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期末检测卷一(试卷)
2025-2026学年九年级数学上册(人教版)
(时间: 90 分钟, 满分: 100分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知⊙O 的半径是3cm，则⊙O 中最长的弦长是( )
A.3cm B.6 cm C.1.5cm D. cm
2.抛物线 与 相同的性质是( )
A.开口方向相同 B.对称轴是x轴
C.有最低点 D.经过点(0,1)
3.用配方法解方程 时，配方后正确的是( )
4.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
5.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出4个球，下列事件是必然事件的是( )
A.至少有1个球是白球 B.至少有2个球是白球
C.至少有1个球是黑球 D.至少有2个球是黑球
6.直线 y= ax+b(ab≠0)不经过第三象限,那么. 的图象大致为
( )
7.如图，将△ABC绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC，使点 D 落在BC 的延长线上.已知∠A=32°,∠B=31°,则∠ACE 的大小是( )
A.54° B.57° C.60° D.63°
8.如果m，n是一元二次方程 的两个实数根，那么多项式 的值是( )
A.13 B.11 C.7 D.5
9.如图,BD 是⊙O 的直径,点 A,C 在⊙O 上,，AC 交BD 于点G.若∠COD=
126°,则∠AGB 的度数为 ( )
A.99° B.108° C.110° D.117°
10.已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②4acA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15 分)
11.若抛物线 经过点 A(1，3)，则该抛物线的解析式为 .
12.著名画家达·芬奇曾经设计过一种圆规(如图所示)，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆.若AB=10 cm，则画出的圆的半径是 .
13.“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 它的解是 .
14.据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各有上、中、下三匹马.在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快.有一天，齐威王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜.如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，则最终田忌获胜的概率是 .
15.如图①,在正方形ABCD 中,动点 E 从点 B 出发,沿B-C→A 的方向运动，当点 E 到达点A 时停止运动，将线段BE 绕点B 逆时针方向旋转90°得到 BF,连接CF,EF,设点E 的运动路程为x，△CEF 的面积为y，图②表示的是y 关于x的函数图象，已知点E 在B→C 的运动过程中，y有最大值6，当点E 停止运动时，函数图象中 m 的值为 .
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)(1)解方程:
(2)已知二次函数 的图象经过点(0，-3)，(1，0)，求二次函数的解析式.
17.(8分)某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以单价为162元的价格出售.
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠 为什么
18.(8分)在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该试验，经过大量试验后，发现摸到白球的频率稳定于 0.5左右，求n的值；
(2)在(1)的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，不放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色，请用画树状图的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
19.(8分)如图,在 的网格中建立平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为O(0,0),A(0,4),B(4,4),C(4,0),其中点 D(4,2),仅用无刻度的直尺画图.
(1)将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 画出对应线段AE；
(2)在OC 上画点F,使AF 平分, 并直接写出点 F 的坐标.
20.(8分)如图,在 中， ,以AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 作. AB,垂足为 E,延长BA 交⊙O 于点 F.
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)若 求⊙O 的半径.
21.(8分)某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元.经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)请直接写出每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数解析式；
(2)若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少
(3)当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大 最大利润是多少元
22.(12分)【问题初探】
和△DBE 都是两个含有 角的大小不同的直角三角板.
(1)当两个三角板按如图①所示的位置摆放时，点D，B，C在同一直线上，连接AD，CE,证明:
【类比探究】
(2)当三角板ABC 保持不动时，将三角板 DBE 绕点B 顺时针旋转到如图②所示的位置，连接AD，CE，判断AD 与CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图③,在四边形 ABCD 中, 连接AC,BD, 点A 到直线CD 的距离为7，请求出. 的面积.
23.(13分)定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴的交点坐标为(0，c)，那么我们把经过点(0，c)且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线.
【特例感知】
(1)抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ；
【深入探究】
(2)经过点A(-2,0)和点B(x,0)(x>-2)的抛物线 与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D 的坐标；
【拓展运用】
(3)在(2)的条件下，设抛物线 的顶点为 P，直线 EF 垂直平分OC，交OC 于点E，交该抛物线的对称轴于点 F.
①当 时，求点 P 的坐标；
②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点 P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值 若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. B 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. D
11. y=3x
12.5cm
13.0或-2 或2
14.
