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2024-2025 学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2 2.已知事件 ， ，且 ( ) = 2 , ( ) = 3 , ( | ) = 3，则 ( )等于( )
A. 16 B.
4
9 C.
1 5
2 D. 6
2.设 0 < < 1，随机变量 的分布列为
5 8 9
1 2
3 2 3
则 =( )
A. 1 B. 3 24 4 C. 5 D.
4
5
3.两个事件 ， 相互独立，则( )
A. ( ) = ( ) + ( ) B. ( ) = ( ) ( )
C. ( ∪ ) = ( ) + ( ) D. ( ∪ ) = ( ) ( )
4.设随机变量 服从二项分布 (6, 12 )，则 ( = 3)等于( )
A. 5 3 5 316 B. 16 C. 8 D. 8
5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 0.6，乙中靶的概率为 0.7，且两人是否中靶相互
独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为 0.12 B.两人都不中靶的概率为 0.42
C.恰有一人中靶的概率为 0.46 D.至少一人中靶的概率为 0.74
6 (3, 1.已知随机变量 2 )，则 (3 +
5
2 ) =( )
A. 32 B.
9
2 C. 4 D. 7
7.对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图(左图为甲，右图为乙)，下列结论不正确的是( )
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A.甲、乙两组数据都呈线性相关 B.乙组数据的相关程度比甲强
C.乙组数据的相关系数 比甲大 D.乙组数据的相关系数 的绝对值更接近 1
8.某批产品来自 ， 两条生产线， 生产线占 60%，次品率为 5%； 生产线占 40%，次品率为 4%，现随
机抽取一件进行检测，则抽到次品的概率是( )
A. 0.029 B. 0.046 C. 0.056 D. 0.406
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，点 (0,0,0)， (2,1, 1)， ( 3, 4, 5)，下列结论正确的有( )
A. | | = 3 5
B.向量 与 3的夹角的余弦值为 6
C.点 关于 轴的对称点坐标为( 2, 1, 1)
D.直线 的一个方向向量 = (10,10,8)
10.某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从这批产品中任意抽取 4 个，则其中恰好有
1 个二等品的概率为( )
4 2 2 0 4 1 3 1 1 3
A. 1 10+ 2 10 B. 2 10+ 2 10 C. 1 2 D. 2 10
4 4 4 412 12 12 12
11.下列说法中正确的是( )

A.回归直线 = + 恒过样本中心点( , )，且至少过一个样本点
B.用决定系数 2刻画回归效果时， 2越接近 1，说明模型的拟合效果越好
C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D.基于小概率值 的检验规则是：当 2 ≥ 时，我们就推断 0不成立，即认为 和 不独立，该推断犯错误
的概率不超过
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 服从参数为 0.6 的两点分布，则 ( = 0) = ______．
13.在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ～(2, 2)( > 0)，若 在(0,2)内取值的概率为 0.4，则 在(2,4)
内取值的概率为______．

14.根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 = + 10.3，则回归系数 的值为______．
6 8 9 10 12
6 5 4 3 2
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
袋中有大小相同，质地均匀的 3 个白球，5 个黑球，从中任取 2 个球，设取到白球的个数为 ．
(1)求随机变量 的分布列；
(2)求随机变量 的数学期望和方差．
16.(本小题 15 分)
某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了 100 人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的 2 × 2
列联表：
回老家 不回老家 总计
60 周岁及以下 5 60
60 周岁以上 25
总计 100
(1)完成以上 2 × 2 列联表；
(2)根据小概率值 = 0.001 的 2独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
参考数据：
( 2 ≥ 0) 0.100 0.050 0.010 0.001
0 2.706 3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为 (单位： ，以下同)，且 (20,0.0001)．
(1)分别写出 ( )， ( )的值；
(2)若生产这样的成品铜棒 10000 根，试估计直径在[19.97,20.03]内的铜棒根数；
(3)若质检员从这些铜棒中随机抽取 1 根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98,20.03]内的概率．
参考数据：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， (
3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
18.(本小题 17 分)
正方体 1 1 1 1的棱长为 4， ， 分别为 1 1， 1 1中点， = 3 1G.
( )求证： ⊥平面 ；
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(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(Ⅲ)求三棱锥 的体积．
19.(本小题 17 分)
近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业.据统计，某市一家新能源企业近 5 个月的产值如表：
月份 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月
月份代码 1 2 3 4 5
产值 (亿元) 16 20 27 30 37
(1)根据上表数据，计算 与 间的线性相关系数 ，并说明 与 的线性相关性的强弱；(结果保留三位小数，
若 0.75 ≤ | | ≤ 1，则认为 与 线性相关性很强；若| | < 0.75，则认为 与 线性相关性不强. )
(2)求出 关于 的线性回归方程，并预测明年 3 月份该企业的产值．


