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河南省南阳市镇平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的）
1. 当，分式无意义，则括号里代数式可能是（ ）
A. B. C. x D.
2. 人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
A. 的度数 B. 的长度
C. 的面积 D. 的长度
4. 学校广播站要新招1名广播员，复试环节有口语表达、写作能力两项测试，其中学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，小强顺利进入复试并在这两项测试中分别取得90分和85分的成绩，则小强的最终成绩是（ ）
A. 89 B. 88 C. 87 D. 86
5. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
6. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，为的中点，，若，则的长为（ ）
A. 1 B. C. D.
8. 如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（ ）
A. 3 B. C. 9 D. 18
9. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（ ）
A. 4 B. C. D. 16
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 若不是最简分式，则（ ）里的整式可以是__________．（写出1个即可）
12. 某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：）分别是162、165、170、170、168、172，现增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数__________，中位数__________，众数__________（从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）．
13. 如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是__________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，过作轴交于点，连接，则的值为_______．
15. 在矩形中，，点为的中点，连接，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为__________．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算或化简
（1）计算：；
（2）化简：．
17. 【问题情境】生活中，有些鱼类长的比较相像，经常会被认错．数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往附近的水产市场购买鱼并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动．
【实践发现】
同学们在水产市场上观察将要购买的A，B两种鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如下图所示．
实践探究】根据以上数据，得到以下统计量．
平均数 中位数 众数
A种鱼的重长比 4.6 4.6
种鱼的重长比 3.12 3.0
【问题解决】
（1）上述表格中：______，______．
（2）若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在种鱼与种鱼中，体型差异较大的是________种鱼．（填“”或“”）
（3）食堂采购员在该水产市场购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是种鱼还是种鱼，并说明理由．
18. 如图，点为格点，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上的格点，再画出反比例函数的图象．
（3）正比例函数的图象与此反比例函数图象交于点，点，请画出此正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集为________．
19. 如图，为等腰三角形，．将沿直线向右平移到的位置．
（1）连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
（2）连接，求的长．
20. 踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知品牌毽子的单价比品牌贵2元，且用150元购买品牌毽子的数量是用85元购买品牌毽子数量的两倍．
（1）这两种品牌毽子的单价各是多少？
（2）已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共200个，且购买品牌毽子的数量不低于品牌的，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？
21. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数(m为常数，的图象交于点和．
（1）求一次函数解析式；
（2）直接写出的面积；
（3）点分别是一次函数和反比例函数的图象上的点，请直接写出_________（填“”、“”或“”）．
（4）点是轴上方一点，且以A、O、B、E的为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
23. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点，连接．
发现一：是_______________三角形；
发现二：的位置关系是：_______________．
于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？
（2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因；
（3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点在射线上运动，分别过点，点作平行线，交点为点，将沿着所在直线折叠，点的对应点为点，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形．
参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．A；2．B；3．C；4．A；5．B；6．C；7．D；8．C；9．D；10．B．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．2x(答案不唯一)；12．变大，变大，不变；13．6；14．17；15．1或
三．解答题(本大题8个小题，共75分)
16．(10分)(1)；(2) ……………………………………………10分(每小题5分)
17.(9分)解：(1)3.1，5.0 ……………………………………………………………4分
(2)A ………………………………………………………………………………6分
(3)A种鱼 .…………………………………………………………………………7分
理由如下:1.8÷0.4=4.5，即该鱼的重长比为4.5，更接近A种鱼的重长比的平均数，故推测这条鱼更可能是A种鱼.(理由不唯一,合理即可) ………………………9分
(9分)解：(1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(﹣4，1)
∴1= ∴k=﹣4
∴反比例函数的表达式为y=﹣………………3分
(2)如图所示：……………………………………6分
(3)如图所示： …………………………………7分
﹣44…………………………………9分
19．(9分)解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：
由平移的性质可知CD//AB,CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形，………………3分
∵BA=BC
∴四边形ABCD是菱形………4分（其它方法均可）
(2)由平移可知CE=BC=5,DE=AC=6,DE//AC
∴BE=BC+CE=10………………………………5分
由(1)知四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,∴DE⊥BD…………………………6分
在Rt△BDE中，根据勾股定理得
BD===8
∴BD的长为8……………………………………………………9分（其它方法均可）
20．(9分)解：(1)解:(1)设B品牌毽子的单价是x元，则A品牌毽子的单价是(x+2)元.由题意，得………………………………………………………2分
解得x=15 …………………………………………………………………………3分
经检验，x=15是原方程的解，且x+2=17均符合题意 ..………………………4分
答:A品牌毽子的单价是17元,B品牌毽子的单价是15元.……………………5分
(2)设购买费用为w元，购买A品牌键子m个，则购买B品牌毽子(200-m)个.
则 m≥(200-m)解得 m≥50 .……………………………………………………6分
w=17m+15(200-m)=2m+3000.……………………………………………………7分
∵2>0，∴w随m的增大而增大.….
∴当m=50时，w有最小值，最小值为2×50+3000=3100.
此时200-m=150.……………………………………………………………………8分
答:购买A品牌键子50个，B品牌键子150个才能使购买费用最低，最低费用为3100元.…………………………………………………………9分（其它方法均可）
21.(9分)解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形…………………………2分
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC………………………………………………………………3分
在△BAD和△ABC中
∴△BAD≌△ABC(SSS)…………………………………………………………5分
∴∠BAD=∠ABC…………………………………………………………………6分
∵AD//BC
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴2∠BAD=180°，
∴∠BAD=90°……………………………………………………………………8分
∴四边形ABCD是矩形.………………………………………9分(其它方法均可)
22.(10分)解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b(k≠0)
∵一次函数的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(a，4)和B(8，1).
∴1= .
∴m=8,
∴反比例函数解析式为y=………………1分
∴当y=4时，x= =2.
∴点A的坐标为(2,4)
将A(2,4),B(8,1)代入y=kx+b得
∴,∴…………………………………………………………3分
∴一次函数解析式为y=x+5 …………………………………………………4分
(2)5…………………………………………………………………………………6分
(3)> ………………………………………………………………………………8分
(4)点E的坐标为(10，5)或(﹣6，3)……………………………………………10分
23.(10分)解：(1)等腰；AE//BD……………………………………………………2分
(2)(1)中的发现一和发现二成立.
如选发现一成立，证明过程如下：
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD// BC,
∴∠CBD=∠ADB…………………………………………………………………3分
折叠知∠CBD=∠FBD …………………………………………………………4分
∴∠FBD=∠FDB…………………………………………………………………5分
∴FB= FD,
∴△FBD为等腰三角形…………………………………………………………6分
故发现一成立;……………………………………7分(前写后写都可以，结论1分)
如选方法二成立，简要证明过程如下：
可证△ABE≌△EDA(SSS)，得∠EAF=∠AEF…………………………………3分
同理可证△ABD≌△EDB，得∠EBD=∠ADB…………………………………4分
∵∠EFD=∠EAF+∠AEF=∠EBD+∠ADB
∴∠EAF=∠ADB…………………………………………………………………5分
∴AE//BD…………………………………………………………………………6分
故发现二成立;…………………7分(其它方法均可，前写后写都可以，结论1分)
(3)90 °或105°…………………………………………10分（写对一种情况得2分）

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