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2024-2025 学年安徽省马鞍山市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {0,1,2,3}， = { |2 < 8}，则 ∩ 的元素个数为( )
A. {0,1,2} B. 3 C. 2 D. 1
2.已知 是虚数单位，复数 满足(2 ) = 10 + 5 ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
3.如果 ， 是实数，那么“| | = | | + | |”是“ < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知两个非零向量 与 的夹角为 ，我们把数量| || | 叫作向量 与 的叉乘 × 的模，记作| × |，
即| × | = | || | ，若向量 = (0,1)， = ( 3, 1)，则| × | =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 3
5.等差数列{ }的前 项和为 ，公差 < 0， 2024 2025 < 0，则使 > 0 的 的最大值为( )
A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025
6.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A. 3 B. 2 3 C. D. 3 2
7 3.已知函数 ( ) = + 2 2 + 2 + 3 在[ 2 , 2 ]上的所有极值点从小到大依次记为 1， 2， ， ，
则 =1 ( ) =( )
A. 12 B. 15 C. 18 D. 24
2 28.已知双曲线 ： 2 2 = 1( , > 0)的左右焦点分别为 1， 2，点 在双曲线 的渐近线上，且点 在第一
象限，线段 1的中点 在 的左支上，| 1| = | 1|，则双曲线 的离心率为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A.两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数 就越接近 1
B. 1已知随机变量 ～ (0,1)，若 ( > 1) = ，则 ( 1 < ≤ 0) = 2
C.数据 3，4，6，7，8，9，10，11 的第 75 百分位数为 9
D.若事件 ， 满足 ( ) ( ) ≠ 0， ( | ) = ( )，则 ( | ) = ( )
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10.已知(2 1)2025 = + + 20 1 2 + + 20252025 ，则( )
A. 1 = 2025
B. 2023 = 22021 2
C. 1 + 2 + + 2025 = 2
2025
D. 1 + 3 + 5 + + 2025 =
1+3
2
11.已知平面直角坐标系中，动点 ( , )到点 (0,0)和 (2,2)的距离的乘积为 2，
点 的轨迹 如图所示，则( )
A. 过点(1,1)
B. 关于直线 + = 2 和直线 = 均对称
C. 到原点 (0,0)距离的最大值为 2 + 2
D.直线 = + 5 与 相切
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12 1.已知 2 < 1，且 2 < 1，则实数 的取值范围是______．
13.若把满足 2 + 2 = 2( < < )的正整数组( , , )称为“勾股数组”，则在不大于 14 的正整数中，随
机选取 3 个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为______．
14 +4 1.已知实数 ， 满足 3 + = 2，则 的最大值为______．
2+ 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .当 = 时，函数 ( ) = 2 3 2 取得最大值．
(1)求角 的大小；
(2)若边 上中线 = 2，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形. ⊥平面 ， ， 分别是 ， 的中
点．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若平面 与平面 5夹角的余弦值为 5 ，求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
已知 ( ) = 2 ， ∈ ．
(1)曲线 = ( )与直线 = 相切，求 的值；
(2)若 ( )有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点到椭圆 4 +
2 = 1 右焦点的距离等于椭圆长半轴长．
(1)求抛物线 方程；
(2)过点 (0, 4)作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ( 在 的右侧)，点 为线段 上的动点(不含端
点)，过 作抛物线 的另一条切线，切点为 ，直线 与 交于点 .求证：| | + | |为定值，并求定值．
19.(本小题 17 分)
在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次投
篮，投中得 2 分，未投中得 1 分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的 2 倍，未投中得 1 分.已知
2
甲每次投篮投中的概率均为3，且每次投篮结果互不影响．
(1)求甲投篮 3 次得分总和为 4 分的概率；
(2)记甲第 次( ∈ )投篮的得分为 ，甲投 ( ∈ )次篮的得分总和为 ．
( )求 ( 1)， ( 2)， ( 3)，并写出 ≥ 2( ∈ )时， ( )与 ( 1)的关系式(不需证明)；
( )已知结论： ， 为两个随机变量，则 ( + ) = ( ) + ( )，利用这个结论求 ( )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0, 12 )
13. 3364
14.5 22
15.(1)根据题意可知，函数 ( ) = 2 3 2 = 3 2 2 = 2 (2 6 )，
因为 ∈ (0, ) 11 ，所以 2 6 ∈ ( 6 , 6 )，
则 2 6 =

2，即 = 3时， ( )取得最大值，则 = 3；
(2)因为 为 1边的中线，则 = ( 2 +
)，
2 2 2则 = 1 ( + 2 + 4
)，
1
则 4 = ( 2 + 2 + 24 ) =
1
4 (
2 + 2 + ) ≥ 1 34 (2 + ) = 4 ，
16 4 3
即 ≤ 3，当且仅当 = = 3 时等号成立，
1 1 16 3 4 3
所以 △ = 2 ≤ 2 × 3 × 2 = 3 ，
4 3
则△ 面积的最大值为 3 ．
16.(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
在正方形 中， 为 的中点，
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∵ 为 的中点，∴ // ，
又∵ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)解：以 为原点，以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设 = ， > 0，则 (0,0, )， (4,0,0)， (4,4,0)， (0,2, 2 )，
∴ = (4,0, )， = (0,4,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 4 = 0
则 ，令 = ，得 = ( , 0,4)， = 4 = 0
∴平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
∴ |cos < > | = | | 5， | || | = = ，解得 = 2， 2+16×1 5
∴ = (2,0,4)， (0,2,1)， = ( 4,2,1)，

