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期中检测卷(试卷)
2025-2026学年九年级数学上册(人教版)
(时间: 90 分钟, 满分: 100分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.若关于x的一元二次方程 的常数项是0，则m 的值为( )
A.0 B.2 C.-2 D.-2或2
3.二次函数 的图象大致是( )
4.已知x=1是一元二次方程的一个根，则m 的值为
( )
A.-1或2 B.-1 C.2 D.0
5.如果关于x 的一元二次方程. 有两个实数根，那么 k 的取值范围是( )
且k≠0 且k≠0
6.如果两个连续偶数的积为168，那么这两个数的和等于( )
A.26 B.26 或-26 C.27 或-26 D.-26
7.已知抛物线. 与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x- 与x轴的一个交点是(4，0)，则m 的值是( )
A.5 B.-1 C.5或1 D.-5或-1
8.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是 无人机着陆后从开始滑行到停下来经过了( )
A.8秒 B.16秒 C.32秒 D.64秒
9.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB'C',点C 的对应点为点C',C'B'的延长线交BC 于点 D，连接AD，则下列说法错误的是 ( )
A.△ABC≌△AB C
B. AB ∥BC
DA 平分∠BDB
10.二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线x=-1.下列结论中:①ac<0;②b >4ac;③2a+b=0;④a+b+c>0.正确的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.在平面直角坐标系中，点(-3，b)关于原点对称的点为(a，4)，则
12.如图，若抛物线 上的P(3，0)，Q两点关于它的对称轴直线x=1对称，则关于x 的一元二次方程 的解是 .
13.关于x 的一元二次方程 有两个实数根α，β，且 则m= .
14.如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12m时，桥洞顶部离水面4m .已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是y= 则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 .
15.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=4,将BC 绕点C 顺时针旋转120°得到CD,则线段AD 的长度是 .
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)解方程:
(2)2(x-3)=3x(x-3).
17.(8分)在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)若△ABC 和△A B C 关于原点O 成中心对称,画出.
(2)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的
18.(8分)已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
19.(8分)如图，已知抛物线 与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 上，并写出平移后抛物线的解析式.
20.(8分)某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元) 40)之间的关系如图所示.
(1)求y 与x之间的函数解析式；
(2)商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元
21.(10分)根据以下素材，探索完成任务.
如何选择合适的跳台高度
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡.图①是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图②是其横截面示意图，以地面的水平线为x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 C 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方 米处，最右端在水平线上，且最高点在距点O 水平距离8 米处.
素材2 小雪从点O 正上方 米处的点 A 滑出，滑出后沿一段抛物线 运动.该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变.
问题解决
任务1 确定滑行路径 求a 的值；
任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A 处的水平距离为11 米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C 的函数解析式；
任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了 米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上.
22.(12 分)【问题初探】已知△ABC 和 均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE= 23.( 连接BE,CD,O是CD的中点,连接
(1)如图①,当点D,E 分别在AB,AC上时,线段AO 与BE 的数量关系是 ,位置关系是 ；
【类比分析】
(2)在 绕点A 旋转的过程中，当点 D，E不在AB，AC上时，试判断(1)中的两个结论是否成立，若成立，请利用图②证明结论；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
(3)当 旋转到图③的位置时，点B 落在 DE 的延长线上，若 求线段CD 的长.
23.(13分)对于平面直角坐标系xOy 内的点 P 和图形M，给出如下定义：如果点 P 绕原点O顺时针旋转 得到点 点 落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点 P是图形M 关于原点O 的“伴随点”.已知点A(1,1),B(3,1),C(3,2).
(1)在点 中，点 是线段 AB 关于原点O 的“伴随点”；
(2)如果 D(m,2)是 关于原点O的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；
(3)已知抛物线 上存在 关于原点O的“伴随点”，求n 的最大值和最小值.
参考答案
B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B
11.1
.3
16.解:
17.解:(1)如图,△A B C 即为所求作;
(2)如图,△AB C 即为所求作.
