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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
第4课时 方案决策问题
1.让学生通过旅游、购物、用电、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧，从而培养学生的建模意识.
2.通过让学生探究实际问题与一元一次方程的关系，培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力，提高分析问题、解决问题的能力．
3.通过使学生经历方案决策问题的解决全过程，体会建立数学模型的合理性.感受数学的应用价值，培养学生热爱生活，勇于探索的精神.
学习重点：
引导学生弄清题意，设计出各类问题的最佳方案.
学习难点：
把生活中的实际问题抽象出数学问题.
问题：据我们调查，我市居民生活用电价格为每天7时到23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元.请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案.
问题：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/（kW·h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kW·h）
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
中国能耗标识
学生活动一 【一起探究】
分析：在这个问题中，综合费用=空调的售价+电费，当选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
解：设空调的使用年数是t，则1级能耗空调的综合费用是3000+0.5×640t，3级能耗空调的综合费用是2600+0.5×800t，
当3000+0.5×640t=2600+0.5×800t时，解得t=5.
即当t=5时，两款空调的综合费用相等.
关键性时间
3级能耗空调的综合费用是2600+0.5×800t=2600+400t
而2600+400t=（3000+320t）+（80t－400）
=（3000+320t）+80（t－5）
所以当t 5时，80（t－5）时负数，则3级能效空调的综合费用较低；当t 5时，80（t－5）是正数，则1级能效空调的综合费用较低.
由此可见，购买、使用1级能效空调更划算.
问题：某地上网有两种收费方法，用户可以任选其一：
A计时制：1元/小时， B包月制：80元/月，
此外，每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时.
（1）某用户每月上网40小时，选用哪种上网方式比较合算？
（2）某用户每月有100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算？
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
学生活动二 【一起探究】
分析：
（1）分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额，进行比较；
（2）分别计算出两种方式下的上网时间，进行比较；
（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等，再进行分析.
解：（1）如果用户每月上网40小时，则
选择A需支付40×（1+0.1）=44（元），
选择B需支付80+40×0.1=84（元）.
因为44<84，
所以选用A方式比较合算.
（2）设用户选择A方式用100元可以上网x小时，
选择B方式用100元可以上网y小时.
由题意，得（1+0.1）x=100，80+0.1y=100.
解得x=100011，y=200.
因为100011≈91<200，
所以选用B方式较合算.
（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等.
由题意，得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故当每月上网不足80小时时，选用A上网方式比较合算；当每月上网80小时时，两种上网方式的消费额相等；
当每月上网超过80小时时，选用B方式比较合算.
关键性时间
问题：一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付)，联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按七五折付费；乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
学生活动三 【一起探究】
分析：本题中“学生人数”是关键性数据，它的多少决定了旅游费用的多少.
解：设学生人数为x人，每人的费用为a元.
则甲公司的费用为3a+a×75％x=3a+0.75ax，
乙公司的费用为（x+3）×a×80％=2.4a+0.8ax.
当两家收费相同时，即3a+0.75ax=2.4a+0.8ax，
解得：x=12.
而甲公司3a+0.75ax=（2.4a+0.8ax）+0.05a（12－x），
则当x<12时，选择乙公司；
当x=12时，两家都一样；
当x>12时，选择甲公司.
解方案决策题不仅要仔细审题，弄清各条件之间的关系和作用，寻找出解决问题的关键元素，而且在选择合适的方案之前更要分析都有哪几种可能的方案，然后结合求出的每种方案的结果，作出决策判断。
1．某校准备为毕业生班制作一本纪念册，甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元，乙公司提出每册收材料费8元，不收设计费，孙老师经过计算，发现两公司收费一样，则毕业生有____人．
500
分析：设毕业生有x人，根据两公司收费一样，得
1500+5x=8x.即可求解.
2.学生小红随父母外出旅游，甲旅行社说：“父母全票，学生半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游团每人按全价的45%收费.”若这两家旅行社每人的票价相同，那么应选的旅行社是（ ）
A甲 B.乙
C.一样 D.无法选择
B
3．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是从第一本按标价的80%卖．
(1)小明要买20本时，到____商店省钱；
(2)买____本时到两个商店买一样；
(3)小明现有24元钱，最多可买____本．
乙
30
30
4.校长带领学校的市级三好生去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张，其他学生享半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部6折优惠.”全票价为100元.
（1）当学生人数为多少时，两家费用一样多
（2）当学生人数为10时，选哪家合算些？
解：（1）设学生人数为x.
100+50x=60（x+1），
解得x=4.
（2）甲：100+10×50=600（元），
乙：60×11=660（元）
甲旅行社合算些.
1.电价问题——方案最优是目的.
2.购买方案决策——空调使用时间(两种空调综合费用相同).
3.上网收费方式决策——上网时间(两种上网方式的消费额相等).
4.旅游公司收费决策——学生人数(两家收费相同).
1.用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
解：依题意列表得：
复印页数x 誊印社复印费用/元 图书馆复印费用/元
x 小于20 0.12x 0.1x
x 等于20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2
x 大于20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x
（1）当 x 小于20时，0.12 x大于0.1 x恒成立，图书馆价格便宜；
（2）当 x 等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；
（3）当 x ＞20时，
依题意得：2.4+0.09(x-20)＝0.1x
解得： x＝60
∴ 当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x大于60时，誊印社价格便宜.
综上所述：当x小于60页时，图书馆价格便宜；
当x大于60时，誊印社价格便宜.
2.某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A.计时制：3元/时；B.包月制：60元/月.此外，每一种上网方式都加收通信费1元/时.
（1）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
（2）某用户有120元钱用于上网（1个月），选用哪种上网方式比较合算？
解：(1)设上网时间为x小时，则A收费（3+1）x，B收费60+x.
令（3+1）x=60+x，解得x=20.
当上网时间小于20小时，选择A.计时制；
当上网时间等于20小时，两种方案收费一样；
当上网时间大于20小时，选择B.包月制.
（2）A：120÷(3+1)=30(小时)
B：（120-60）÷1=60(小时)
选用B方式上网合算.

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