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2024-2025学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.某校当天的新增感冒人数与温差单位：的组数据如下表：
由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量的分布列为
下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A.
B.
C. 的展开式的二项式系数之和为
D.
11.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，有个零点
B. 当时，有个零点
C. 可能有个零点
D. 当的零点个数最多时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛这两个比赛不能同时参加的概率分别为，，若甲参加跑步比赛获奖的概率为，参加跳绳比赛获奖的概率为，则甲获奖的概率为______．
13.已知函数的极小值点为，则 ______．
14.在由数字，，，，，，，，，组成的三位数数字可以重复中，能被整除的三位数的个数为______，能被整除且不含数字的三位数的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究高二学生的性别与身高是否大于的关联性，现随机调查了某中学的名高二学生，整理得到如下列联表：
男 女 合计
不低于
低于
合计
依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联？
从身高不低于的名学生中任选人，求这人性别不同的概率．
附：，其中．
16.本小题分
名数学小组成员包括甲、乙和名语文小组成员站成两排拍照，第一排站人，第二排站人．
若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
若语文小组成员分成两排站每排至少站人，求不同的排法种数．
17.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值；
若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围．
18.本小题分
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券例如：消费元，则赠送元的代金券；方案二，消费每满元可进行一次抽奖例如：消费元可进行三次抽奖，每次抽奖抽到元代金券的概率为，抽到元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响每人只能选择一种方案．
若甲的消费金额为元，他选择方案二且抽到元代金券的概率为，求；
若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；
若，请你根据顾客消费金额消费金额大于的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．
19.本小题分
已知函数与，若存在，，使得，则称点为与的一个“关键点”．
请写出函数与的一个“关键点”的坐标不需要证明．
判断函数与是否存在“关键点”若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可知，，
所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联；
从身高不低于的名学生中任选人，
若人的性别不同，即人中男女，则这人性别不同的概率．
16.名数学小组成员包括甲、乙和名语文小组成员站成两排拍照，第一排站人，第二排站人．
又数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，
则不同的排法种数为：．
根据题意，分甲、乙站在第一排和第二排两种情况：
甲、乙站在第一排：
选人在甲、乙中间：，
甲、乙二人插空排法：，
第二排人全排：，
，
甲、乙站在第二排：
选人与甲、乙站在第二排：，
甲、乙二人插空排法：，
第一排人全排：，
，
所以总共排法为：．
利用间接法：语文小组成员分成两排站每排至少站人总排法语文小组成员全在第二排．
即．
17.因为，，
所以，，
所以，，
根据题意可知，所以，
所以；
函数，的定义域均为，
由可知：，
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值；
当时，令，则；令令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值．
因为有最小值，所以，
所以，
，
则，
所以的取值范围为．
18.甲的消费金额为元，选择方案二可进行两次抽奖，
则抽到元代金券的概率为解得或；
设抽奖次数为，抽到元代金券的次数为，
则，得，，
因为，
所以，
，
，
当时，取得最大值，所以；
当消费金额单位：元在内时，不能参与方案二，只能选择方案一，
由可得，当时，，
设消费金额为，方案一的代金券的数学期望为；
当消费金额单位：元在或或或或内时，，选择方案二；
当消费金额单位：元为或或或时，，选择方案一、方案二都可以；
当消费金额单位：元在或或或内时，，选择方案一；
综上，当消费金额单位：元在或或或或内时，选择方案一；
当消费金额单位：元在或或或或内时，选择方案二；
当消费金额单位：元为或或或时，选择方案一、方案二都可以．
19.设，那么有，
因此满足由的点都是函数与的一个“关键点”，
对，那么有，因此点符合要求；
根据题意得函数的值域为，函数的定义域为，
导函数．
令函数，那么导函数，因此函数在上单调递增．
由于，，
因此函数在上存在唯一零点，且．
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此，
根据，得，得，即，
因此，得．
又函数，因此不存在，，使得，因此与不存在“关键点”；
证明：设函数，那么函数，得，，
得，得，
由，得，那么，
那么．
设函数，那么导函数，
设函数，那么导函数．
令，由于导函数，因此函数在上单调递增．
根据，得导函数，得函数在上单调递增，
由，得在上单调递增，
所以，则．
故．
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