2 = + ，| | = | |，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 14
B. 3 4
C. 14
D. 3 4
8.已知圆锥的母线长为 2，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为 2，则该圆锥底面半径的取
值范围是( )
A. (0, 2] B. (1, 2] C. [ 2, 2) D. (0,2)
第 1页，共 9页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某影院连续 10 天的观影人数(单位：百人)依次为 90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，
则下列关于这 10 天观影人数的结论正确的是( )
A.众数为 120 B.平均数为 140
C.中位数为 145 D.第 75 百分位数为 170
10.若平面向量 ， 满足| | = | | = 2，| + | = 2 3，则( )
A. = 2 B. 与 的夹角为6
C. ( + ) ⊥ ( ) D. | | = 2
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 是四边形 1 1 内(包括边
界)的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.当 在线段 1 1上时，三棱锥 的体积是定值
B.当 是线段 1 的中点时，△ 的周长是 2 3 + 2
C. 9 当 是线段 1 1的中点时，三棱锥 的外接球的体积是 2
D.当 是棱 的中点时， 1 + 的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2, )与 = ( , 8)共线，则实数 = ______．
13.如图，在边长为 4 的正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点.将△ ，△ ，△ 分别沿 ，
， 折起，使 ， ， 三点重合于点 .若三棱锥 的顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为______．
14.研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 10 名女工员、20 名男
员工的体重数据，计算得到 10 名女员工的平均体重为 52(单位： )，方差为 6；20 名男员工的平均体重
为 64(单位： )，方差为 3.则这 30 名员工体重的平均数是______，方差是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = ( 2 + 2) + (4 2) ， ∈ ， 是虚数单位．
第 2页，共 9页
(1)若复数 是纯虚数，求 的值；
(2)当 = 1 时，复数 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
从某次测试中随机抽取 100 份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在 40～100 之间，将
抽取的测试卷按成绩分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，画出如图所示的
频率分布直方图．
(1)求 的值和抽取测试卷的成绩的第 80 百分位数；
(2)对成绩在[40,50)和[50,60)的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取 5 份，再从这 5 份测
试卷中随机抽取 2 份了解答题情况，写出这 2 份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这 2 份测试卷
成绩都在[50,60)的概率．
17.(本小题 15 分)
某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答.若答对两道题目，则面试
4
通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试.已知李明答对第一道题目的概率为5，答对第
3 2
二道题目的概率为5，答对第三道题目的概率为5，假设每道题目是否答对是独立的．
(1)求李明第二次答题后结束面试的概率；
(2)求李明最终通过面试的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ⊥平面 ， = = 2， = 1， 是 的中点，
过点 作 ⊥ 交 于点 ．
(1)若 是 的中点，过点 作一个截面，使得该截面与平面 平行，请画出截面，并写出作图过程(无需
证明)；
第 3页，共 9页
(2)证明： ⊥平面 ；
(3)求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)
已知△ 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 是△ 的外心．
(1)当 = 2 时，求 ；
(2)对于任意的 ， ， ， ∈ ，用向量方法证明不等式( 2 + 2)( 2 + 2) ≥ ( + )2(当且仅当 =
时，等号成立)；
2 2
(3) 若 ( ) +
5 2
2 2
( ) = ，求 + 3 的最大值．
2
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±4
13.24
14.60 36
15.(1)由题可得， 2 + 2 = 0，且 4 2 ≠ 0，
由 2 + 2 = 0 得 = 1 或 = 2，由 4 2 ≠ 0，得 ≠± 2，
故 = 1；
(2)当 = 1 时， = 2 + 3 ，
代入关于 的方程 2 + + = 0，得( 2 + 3 )2 + ( 2 + 3 ) + = 0，
整理得，( 5 2 + ) + (3 12) = 0，
因为 ， 为实数，所以 5 2 + = 0，3 12 = 0，
解得 = 4， = 13，故实数 ， 的值分别为 4，13．
16.(1)由频率分布直方图可得 10 × (0.01 + 0.015 + 0.015 + + 0.025 + 0.005) = 1，解得 = 0.030．
又由频率分布直方图可得前 4 组的频率为 10 × (0.01 + 0.015 + 0.015 + 0.03) = 0.7 < 0.8，
前 5 组的频率为 0.7 + 0.025 × 10 = 0.95 > 0.8，故第 80 百分位数在区间[80,90)上，
0.8 0.7
因此第 80 百分位数为 80 + 0.025 = 84．
(2)采用比例分配的分层抽样从[40,50)和[50,60)抽取 5 份测试卷，
由于[40,50)和[50,60)的频率比为 0.1：0.15 = 2：3，
第 5页，共 9页
故成绩在[40,50) 2的测试卷中抽取数为 5 × 2+3 = 2，记作 ， ；
3
成绩在[50,60)的测试卷中抽取份数为 5 × 2+3 = 3，记作 ， ， ，
则从抽取的 5 份测试卷中随机抽取 2 份测试卷的所有可能构成的样本空间为：
= {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，共有 10 个样本点，
设事件 =“这 2 份测试卷成绩都在[50,60)”，
则 = {( , )，( , )，( , )}，故 ( ) = 3，
从而 ( ) = ( ) 3 ( ) = 10．
因此，这 2 份测试卷成绩都在[50,60) 3的概率是10．
17.(1)设 表示“李明答对第 道题目”，( = 1,2,3)，
表示“李明第二次答题后结束面试”，

