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2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟第二中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗骰子，出现点数是或的概率是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则
A. B. C. D.
3.演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
4.已知平面向量，，，若，，则实数的值为
A. B. C. D.
5.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样
6.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，为正方体，下面结论错误的是( )
A. 平面 B.
C. 平面 D. 异面直线与所成的角为
8.已知是球的球面上两点，且，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等
10.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个( )
A. 事件“两球都不是白球” B. 事件“两球恰有一白球”
C. 事件“两球至少有一个白球” D. 事件“两球不都是白球”
11.下面四个命题中的真命题为( )
A. 若复数满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 人以上
概率
则：至多人排队的概率为 ．
13.已知在直角三角形中，，点是斜边的中点则 ．
14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中，，若它们的斜边重合，让三角板以为轴转动，则下列说法正确的是 ．
当平面平面时，两点间的距离为；
在三角板转动过程中，总有；
在三角板转动过程中，三棱锥体积的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱锥中，，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长是多少？
甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和体积分别为和若，则是多少？
16.本小题分
下图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并停留天．
Ⅰ求此人到达当日空气质量优良的概率；
Ⅱ求此人在该市停留期间只有天空气重度污染的概率；
Ⅲ由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明
17.本小题分
等腰梯形中， ，，，，为的中点，矩形所在的平面和平面互相垂直．
求证：平面；
设的中点为，求证： 平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”单位：小时，按照分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
求图中的值；
估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
采用分层抽样的方法从这两组中抽取人，再从人中随机抽取人，求抽取的人恰好在同一组的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且．
求证：平面平面；
若、分别为线段、上的一点端点除外，满足．
求证：不论为何值，都有平面；是否存在，使得为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.如图所示，在三棱锥中，过分别作，
再分别过点作，可得四点共面，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证，平面，所以截面即为平行四边形，
又由为线段上更靠近的三等分点，且，所以，
所以平行四边形的周长为．
设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又圆心角，则，所以，
所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，
所以．

16.Ⅰ在月日至月日这天中，日，日，日，日，日，日共天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为．
Ⅱ根据题意，事件“此人在该市停留期间只有天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是日，或日，或日，或日”，
所以此人在该市停留期间只有天空气重度污染的概率是．
Ⅲ从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的．

17.解：平面平面，，
平面平面，平面，
平面，．
又，，，平面．
平面．
设的中点为，则，，
，，则，，
四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
过点作于，则，
所以，，故，．

18.由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，．
由，得．
设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
因为前组频率和为，前组频率和为，所以
由，得．
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
由题意得，周末阅读时间在中的人分别有人人，按分层抽样的方法应分别抽取人人，分别记作及．
从人中随机抽取人，这个试验的样本空间，共包含个样本点，且这个样本点出现的可能性相等，
抽取的人在同一组包含的样本点有，共个，
故所求概率．

19.底面，底面，
．
，
．
，、平面，
平面，
，
平面，平面，
平面平面．
在中，，则，
平面，平面，
平面．
当时，由知平面平面，
且平面平面，平面，
平面，平面，则，
此时为直角三角形．
在中，故，则，
所以，
，故存在时为直角三角形．

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