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期末检测卷二(试卷)
2025-2026学年九年级数学上册(人教版)
(时间: 90 分钟, 满分: 100分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项；符合题目要求的)
1.下列图形是中心对称图形的是( )
2.将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( )
3.下列说法中正确的是( )
A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件
B.“2月份有 30 天”是随机事件
C.“抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面向上
D.“抛一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 附近
4.定义运算： 例如：4 则方程1☆x=0的根的情况为 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
5.有一题目:“已知点 O 为△ABC 的外心,∠BOC =130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC 以及它的外接圆⊙O,连接OB,OC.如图,由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°而淇淇说：“嘉嘉考虑得不周全，∠A 还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是 ( )
A.淇淇说得对，且∠A 的另一个值是115°
B.淇淇说得不对,∠A 就得65°
C.嘉嘉求的结果不对，∠A 应得50°
D.两人都不对，∠A 应有3个不同的值
6.如图,AB,AC 分别是⊙O 的直径和弦,OD⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则 BD 的长为 ( )
A.2 B.4 D.4.8
7.若一元二次方程 的两根为x ,x ,则 的值是( )
A.4 B.2 C.1 D.-2
8.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A B C,连接AB ,并有 则∠A 的度数为( )
A.65° B.95° C.130° D.135°
9.如图，在矩形纸片ABCD 中，AD=6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为 ( )
A.3.5cm B.4 cm C.4.5cm D.5cm
10.如图,在△ABC 中,AC=BC=6,∠BCA =90°,G 是AB 的中点,∠MCN=45°,将∠MCN 绕点C 旋转,射线CN,CM 始终交边AB 于D,E 两点,过点 D 作CD 的垂线交CM 于点F,连接GF,AF.有下列结论:①∠ADC=∠BCE;②∠MCN 在旋转的过程中，CD 的最小值是3 ;③AE +BD =DE ;④△CDF 是等腰直角三角形.其中正确的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15分)
11.点P(-2，5)关于原点对称的点的坐标是 .
12.已知二次函数 的图象上有两点A(-7,y ),B(-8,y ),则
y y .(填“>”“<”或“=”)
13.如图，在一块长为15 m，宽为10 m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草.若花草的种植面积为104 m ，则小路宽为 .
14.二次函数 的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a-b+c=0;③一元二次方程 有两个不相等的实数根；④当x<-1或x>3时，y>0.上述结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)
15.如图①，已知扇形AOB，作如下操作：①以点O，B 为圆心，大于 OB 的长为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线l；②直线l 与OB 交于点C，以点C为圆心，CO为半径作弧交直线l于点D；③连接OD，以点O为圆心，OD 为半径作弧，分别交OA，OB 于点E，F(如图②).经过以上操作，得到扇形EOF，若扇形AOB 的面积为4π,则扇形 EOF 的面积是 .
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)解方程:
17.(8分)如图，在正方形网格中，等腰三角形ABC 与等腰三角形A B C 的顶点均在格点上,且△ABC 与△A B C 关于某点中心对称,已知A,C ,C三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标；
(2)画出△ABC 绕点 B 顺时针旋转90°后的△A BC ,并写出点A 的对应点A 的坐标.
(8分)从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为
3，5，5，7.
(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取牌面数字是5的概率为 ;
(2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图法或列表法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率.
19.(8分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场运营统计，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
20.(8分)如图,在 Rt△AOB 中, 以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C 作OA 的平行线，交⊙O 于点D，连接AD.
(1)求证:AD 为⊙O 的切线;
(2)若OB=2,求 的长.
21.(10分)利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽， 称跨度；桥面最高点到 AB的距离CD=h，称拱高.拱桥的轮廓可以设计成是圆弧形或抛物线形，若修建拱桥的跨度L=32米,拱高h=8米.
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧形 抛物线形
任务一 设计成圆弧形，求该圆弧所在圆的半径； 设计成抛物线形，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式；
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=6.1米，EH=16米.请通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁.
22.(12分)【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为 于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.
(1)如图①，在等腰直角， 中， 过点 C 作直线DE, DE 于点D, 于点E,则 CD 与BE 的数量关系是 ;
如图②，在等腰直角 中， 过点C 作直线CE,过点 A作 于点D,过点 B 作BE⊥CE 于点E, 则BE的长为 ；
【变式运用】
(2)如图③,在 Rt△ABC 中, .求 的值；
【拓展迁移】
(3)如图④,在△ABC 中, 以AC 为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD 的面积.
23.(13分)定义：对于抛物线 以点 M(m，n)为中心，作该抛物线关于点M 中心对称的抛物线C ，则称抛物线C 为抛物线 关于点M 的“中心镜像抛物线”，点M 为“镜像中心”.
