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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
第3课时 球赛积分问题与图表信息问题
1.能够根据图表信息问题中的数量关系列方程解决问题，从而培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习让学生进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，明确用方程解决实际问题时，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
3.通过使学生经历图表信息问题解决过程，培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力，在应用数学知识解决问题的过程中体会建立数学模型的合理性.
学习重点：会用一元一次方程解决实际问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断．
学习难点：如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题．
喜欢体育的同学经常观看各种不同类别的球赛，如：足球赛、篮球赛、排球赛等，但是你们了解它们的计分规则和如何计算积分吗？这节课我们将从如何用方程解决球赛积分问题开始学习.
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）胜一场和负一场各积多少分？
①负一场积1分
②设：胜一场积 x 分，
依题意，得
10x＋1×4＝24
解得：x＝2
所以，胜一场积2分.
学生活动一 【一起探究】
问题：某次篮球联赛积分榜
（2）用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系.
若一个队胜m场，则负(14 – m)场，
总积分为： 2m+(14 – m) = m+14
即胜m场的总积分为 m +14 分.
（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
设一个队胜y场，则负(14－y)场，
依题意得： 2y＝14－y
解得： y＝
想一想，y表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.y（所胜的场数）的值必须是整数，所以y＝不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
说明：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
学生活动一 【一起归纳】
问题：某小组8名同学参加一次知识竞赛，共答10道题，每题分值相同，每题答对得分，答错或不答扣分．各同学的得分情况如下表：
学号 答对题数 答错题数 得分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
学生活动二 【一起探究】
学号 答对题数 答错题数 得分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
(1)如果答对的题数为n(n在1到10之间，且为整数)，用含n的式子表示得分；
解：由6号同学知，每答对一题
得10分．
设答错一题扣x分，那么从1号
同学的数据可列方程，
得8×10－2x＝70.解得x＝5. 所以答错一题扣5分
(1)如果答对的题数为n，那么得分为10n－5(10－n)，即15n－50
(2)在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？
如果得分为零分,那么可列方程15n-50=0,解得n＝ .
因为竞赛题目数不可能是,所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数小于，
即答对题数为0,1,2,3时,得分为负分.
问题：试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)购买6根跳绳需____元，购买12根跳绳需____元；
(2)小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元．你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
学生活动三 【一起探究】
分析：(1)根据单价×数量=总价,求出6根跳绳需多少元;购买12根跳绳，超过10根，打八折是指现价是原价的80%，用单价×数量×0.8即可求出购买12根跳绳需多少元;
(2)有这种可能，可以设小红购买x根跳绳，那么小明购买x-2根跳绳，列出方程25x×0.8=25(x-2)-5，解答即可.
解：(1)6 × 25=150(元)，12 × 25 × 0.8=240(元)
(2)有这种可能.
设小红购买跳绳x根，
根据题意得25×80%x=25(x-2)-5,
解得x=11.
答：小红购买跳绳11根.
问题：某大酒店客房部有三人间、双人间客房，收费标准如下表所示，为吸引游客，实行普通间团体入住一律五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间在该酒店入住，住了一些三人间(普通)和双人间(普通)客房，并且每个客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元．
(1)该旅游团三人间、双人间各住了多少间？
(2)若豪华间四折优惠，按同样方式入住要多用多少钱？
普通间（元/间/天） 豪华间（元/间/天）
三人间 150 300
双人间 140 400
学生活动四 【一起探究】
解:（1）设住三人普通间客房x人，住双人间客房(50-x)人，
根据题意得: ×150 ×50%+ ×140 ×50% =1510
解得:x=24,
则住三人普通间客房24人，住双人间客房26人
24÷3=8，26÷2=13，
答:三人间普通客房、双人间普通客房各住了8、13间.
（2）住豪华间需要的费用为： 8×300×0.4+13×400×0.4=960+2080=3040（元），
多用去了：3040-1510=1530（元）．
答：按同样方式入住要多用1530元．
通过上述几道有关图表信息题目，我们尝试总结它的一般解题步骤：
（1）识图表：整体阅读，搜素图表资料中的有效信息，关注数据变化及图表细节的暗示；
（2）用图表：通过阅读、观察、分析图表中信息，找出等量关系；
（3）建模型：找出等量关系后，建立合理的方程模型，解决问题.
学生活动四 【一起归纳】
1．某校九年级11个班中开展篮球单循环比赛(每班需进行10场比赛)．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得－1分，已知九(2)班在所有的比赛中得到14分，若设该班胜x场，则x应满足的方程是( )
A．3x＋(10－x)＝14 B．3x－(10－x)＝14
C．3x＋x＝14 D．3x－x＝14
B
2．足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队在比赛中赛了15场，负了5场，共得22分，则这个队胜的场数是( )
A．4场 B．5场 C．6场 D．7场
C
3.某赛季篮球联赛部分球队积分榜：
(1)列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
八一双鹿 22 18 4 40
北京首钢 22 14 8 36
浙江万马 22 7 15 29
沈部雄狮 22 0 22 22
解：观察积分榜，从最下面一行可看出，负一场积1分.
设胜一场积x分根据表中其他任意一行可以列方程,求出x的值.例如,根据第一行可列方程:
18x＋1×4＝40．
由此得出 x＝2.
用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分.
(1)如果一个队胜m场，则负(22－m)场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为
2m＋(22－m)＝m＋22.
（2）设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程
2x － (22－x) ＝0.
x ＝.
其中，x (胜场)的值必须是整数，所以x ＝不符合实际. 由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分等于负场总积分.
4.根据图中所给信息列方程求解．请问1听果奶多少钱？
解:设1听果奶为x元，
依题意得方程:
20=3+x+4(x+0.5)，
解得:x=3.
答:1听果奶3元.
1.球赛积分问题:解题的突破口——特殊数据.
2.图表信息问题的一般解法:
(1)识图表;(2)用图表;(3)建模型.
1.下表中记录了一次实验中时间和温度的数据.
（1）如果温度的变化是均匀的，21 min时的温度是多少？
（2）什么时间的温度是34℃？
时间/min 0 5 10 15 20 25 30
温度/℃ 10 25 40 55 70 85 100
解:（1）由题意知时间增加5 min，温度升高15℃，
所以每增加1 min温度升高3℃.
则21 min时的温度为10+21×3 =73（℃）
（2）设时间为x min，列方程得3x+10=34，
解得x=8.
即第8分钟时温度为34℃.
2.在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，
下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)试根据图中信息，解答下列问题：
①小明他们一共去了几个成人，几个学生？
②请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.
②请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.
①小明他们一共去了几个成人，几个学生？
解：①设成人的人数为x，则学生人数为 ，根据总共的票价可列出方程： .
12-x
35x+17.5(12-x)=350
②算一算团体票的最少费用，再比较它与350的大小.
购买团体票，共需要花费的费用：
35×16×0.6=336（元）＜350元.
答：买团体票便宜.

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