18.解:(1)根据题意,得 解得
(2)设x ，x 是方程的两根，根据题意，得 解得 ∴m的取值范围为 m为整数,∴m=1或m=2,当m=1时,方程两根都是整数；当m=2时，方程两根都不是整数，∴整数m的值为1.
19.解:(1)∵点A(1,0),B(3,0),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3).∵抛物线过(0,-3),∴-3=(-1)×(-3)a,解得a=-1.∴y=-(x-1)(x-3)=-x + ∴顶点坐标为(2,1);
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y=-x上.
20.解:(1)设一次函数解析式为y= kx+b.把(2,120),(4,140)分别代入,得 解得 与x之间的函数解析式为y=10x+100;
(2)根据题意,得(100-60-x)(10x+100)=5 250,整理，得 解得 .答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元.
21.解:任务1:把 代入抛物线 8,得 解得
任务2：由(1)知，抛物线 当x=11时, ∴小雪在小山坡的落地点坐标为(11，6).设抛物线C 的解析式为 把(0, ),(11,6)代入y= 得 解得 ∴抛物线C 的解析式为
任务3：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上.理由：∵跳台高度增加了 米，相当于把抛物线 C 向上平移了 个单位长度，∴平移后的解析式为 y = 令 y=0,则 解得 (舍去)，∴小雪落地时距点 O 距离为16米.对于抛物线 C :令y=0,则 0,解得x=17或x=-1(舍去).∵17>16,∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上.
22.解:
(2)成立.理由如下：分别延长OA，BE 交于点G，延长AO 至点 F 使得OF=AO,连接CF,如图.∵O 为 CD 中点,∴ DO = CO.在△AOD 和△FOC 中, ∴△AOD≌△FOC(SAS),∴AD=FC,∠OAD=∠F,∴CF∥AD,∴∠FCA+∠CAD=180°.又 ∵ ∠CAB + ∠DAE = 180°, ∴ ∠CAD +∠BAE=360°-∠CAB-∠DAE=360°-180°=180°,∴ ∠FCA = ∠BAE. 在 △ACF 和
△BAE 中, ∴AF= BE,
∠CAF =∠ABE,∴AO= AF = BE.又∵∠CAF+∠BAG=180°-∠CAB=180°-90°=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠AGB=180°-(∠ABE+∠BAG)=180°-90°=90°,∴AO⊥BE;
(3)由(2)得 延长OA 交BE 于点 H,则 AH⊥DE,图略.∴AH=HE= 在 即2AH =72,∴AH=6,∴OH=OA+AH=12+6=18.
23.解:(1)P 和 P ;
(2)当 时,点 D(m,2)是△ABC 关于原点O的“伴随点”.理由如下:∵A(1,1),B(3,1),C(3,2),∴△ABC 在第一象限.∵D(m,2)是△ABC 关于原点O的“伴随点”，∴点 D 在第二象限.如答图①，过点 D 作DP⊥x轴于点 P,过点 D 作 D Q⊥x 轴于点 Q,则∠DPO=∠D QO=90°.∵OD 绕点O顺时针旋转90°得到 OD ,∴OD = OD',∠DOD'= 90°, ∴∠DOP = .
在△DPO 和 △OQD 中, ∴DP= OQ,
OP=D Q.∵D(m,2),∴OQ=DP =2,D Q=OP=|m|.∵△ABC 在第一象限,∴D (2,-m).设直线AC 的 解析 式 为 y = kx + b,则 解得
，当点 D 在AC上时,-m=1+ ，解得 当点 D 在AB 上时,-m=1,解得m=-1.∴当 时,点 D(m,2)是△ABC关于原点O的“伴随点”；
(3)如答图②,△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A B C ,其中点 A (-1,1),B (-1,3),C (-2,3).∵抛物线上存在△ABC 关于原点O 的“伴随点”，∴当 过点A′，即 解得n=5,∴n 的最小值为5.同理,当 过点C ，得到n的最大值为12.

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