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2024-2025学年山西省晋中市榆社等三地高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知的共轭复数是，且为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法中正确的是( )
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 四边形可以确定一个平面
C. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
D. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
5.若，则，的关系是( )
A. B. C. D. 或
6.给图中五个区域染色，有种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
7.已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的下四分位数为
C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为
10.已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数的结论正确的是( )
A.
B. 直线是函数图象的对称轴
C. 在上单调递增
D. 函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到
11.已知过点的直线与动圆：相切，切点为，记点的轨迹为曲线，则( )
A. 曲线经过原点 B. 曲线是轴对称图形
C. 点在曲线上 D. 曲线在第二象限的点的纵坐标有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分那么该模具的体积为______．
13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______．
14.已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为正项等比数列的前项和，已知，
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，，．
证明：E.
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布其中，近似为样本平均数，近似为样本方差已知的近似值为，的近似值为，以样本估计总体．
若笔试成绩高于进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望．
现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若，则：；；．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，为的导函数．
求实数的取值范围；
记较小的一个零点为，证明：．
19.本小题分
已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量．
求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；
若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为，
求曲线的方程；
设直线过定点与曲线交于点，，直线过定点与曲线交于点，，且，求，，，四点构成的四边形面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设正项等比数列的公比为，
因为，
所以，解得．
又，
所以，；
由题知，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
16.证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
所以，
所以E.
解：由知，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17.由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取人，该学生笔试成绩高于的概率为
所以随机变量服从二项分布，故随机变量的期望为：；
根据题目的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
因此的分布列为：
因此．
18.的定义域为，
导函数，
当时，导函数，在区间单调递减；
当时，令导函数，解得，
当时，导函数，单调递减；
当时，导函数，单调递增．
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在上单调递减．
若，根据第一问知，函数至多有一个零点；
若，根据第一问知，当时，函数取得最小值为．
由于当时，函数；
当时，函数，
因此有两个零点当且仅当．
设函数，在区间单调递增．
由于，的解集为．
综上所述，的取值范围是．
证明：由于函数，根据，结合知，
要证，那么即证，即，
当时，由于，，不等式恒成立；
当时，根据，得．
即证．
即证．
即证．
设，，
由，
所以在单调递增．所以，故原不等式成立．
所以．
19.因为，即，绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点，
则，
所以；
将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线，
设为曲线上点旋转后的对应点，
设，
则，
又因为，
所以，整理得；
依题意，与交点满足，且在椭圆内部，
当与重合时，，，；
当与不重合时，设直线：，与椭圆的交点为，，
联立，整理得，
则，
所以，
同理可得，
，
当且仅当，即时取等号，
因为，即，，，四点构成的四边形面积的最小值为．
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