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2024-2025学年山东省青岛三十九中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校义工社团共有人，其中男生人若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是( )
A. B. C. D.
2.在四边形中，若，则“”是“四边形是菱形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3.若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑中，，平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 若一组样本数据，，，，，的极差为，则实数的取值范围为
C. ，，，和，，，的方差分别为和，若，则
D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为，抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生数学成绩的方差为
11.已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是( )
A. 点的轨迹中包含的中点
B. 点的轨迹与侧面的交线长为
C. 的最大值为
D. 直线与直线所成角的余弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，则______．
13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内
的两个测量点，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为______米保留根号
14.将函数的图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长单位：分钟，现随机抽取了该商场到访顾客的辆车进行调查，将数据分成组：，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图：
求样本中停车时长在区间上的频率；
若某天该商场到访顾客的车辆数为，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；
为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务，若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议．
16.本小题分
如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．
若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，设点在线段上，证明：直线平面．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
已知面积为，为，求边上中线长．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，为等边三角形，为的中点，，且．
证明：平面；
若为线段上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积进而，一元次多项式方程有个复数根重根按重数计．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程
在复数集内的根为、，容易得到
设实系数一元三次方程
在复数集内的根为、、，可以得到，方程可变形为
展开得：
比较可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
对于方程在复数集内的根为、、，求的值；
如果实系数一元四次方程在复数集内的根为、、、，试找到根与系数之间的关系；
已知函数，对于方程在复数集内的根为、、，当时，求的最大值．
参考答案
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15.根据频率分布表的可知，所有组频率和是，
除外其他组频率与组距乘积之和为，
样本中停车时长在区间上频率是；
包含、两组，
该区间频率为，
已知车辆数为，则该区间车辆数为；
设免费停车时长不超过分钟，
频率为，，
频率为，，在上，
列方程，
，
，
，
建议免费停车时长为不超过分钟．
16.如图，连接，依题意及圆锥的性质得，，，
所以，
所以圆锥的侧面积．
证明：连接，，，
因为是母线的中点，是底面圆的直径，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，
所以，
因为，
所以，
则为等边三角形，，
所以，
所以为等边三角形，，
所以，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面，
而，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
所以，
又因为，
可得，整理可得，
又因为，可得，
解得；
因为面积为，为，
即，解得，
由余弦定理，
即，可得，
因为是边上的中线，
所以，两边平方可得，
可得，
即中线的长度为．
18.证明：因为为中点，是等边三角形，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，又，，
所以平面；
连接，由知平面，平面，所以，
所以，
所以当的面积最小时，最小，
在中，若最小，则，
此时；，
因为，，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，过点作于，
则平面，
所以是与平面所成的角为，
又，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为．
19.解：由阅读材料可知：，，
故；
因为实系数一元四次方程在复数集内的根为、、、，
由材料可知：一元四次方程可改写为，
展开得：，
故可得：；
由题有的三个实根为，，，
设，
展开，
故，
则
，
又，故，
综上：当时，的最大值为．
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