资源简介

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，的第一四分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.某地区有家商铺，其中大型商铺家，中型商铺家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为的样本，则应抽取大型商铺( )
A. 家 B. 家 C. 家 D. 家
4.已知为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，则平行于平面内的任意一条直线
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字，，，，，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为”，“两次向上的数字之和是”，则下列结论正确的是( )
A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥
C. D.
7.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则的外接圆的面积为
B. 已知，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，则
10.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，母线，圆锥的侧面积为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 若平面，则点运动轨迹长度为
B. 若，则点运动轨迹长度为
C. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______．
13.已知，，，则的最大值为______．
14.如图，在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的余弦值的范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示．
估计此批棉花纤维长度的众数；
估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；保留整数
估计此批棉花纤维长度的平均数保留整数
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
求证：；
若平面，，，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，，．
求的值；
求的面积；
求的值．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点．
证明：平面；
若二面角为；
证明：平面平面；
棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，．
求证：；
若为锐角三角形，为中点，．
求的取值范围；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由频率分布直方图可知，区间对应的矩形最高，
所以估计此批棉花纤维长度的众数为；
因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和，
所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为，
因为前三组的频率之和，前四组的频率之和，
所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为；
估计此批棉花纤维长度的平均数为：
．
16.证明：设，相交于点，连接，
因为四边形是菱形，所以，互相垂直且平分，
所以，
因为，是中点，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设为平面的法向量，
则，则，
令，解得，，
故可取，
设为平面的法向量，
而，
则，则，
取，解得，，
故可知，
所以；
由图可知平面与平面所成的角为锐角，
故所求角的余弦值为．
17.根据题意可知，，，
所以，
所以；
根据可知，，
又因为，
根据正弦定理，得，
根据三角形面积公式可知，的面积；
因为，
所以．
18.解：证明：如图，取中点，连接，，
因为为中点，
所以，，
由已知有，．
又为中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，而平面，
所以平面．
证明：如图，连接，，
因为，，
又为中点，
所以，，
所以为二面角的平面角，
在中，由，，可解得，
在中，由，，可解得，
在中，，，，
由余弦定理，可解得，
即，
所以，
从而，即．
又，，
所以，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
棱上不存在点，使，
理由：假设棱上存在点，使，
由知，，，
因为，，
所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则有，，，，，，，
所以，
因为点在棱上，设，，
因为，
所以，
解得，
此时此时点在的反向延长线上，与因为点在棱上矛盾，
所以棱上是不存在点，使．
19.证明：利用正弦定理化简已知等式可得，
所以，
而，，，
从而，
所以或舍去，
所以，得证；
由题意可得，
解得，
可得的取值范围为；
由已知，，
又因为，
可得，
因为，
所以
，
，
可得，
设，
可得，
可得，
由对勾函数性质可知，在上递增，
可得，
可得，
可得的取值范围是．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