15.48
16.解:
(2)根据题意，得 解得 所以该二次函数解析式为
17.解：(1)设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程，得 解得 1.9=190%(不合题意，舍去).答：平均每次降价的百分率为10%;(2)200(1-5%)(1-15%)=161.5(元)<162元，∴售货员的方案对顾客更优惠.
18.解:(1)根据题意,得 解得n=2;
(2)画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10，∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为
19.解:(1)如图,AE 即为所求作;
(2)AF 如图,F( , )
【解析】连接ED,易知 ED 过格点G(1,1),连接 AG 并延长，交OC 于点F，点F 即为所求.设直线 AG 的解析式为y= kx+b,将点 A,G的坐标代入,得 解得 直线 AG 的解析式为y=-3x+4.令 y=0,得-3x+4=0,解得 ∴点 F 的坐标为( . ).
20.解:(1)证明:连接OD.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵AB=AC,∴∠B=∠OCD.∴∠B=∠ODC.∴OD∥AB.∵DE⊥AB,∴DE⊥OD.∵OD 是⊙O 的半径,∴DE 是⊙O的切线;
(2)连接AD,FC.∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=∠F=90°.∵AB =AC,∴BD=CD.∵DE⊥AB,∴DE∥CF.∴BE=EF.∴DE 是△BCF 的中位线.∴CF=2DE=2×12 =24.∵AF=10,∴AC= ∴⊙O的半径为13.
21.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y= kx+b(k≠0).由所 给 函 数 图 象 可 知 解 得 故y与x之间的函数解析式为
y=-10x+300;
(2)根据题意,得(x-10)(-10x+300)=750.解得 15,x =25.∵10≤x≤20,∴x=15.答:销售单价应定为15元/件;
(3)设每天销售这种商品所获的利润为w.∵y=-10x+300,∴w=(x-10)y=(x-10)(-10x+300)=-10x +400x-3 000 =-10(x-20) +1 000.∵-10<0,10≤x≤20,∴当x=20时,ω有最大值,最大值为1 000.∴当销售单价定为20元/件时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润为1000元.
22.解:(1)证明:∵△ABC 和△DBE都是两个含有45°角的大小不同的直角三角板,∴∠DBE=∠ABC=90°,AB=BC,BD=BE,∴△DBA≌△EBC(SAS),∴AD=CE;
(2)AD=CE,AD⊥CE.理由如下:∵∠DBE=∠ABC= BD=BE,∴△DBA≌△EBC(SAS),∴AD=CE,∠ADB=∠CEB.延长 DA 与EC 交于点O,如答图①.∵∠BDE+∠BED=90°,∴∠BDE+∠BEC+∠CED=90°,∴∠BDE+∠ADB+∠CED=90°,∴∠ODE+∠OED=90°,∴∠O=180°-∠ODE-∠OED=90°,∴AD⊥CE;
(3)过点 A 作AM⊥AC交CD 延长线于点M,作AN⊥CD 于点 N,如答图②.∵∠ACD =45°,∴∠ACD =∠M=45°,∴AC=AM.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠BAC = ∠DAM = 90°-∠DAC,∴ △ABC ≌△ADM(SAS),∴BC = DM,∠ACB =∠M = 45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°.∵点 A 到直线CD的距离为7,∴AN=7.∵AC=AM,AN⊥CM,∴CM= 6×8=24.
23.解:(1)(0,4)和(-4,4);
(2)∵抛物线经过点A 1,∴对称轴为直线 x =m,∴点 D 的坐标为(2m,m+1);
(3)①如答图①,设CD与对称轴交于点G.∵∠CDF= 或m= 当m=1时, 点 P 的坐标为 当 时， ， 点 P 的坐标为 ∴点 P 的 坐 标为 或
②存在，m的值为0或 或 理由：如答图②，设MN 与对称轴的交点为H.由(2)知n=m+1,y= ∴抛物线的极限分割线 CD:y=m+1.∵直线 EF 垂直平分OC，∴直线EF: ∴点 B 到直线 EF的距离为 :直线 EF 与直线MN 关于极限分割线CD 对称，∴直线MN: 点 P 到直线 MN的 距 离 为 ∵点 P 到直线 MN 的距离与点 B到直线 EF 的距离 相等， 解得m=0或 或