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(共28张PPT)
10.1随机事件与概率
10.1.1有限样本空间与随机事件
10.1.2事件的关系和运算
许多实际问题都可以用数据分析的方法解决：随机抽样收集数据—选择图表描述数据---提取数据的信息——估计总体规律.
某些现象就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象，是概率论研究的主要对象，概率是对随机事件发生可能性大小的度量，渗透在我们日常生活中.
刻画随机事件的方法
古典概型随机事件概率的计算
随机事件概率的性质
样本量较小时，每次得到的结果可能不同，但是如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律。
新知1：随机试验
将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；
从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；
在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；
记录某地区七月份的降水量.
确定某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果。
1.1对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验.通常用字母E表示.
1.2随机试验的特点:
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
可重复性
可预知性
随机性
新知2：有限样本空间
思考1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9
的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.
这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
析：共有10种可能结果.
用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，
所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
2.1随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示.
2.2所有样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示.
2.3若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
例1.投掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
Ω={a，b}，其中，a表示“正面朝上”，b表示“反面朝上”
例2.投掷一枚骰(tóu)子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
Ω={正面朝上，反面朝上}
Ω={1,2,3,4,5,6}
例3.投掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
Ω={(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反)}.
Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}
其中，1表示硬币“正面朝上”，0表示硬币“反面朝上”
Ω={1，0}，其中，1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”
P229-练习1.写出下列各随机试验的样本空间：
（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
（4）射击靶3次，观察各次中靶或脱靶的情况；
（5）射击靶3次，观察中靶的次数；
Ω={男，女}
Ω={A,B,O,AB}
Ω={男男，男女，女男，女女}
Ω={aa,ab,ba,bb}，其中，a表示“男孩”，b表示“女孩”
Ω={0,1}，其中，0表示“男生”，1表示“女生”
Ω={0,1,2,3}
Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
其中，1表示“中靶”，0表示“脱靶”
B={至多中靶2次}
用“1，0”有什么应用价值？
新知3：随机事件和基本事件
思考2：体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
析：“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
3.1随机实验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
3.2将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，用大写字母A,B,C…表示；
3.3只包含一个样本点的事件称为基本事件；
用A表示随机事件“球的号码为奇数”，
则A={1,3,5,7,9}
Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则B={0,3,6,9}
A,B都是Ω的子集
例4.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
析：用1表示元件的“正常”状态，
用0表示元件的“失效”状态，
分别用x1, x2, x3表示元件A, B, C的可能状态，
则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示.
样本空间Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),
(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
例4.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.
样本空间Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),
(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}
T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}
练习2.写设集合M={1,2,3,4}，a∈M，b∈M，试验的样本点为(a,b)，
则样本点的个数为（ ）
A.6 B.8 C.12 D.16
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
练习3.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数
依次记为a,b，设事件M为“方程ax2+bx+1=0有实数解”，
则事件M中含有的样本点的个数为（ ）
A.6 B.17 C.19 D.21
B
16
练习4.集合A={2,3}，集合B={1,2,4}，从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为(　　)
A.8 B.9 C.11 D.12
基本事件为21,22,24,31,32,34,12,42,13,23,43
C
练习5.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点(x,y)用表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数，用集合A表示事件“出现的点数之和大于8”.
(法一：列举法)试验的样本空间为：
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(法二：列表法)
(法三：树状图法)
新知4：事件的分类
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
4.1Ω包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，
所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
4.2空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称空集 为不可能事件.
注：必然事件与不可能事件不具有随机性.
将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
练习6.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的永动机将会出现.
随机事件
必然事件
不可能事件
随机事件
随机事件
不可能事件
[变式]下列事件中随机事件的个数是( ).
①任取一个整数被2整除；
②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分；
③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；
④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.
