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6.2.2 线段的比较与计算
第2课时 线段的运算
第六章 几何图形初步
1. 理解线段等分点的意义;能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
2.会用尺规作图的方法进行线段的和差运算.
在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= .
A
B
C
D
a+b
a–b
a
b
b
a
b
a+b
a
b
a–b
线段的和、差、倍、分
学生活动 【一起探究】
如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD–CD=___；BC＝ ___ –___ = ___ – ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a–b.
a
b
A
B
2a–b
2a
b
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.类似的，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点.
几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点，
所以 AM = MB = AB.
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
反之也成立：因为AM = MB = AB ,
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
所以M 是线段 AB 的中点.
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
素养考点 1
利用中点求线段的长度
例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少
解：因为 C 是线段 AB 的中点，
因为D 是线段 CB 的中点，
所以AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).
所以CD = CB = ×3=1.5 (cm).
所以AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
A C B
D
如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm，则 AC = cm.
4
A
C
B
如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( )
A. AC = CB B. AB = 2 AC
C. AC + CB = AB D. CB = AB
A
C
B
C
如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求线段 DE 的长.
A D B E C
答案：DE 的长为 5 cm.
例2 如图，B,C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E,F分别是AB,CD的中点，且EF=24，求线段AB,BC,CD的长．
F
E
C
B
D
A
素养考点 2
利用比例或倍分关系求线段的长度
分析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC=2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
F
E
C
B
D
A
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为 E,F分别是AB,CD的中点，
所以
所以EF=BE+BC+CF=
因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
归纳总结
如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB,CD的中点E,F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
F
E
B
D
C
A
分析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.
解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，
因为 E,F分别是AB，CD的中点，
所以EF=AC–AE–CF=
所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.
F
E
B
D
C
A
因为EF=10cm，所以 x=10,解得x=4.
所以
例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）
A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对
解析：分以下两种情况进行讨论： 当点C在AB之间上，故AC=AB–BC=1cm； 当点C在AB的延长线上AC=AB+BC=9cm．
C
方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况： 点在某一线段上； 点在该线段的延长线.
素养考点 3
需要分类讨论的问题
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）
A．21cm或4cm B．20.5cm
C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm
D
1. 已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为________.
C
A
D
B
15 cm
2. 点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是–3，1，若BC=5，则AC=_________．
9或1
3.如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度．
A
B
C
O
解：因为 AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)，
点O 为线段 AC 的中点，
所以 OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)，
所以 OB = OC–BC = 3.5–3 = 0.5 (cm)．
4.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
D
A
C
B
M
AD=10x=20 ．
解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,
所以 AD=AB+BC+CD=10x.
因为 M是AD的中点，
所以 AM=MD=5x，
所以BM=AM–AB=3x.
因为 BM=6，
即3x=6，所以 x=2.
故CM=MD–CD=2x=4，
线段的运算
中点
和与差
思想方法
方程思想
分类思想

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