则 = 1 2 ∪ 1 2，且 1 2， 1 2互斥．

因为每道题目是否答对是独立的，所以 1与 2相互独立， 1与 2相互独立，

于是 ( ) = ( 1 2 ∪ 1 2) = ( 1 2) + ( 1 2)

= ( 1) ( 2) + ( 1) ( ) =
4 × 3+ 1 × 2 = 142 5 5 5 5 25．
(2)设 表示“李明最终通过面试”，

则 = 1 2 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3且 1 2 3, 1 2 3互斥，

所以 ( ) = ( 1 2 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3)

= ( 1 2) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)

= ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3)
= 45 ×
3 + 4 × 2 × 2 + 1 × 3 × 2 = 825 5 5 5 5 5 5 125．
82
因此，李明最终通过面试的概率是125．
18.(1)如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
则截面 //平面 ．
第 6页，共 9页
(2)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
在矩形 中， ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
在△ 中， = ， 是 的中点，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(3)由(2)知 ⊥平面 ，于是 ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角．
在△ 中， ⊥ , = 2, = 5，
故 = 3，从而 = 2 5．3
在△ 中， ⊥ ， ⊥ ，

故 2 = ，从而 = ．3
又在△ 中， = 2，
第 7页，共 9页
故由余弦定理得∠cos∠ =
2+ 2 2 10，
2 = 10
所以二面角 的余弦值为 10．
10
19.(1)因为点 是△ 的外心，所以点 在边 的中垂线上．如图设点 为线段 的中点，
则 为向量 在向量 上的投影向量，
设 与 的夹角为 ，所以 = | | | | = | | | | = 1 × 2 = 2．

(2)证明：构造向量 = ( , ), = ( , )，因为 = | | | | ，
所以 + = 2 + 2 2 + 2 ，
于是( + )2 = ( 2 + 2)( 2 + 2)cos2 ，
( 2 + 2)( 2 + 2)cos2 ≤ ( 2 + 2)( 2 + 2)，
即( 2 + 2)( 2 + 2) ≥ ( + )2
当且仅当cos2 = 1，即 =± 1， = 0 或 时，等号成立，此时 与 共线，有 = 0，
即 = ，不等式得证．

2 2
(3) ∠ = (

) +

如图，令 ，由 (
2
2 2 ) =
5
2
，
2 2 2
得 2 ( | | ) +
( | | ) = 5 2 2 ，
由点 是△ 的外心可知， 是三边中垂线的交点，因此有 =
2|
, = ，
| 2| |
2 2 5
代入上式得 + = | 2 2 2 |，所以 + = 5| |
2．
2| | 2| |

又 是△ 的外接圆的半径，因此 = 2| | , = 2| ， |
+ 3 = + 3 = +3 于是有
2| | 2| | 2|
，
|
由(2)结论可知，( 2 + 2)(12 + 32) ≥ ( + 3 )2，因此( + 3 )2 ≤ 50| |2，

从而 + 3 ≤ 5 2| | +3 5 2| | 5 2，于是
2|
≤
| 2|
= ，当且仅当 3 = 时，等号成立，
| 2
第 8页，共 9页
因此 + 3 5 2的最大值为 2 ．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