A.1 B.3 C.0 D.4
必然事件
练习7.(多选)下列事件是随机事件的是（ ）
A.x≥10时，lg x≥1
B.当x∈R时，x2+1=0有解
C.当a∈R时，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解
D.当x2>y2时，x>y
必然事件
不可能事件
随机事件
随机事件
CD
练习8.在10件同类产品中，有7件正品，3件次品，从中任意抽出4件，
下列事件中的随机事件有_____，必然事件有___，不可能事件有____．
① 4件都是正品； ② 至少有1件是次品；
③ 没有正品； ④ 至少有1件是正品．
①②
④
③
10.1随机事件与概率
10.1.2事件的关系和运算
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：Ci＝“点数为i”，i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
新知1：事件的关系
如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_______
如：A＝“点数为1或2”，B＝“点数不大于2”，则______
如: C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______
①若事件A发生，则事件B一定发生，则称事件B包含事件A
(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)．
②若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，
则称事件A与事件B相等，记作A=B.
Ω
③事件A与事件B至少有一个发生，且事件C中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
A B
A=B
C=A∪B
{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}
{1} {1,3,5}
Ω
Ω
新知1：事件的关系
如: C＝“点数为2”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______
④事件A与事件B同时发生，且事件C中的样本点既在事件A中，又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
C=A∩B
{1,2}∩{2,3}＝{2}
注：可以定义多个事件的(并)和事件、(交)积事件.
如：对于三个事件A,B,C，
A∪B∪C发生当且仅当A,B,C至少有一个发生；
A∩B∩C发生当且仅当A,B,C同时发生.
Ω
巩固：事件的关系
[练习1]同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有（ ）
A. A B B. A B C. A=B D. A[练习2]现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为________.
[练习3]从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是(　　)
A.{2,4}　　　B.{4,6} C.{4,8}　　　D.{2,8}
A
B∪D∪E
C
{正正} {正正,正反,反正}
巩固：事件的关系
[练习4]在抛掷一枚骰子,观察其向上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”，则事件A∪B包含的样本点为________.　　　　 .
A={2,4}
B={1,2,3}
1,2,3,4
新知1：事件的关系
如: A＝“点数为1”，B＝“点数为3”，则_________
⑤事件A与事件B不能同时发生，即A∩B是一个不可能事件，即A∩B= ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)．
A，B互斥
{1}∩{3}＝
如: A＝“点数为奇数”，B＝“点数为偶数”，则_____________
A，B互为对立
⑥事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,
即A∪B=Ω，且A∩B= ，则称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记为A.
—
Ω
A
A
—
互斥事件一定是互为对立事件吗？
互为对立事件一定是互斥事件吗？
互为对立事件一定是互斥事件.
互斥事件不一定互为对立.
巩固：事件的关系
P232-例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，
G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
则事件R与R1的关系是__________；
事件R与G的关系是__________；
事件M与N的关系是__________.
R∪G=_______；R1∩R2=_______.
R R1
互斥
互为对立
M
R
巩固：事件的关系
P233-1.某人打靶时连续射击2次，下列事件中与事件“至少有一次中靶”的互为对立的是( ).
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
[练习5]把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
D
B
D
[练习6]如图，甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效，设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．则事件A∪B的对立事件是( )
A.A∩B B.A∪B
C.A∩B D.A∩B
巩固：事件的关系
C
乙
甲
—
—
—
—
—
Ω={(1,0),(1,1),(0,1),(0,0)}
A∪B={(1,0),(0,1),(1,1)}
甲正常或乙正常
即甲乙都不正常
用1表示元件正常，0表示元件失效
[练习7]在30件产品中有26件一级品，4件二级品，从中任取3件，记事件A为“3件都是一级品”，则事件A的对立事件是____.
A.3件不都是一级品
B.3件都不是一级品
C.至少有一件是二级品
巩固：事件的关系
AC
事件的关系及运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
1．在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．
写样本空间的样本点时，要按一定顺序和规律写，做到补充不漏．
2．写出试验的样本空间的方法：
(1)列举法：适合于较简单的问题．
(2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数．
(3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
基本事件的计数问题
通过试验和观察的方法，我们可得到一些事件的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。
在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法。
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上的概率为0.5。
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．

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