例如：如图①，抛物线 关于点 M(0，1)的“中心镜像抛物线”为 点 M(0,1)为“镜像中心”.
(1)如图②,当m=n=0时,求抛物线. 关于点 M 的“中心镜像抛物线”的函数解析式；
(2)已知抛物线 将其顶点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，恰好落在抛物线 C 关于点 M 的“中心镜像抛物线” 上，求“镜像中心”点M 的坐标；
(3)已知抛物线 关于点M(m，n)的“中心镜像抛物线”为 当0≤x≤1时, 的最大值与最小值的差为3,求t 的值.
参考答案
1. D 2. D 3. D 4. A 5. A6. C 7. A 8. D 9. B 10. D
11.(2,-5)
12.>
13.2m
14.②③④
15.2π
16.解:
17.解:(1)∵C ,C 是对称点,∴对称中心的坐标是(o, );
(2)如图,△A BC 即为所求作；点A 的坐标为(-1，1).
18.解:(1)
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为
19.解：(1)设销售单价为x 元时，每天的销售利润为2500元.由题意,得(x-50)[50+5(100-x)]=2500(x≥50),解得x=100 或60.答:销售单价为 60 元或100元时，每天的销售利润为2500元；
(2)设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元.由题意，得 4500.∵a=-5<0,∴抛物线开口向下.∵x≥50，对称轴是直线x=80,∴当x=80时, 即销售单价为 80 元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.
20.解:(1)证明:连接OD.∵∠OAB=30°,∠ABO=90°,
∴∠AOB=60°.又∵CD∥AO,∴∠C=∠AOB=60°.又
∵OC=OD,∴△COD 是等边三角形.∴∠COD=60°.
∴∠AOD=180°-60°-60°=60°=∠AOB.又∵OB=OD,AO=AO,∴△AOB≌△AOD(SAS).∴∠ADO=∠ABO=90°,即OD⊥AD.又∵点 D 在⊙O上,∴AD为⊙O 的切线;
(2)由题意,得⊙O的半径OB=2=OC,∠COD=60°,根据弧长公式可得 的长为
21.解:任务一:
①设计成圆弧形，设弧AB 所在圆的圆心为点O，C为弧AB 的中点,CD⊥AB 于点 D,延长 CD 经过点O,设⊙O 的半径为 R.在 Rt△OBD 中,
米,CD=8米, 解得 ∴圆弧所在圆的半径为 20米；
②设计成抛物线形，设抛物线的解析式为 又∵ 抛 物 线 经 过 点 C (0, 8) 和 点 B (16, 0), 解得 ∴抛物线的解析式为
任务二：
①在圆弧形拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示，设EH 交CO 于点 M,连接OE,则 米， (米).在Rt△OEM中, ∴货船能顺利通过圆弧形拱桥；
②在抛物线形拱桥中，当x=8时， 米，∴货船不能顺利通过抛物线形拱桥.
22.解:
(2)过点 B 作 垂足为 E,如答图①.∵AC=BC 由(1)知
(3)过点 A 作 于点N，则
分三种情况：
①如答图②，当 时，过点 D 作 交 BC的延长线于点 l
②如答图③，当 时,过点 D 分别作 AN,BC的垂线，垂足分别为 G，F.同①，得 易证矩形GNFD,∴DF=GN=AG+
答图③ 答图④
③如答图④，当 时,过点 D 作 BC 的垂线,交BC 的延长线于点F，过点 A 作AN 的垂线，交FD 的延长线于点 P.易证矩形 ANFP.同①，得 设 则 综上所述， 的面积为9 或12或24.
23.解:(1)当 时，则两个抛物线关于原点对称，∴“中心镜像抛物线”的函数解析式为 即
(2)抛物线 的顶点坐标为(-1，6)，平移后的顶点坐标为(1，10).由中点坐标公式，得“中心镜像抛物线”的函数的顶点坐标为(2m+1,2n-6),则“中心镜像抛物线” 的函数解析式为. 当x=0时, 则 ,①
将点(1,10)代入 得10= ②
联立①②,解得m=2,n=0,即点 M(2,0);
(3)由新定义知,a=-1,则抛物线( 的解析式为y= 当x=0时, -1;当x=1时,y=2t-2;当x=t时, 当t≥1时，函数在x=0和x=1时分别取得最小值和最大值,则2t-2-(-1)=3,解得t=2;当t≤0时,同理可得-1-(2t-2)=3,解得t=-1;当0t,即 时，则函数在x=1时取得最小值，则 解得t= (舍去)；当 时，同理可得 3，解得 (舍去).综上,t=2或-1.

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