∴点 到平面 | | | 8+4| 2 5的距离为 | | = 4+16 = 5 ．
17.(1)由题意可得， ′( ) = 2 ， > 0，
设切点为( , 20 0 0)，
则 ′( 0) = 2 0 = 1，则 2
2
0 0 = ，0
又 2 2 20 0 = 0，所以 0 (2 0 0) 0 = 0，
则 0 (2 0 1) 0 = 1，即 0 1 (2 0 1) 0 = 0，
设 ( ) = 1 (2 1) ， > 0，
则 ′( ) = 1 2 (2 1) 1 =
1
2 1，
1
因为函数 = , = 2 在(0, + ∞)上单调递减，
所以函数 ′( )在(0, + ∞)上单调递减，又 ′(1) = 0
则 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0； ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
因为 (1) = 0，所以 0 = 1，则 = 2 20 0 = 1．
2
(2)由 ( ) = 2 ， > 0，则 ′( ) = 2 2 = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增，至多有一个零点，不符合题意；
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2( + )( )
当 > 0 2 2时， ′( ) = ，
令 ′( ) > 0，解得 > 2；令 ′( ) < 0

，解得 0 < < 2，
故 ( )在(0, ) 2 上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
要使 = ( ) 有两个零点，则 ( 2) =
1
2
1
2

2 < 0，
解得 > 2 ，
而 (1) = 1 > 0， ( ) = 2 = ( )，
当 > 2 时，令 ( ) = ，
则 ′( ) = 1 1 = 1 > 0，所以函数 ( )在(2 , + ∞)上单调递增，
故 ( ) > (2 ) = 2 ln(2 ) = 2 ln(2 ) > 0，则 ( ) > 0，
所以 (1) ( 2) < 0

， ( ) ( 2) < 0，
( )在(1, 2)与(

2, )上分别存在唯一零点．
综上所述，实数 的取值范围为(2 , + ∞)．
18.(1) 易知抛物线 的焦点为(0, 2 )，
2
因为椭圆的方程为 24 + = 1，
所以 = 2, = 1, = 3，
所以椭圆的右焦点为( 3, 0)，长半轴长为 = 2，
因为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长，

所以 3 + ( )22 = 2，
解得 = 2，
则抛物线 方程为 2 = 4 ；
(2)证明：设过点 (0, 4)与抛物线 相切的直线方程为 = 4，
= 4
联立 2 2 = 4 ，消去 并整理得 4 + 16 = 0，
此时 = 16 2 4 × 16 = 0，
解得 =± 2，
所以 2 ± 8 + 16 = 0，
解得 =± 4，
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则 (4,4)， ( 4,4)，
所以直线 的方程为 = 2 4，直线 的方程为 = 2 4，
设直线 的方程为 = ( ) + 2 4， < 0， ( , 2 4)， ∈ (0,4)，
= ( ) + 2 4
联立 2 2 = 4 ，消去 并整理得 4 + 4 8 + 16 = 0，
此时 = ( 4 )2 4(4 8 + 16) = 0，
解得 = 2 或 = 2(舍去)，
所以 2 4( 2) + 4 ( 2) 8 + 16 = 0，
解得 = 2( 2)，
则 (2( 2), ( 2)2)，直线 的方程为 = ( 2) ( 2)2．
= ( 2) ( 2)2
联立 = 2 4 ，
= 4
解得 = 2 + 4，
即 ( 4, 2 + 4)，
则| | + | | = 1 + 4 (| | + | |) = 5 (4 + ) = 4 5．
故| | + | |为定值，定值为 4 5．
19.(1) 2 2设 事件=“甲投篮 3 次得分总和为 4 分”，所以 ( ) = 13 × 3 × (1 3 )
2 = 29；
(2)( 2 1ⅰ)由题易知学生甲第 1 次投篮得 2 分、1 分的概率分别为3，3，
根据期望公式可得 ( ) = 2 × 21 3+ 1 ×
1 5
3 = 3，
2 2 2 1 2 1甲第 次投篮得 4 分、2 分、1 分的概率分别为3 × 3，3 × 3，3，
2 2 1 2 1 23
根据期望公式可得 ( 2) = 4 × 3 × 3 + 2 × 3 × 3 + 1 × 3 = 9，
3 2 2 2 1 2 2 1 2 1甲第 次投篮得 8 分、4 分、2 分、1 分的概率分别为3 × 3 × 3，3 × 3 × 3，3 × 3，3，
2 2 2 1 2 2 1 2 1 101
根据期望公式可得 ( 3) = 8 × 3 × 3 × 3 + 4 × 3 × 3 × 3+ 2 × 3 × 3 + 1 × 3 = 27，
( ) = 4 ( ) + 1易知 2 3 1 3 , ( ) =
4 ( ) + 1 ( ) = 4 ( ) + 13 3 2 3， 3 3 2 3，
当 ≥ 2 时，假设第 1 次投篮甲的得分 1的期望为 ( 1)，
由题易知第 2 1次投中所得分数为 2 ( 1)，概率为3，没投中所得分数为 1，概率为3，
于是甲第 次投篮所得分数 的期望为 ( ) = 2 (
2
1) × 3 + 1 ×
1 = 43 3 (
1
1) + 3，
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即 ( ) =
4
3 (
1
1) + 3， ∈
， ≥ 2；
(ⅱ)由(ⅰ) 4可知 ( ) + 1 = 3 [ ( 1) + 1]
8 4
，所以可得数列{ ( ) + 1}是一个以3为首项，3为公比的等比数列，
8 4
根据等比数列的通项公式可以得到 ( ) + 1 = × ( ) 1 4 3 3 ，整理得到 (

) = 2( 3 ) 1，
总得分 = =1 ，由 ( + ) = ( ) + ( )，得 ( ) = (

=1 ) = =1 ( )，
8 4
( ) = [ 2( 4 3
[1 ( ) ] 4
所以 ) 1] = 3 = 8 ( ) =1 3 4 3 8．1 3
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