参考公式： = =1 , =
=1
2 2 , = . .
=1
2 2 2 =1 2
=1
参考数据：5 = 442,5 2 5

=1 =1 = 55, =1
2
= 3654, = 26, 2740 ≈ 52.3. .
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.4
13.0.4
14. 0.7
15.(1) 的可能取值为 0、1、2，
( = 0) =
2
5 = 10 5则 =
28 28 14
，
1 1
( = 1) = 5 3 = 15，
28 28
2
( = 2) = 3 = 3，
28 28
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2
5 15 3
14 28 28
(2) ( ) = 1 × 15 3 328 + 2 × 28 = 4，
( ) = 5 × (0 3 214 4 ) +
15 3 2 3
28 × (1 4 ) + 28 × (2
3 )2 = 454 112．
16.(1)根据题目所给数据得到如下 2 × 2 的列联表：
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回老家 不回老家 总计
60 周岁及以下 5 55 60
60 周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
(2)零假设为 0：回老家过节与年龄无关，
2 = 100(5×25 15×55)
2 1225
20×80×60×40 = 96 ≈ 12.760 > 10.828，
所以根据小概率值 = 0.001 的 2独立性检验，假设不成立，
则可以认为回老家过节与年龄有关．
17.(1)根据题意可知， (20,0.0001) (20, 0.012)，
则 ( ) = 20， ( ) = 0.0001；
(2)[19.97,20.03] [2 03,2 + 0.03]，
因 ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973，则直径在[19.97,20.03]内概率约为 0.9973，
则直径在[19.97,20.03]内的铜棒根数为 10000 × 0.9973 = 9973；
(3)[19.98,20.03] [20 0.02,20 + 0.03]，
因 ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973，
则 (19.98 ≤ < 2) = 12 ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.47725，
(12 ≤ ≤ 20.03) = 12 ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.49865，
则 (19.98 ≤ ≤ 20.03) ≈ 0.47725 + 0.49865 = 0.9759．
18.( )证明：如图，以 为原点， 、 、 1所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，
由已知得 (0,0,0)， (4,4,0)， (0,4,3)， (2,0,4)， (2,4,4)，
所以 = (2,0,1)， = ( 2, 4,4)， = (0,4,0)，
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设平面 的法向量为 = ( 0, 0, 0)，
= 2 0 4 则 0
+ 4 0 = 0 0 + 2 0 2 0 = 0

，即 ，
= 4 = 00 = 0 0
取 0 = 1，则 = (2,0,1)，即 = ，
所以 // ，
所以 ⊥面 ．
(Ⅱ)由( )得 = ( 2,4, 1)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 2 1 4 1 + 4 则 1
= 0 4
，即 1
3 1 = 0
， = 2 + 4 = 0 8 1 5 1 = 01 1 1
取 1 = 1，则 = (
3 5
4 , 8 , 1)，
2×
3
4+1×1所以 cos < , >= 4| | | | = = ，4+1× 9 25 516+64+1
故平面 与平面 4夹角的余弦值为5．
(Ⅲ)在△ 中，因为 = 4， = 21 + 1 2 = 42 + 22 = 2 5， = 2 + 2 = 6，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
1 1所以 △ = 2 = 2 × 4 × 2 5 = 4 5，
又 = (2,0,4)，
| = | = 2×2+4×1 8 5则点 到平面 的距离为 | | 4+1 = 5 ，
所以三棱锥 1 1 8 5 32的体积为 = 3 △ = 3 × 4 5 × 5 = 3．
19. 解：(1) = 1+2+3+4+55 = 3， =
16+20+27+30+37
5 = 26，
= 442 5×3×26 52所以 = ≈ 52 ≈ 0.994，
55 5×9× 3654 5×262 10× 274 52.3
因为| | ∈ [0.75,1]，
故 与 线性相关性很强．

(2)由题意可得， = 442 5×3×2655 5×9 = 5.2，

所以 = = 26 5.2 × 3 = 10.4，

所以 关于 的线性回归方程为 = 5.2 + 10.4，
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当 = 10 时， = 5.2 × 10 + 10.4 = 62.4，
故明年 3 月份该企业的产值约为 62.4 亿元. .
第 8页，共 8页

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