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2024-2025 学年四川省广元市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲地去乙地的道路有 4 条，从乙地去丙地的道路有 2 条，则从甲地经乙地去丙地，不同路线的条数是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.已知随机变量 服从正态分布 (1, 2)，若 ( > 3) = 0.1，则 (1 ≤ ≤ 3) =( )
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
3 ( ) = 5 ( ) = 2 ( | ) = 1.已知事件 ， ，且 6， 3， 2，则 ( | ) =( )
A. 45 B.
2
5 C.
1 D. 13 5
4.某机构对儿童记忆能力 和识图能力 进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力 4 6 8 10
识图能力 3 5 7 8

由表中数据，求得经验回归方程为 = 0.85 + ，若某儿童记忆能力为 12，则他的识图能力的预测值为( )
A. 10 B. 9.8 C. 9.5 D. 9.2
5 ( 2 ) ( ).设 ( )是定义域为 的可导函数，若 ′( 0) = 1，则 lim 0 0 →0 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
6.2025 年 4 月 23 日是第三十个世界读书日.将 2，0，2，5，4，2，3 这些数字排成一排组成一个七位数，
则不同的七位数有( )个．
A. 480 B. 600 C. 720 D. 840
7.若随机变量 1服从二项分布 (8, 3 )，则 ( = )取得最大值时， =( )
A. 2 或 3 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知 ′( )是函数 ( ) 的导函数，且 ∈ (0, 2 ), ′( ) > ( )sin( ).则下列不等式一定成立的是
( )
A. 32 (

3 ) < (

6 )cos

3 B. (1) < 2 ( 4 ) 1
C. ( 4 ) < 2 (
2 3
3 ) D. 3 ( 6 ) 1 > (1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A.若| |越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强
B.回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄
表示拟合效果越好
C.在 2 × 2 列联表中，若每个数据 ， ， ， 均变成原来的 2 倍，则 2也变成原来的 2 倍(附： 2 =
( )2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + )
D.决定系数 2用以比较两个模型拟合效果，若 2越小，则模型的拟合效果越好
10 1.在( )
6的展开式中，则( )
A.各项系数的和是 64 B.各二项式系数的和是 64
C.含 3的项的系数是 15 D.第 4 项是系数最大的项
11.已知 ′( )为 ( )的导函数，对于 ， ∈ ，满足 ( + ) ( ) = 2( ) 2( )，且 (1) = 1， (2) =
0，则下列正确的有( )
A. (0) = 0 B. ( )是奇函数
C.函数 ′( + 2)的图象关于点(2,0)对称 D. 2025 =1 ( ) = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.随机变量 的分布列如下：
1 0 1
1 1 1
6 3 2
则 (3 ) = ______．
13.有 2 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 6%，第 2 台加工的次品率为 5%，加工出来
的零件混放在一起，已知第 1，2 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，75%，现从加工出来的零件中
任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第 2 台车床的概率是______．
14 .已知不等式 2 ≥ 3 恒成立，其中 ≠ 0，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = 33
2．
(1)求函数 ( )的图象在 = 3 处的切线方程；
(2)若 ( ) ≤ 在 ∈ [0,3]上有解，求 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
已知(2 1)10 = 0 + 1 + 2 3 102 + 3 + + 10 ，
(1)求 1 + 2 + + 10；
(2)求| 0| + | 1| + | 2| + + | 10|；
(3)求 1 + 2 2 + 3 3 + + 10 10．
17.(本小题 15 分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间( 分钟/每天)和他们的数学成绩( 分)的关系，某实验小组做了调
查，得到一些数据如下表：
编号 1 2 3 4 5
10 20 30 40 50
70 80 100 120 130
(1)若该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求 关于 的回归直线方程. (参考数据：
5 =1 = 16600)
(2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了 160 位学生.按照参与课
后自主学习与成绩进步情况得到如下 2 × 2 列联表：
成绩没有进步成绩有进步合计
参与课后自主学习 5 135 140
未参与课后自主学习 5 15 20
合计 10 150 160
依据 = 0.001 的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．


= + =

=1 ( )( )

附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： , = ， =1 ( )2
2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2．
(1)求函数 ′( )的单调区间；
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(2)若 ( ) ≤ 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 1 2证明： ( ) < + 2 ．
19.(本小题 17 分)
已知甲乙两个盒中均有 3 个除颜色外完全相同的小球，其中 2 个白球和 1 个红球.从甲乙两个盒中各任取一
个小球交换，重复进行 ( ∈ )次操作后，记甲盒中红球的个数为 ，甲盒中恰有 1 个红球的概率为 ，
恰有 2 个红球的概率为 ．
(1)求 1的数学期望；
(2)找出 +1与 的关系，并求{ }的通项公式；
(3)证明： + 2 = 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.57
14. 1 12 3 2
15.(1)函数 ( ) = 1 33
2，则 ′( ) = 2 2 ，
所以 ′(3) = 3，又 (3) = 0，
所以函数 ( )的图象在 = 3 处的切线方程为 0 = 3( 3)，即 = 3 9．
(2)由(1)知 ′( ) = 2 2 = 0 = 0， = 2，
所以 0 < < 2 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
2 < ≤ 3 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
4
所以 ( ) = (2) = 3，
又 ( ) ≤ 在 ∈ [0,3]上有解，所以 ≥ [ ( )] = 4 3，
4
即 的取值范围是[ 3 , + ∞)．
16.(1)令 = 0，得 0 = 1，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + 3 + + 10 = (2 1)10 = 1，
所以 1 + 2 + 3 + 10 = 1 1 = 0．
(2)根据该二项式的展开式可知，| 0| + | 1| + | 2| + | 10| = 0 1 + 2 + 10，
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令 = 1，得 0 1 + 2 3 + + 0 = ( 3)10 = 310，
∴ | 0| + | 1| + | 2| + + | 1010| = 3 ．
(3)对(1 2 )10 = 0 + 1 + 22 + 3 3 + + 1010 两边同时求导，
可得 20(1 2 )9 = + 2 2 91 2 + 3 3 + + 10 10 ，
令 = 1，可得 1 + 2 2 + 3 3 + + 100 100 = 20．
17. (1)由题意易得 = 30， = 100，

又5 =1 ( )( ) = 20 × ( 30) + ( 10) × ( 20) + 10 × 20 + 20 × 30 = 1600，
5
2
=1 ( ) = ( 20)
2 + ( 10)2 + 102 + 202 = 1000，
1600
所以 = 1000 = 1.6， = = 100 1.6 × 30 = 52，

所以 = 1.6 + 52；
2
(2) 160×(5×15 135×5)由题意有 2 = 140×20×10×150 ≈ 13.714 > 10.828，
所以在犯错概率不超过 0.001 的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关．
18.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，导函数 ′( ) = 1 + 2 ( > 0)，
令函数 ( ) = 1 + 2 ( > 0) 1 1 2 ，导函数 ′( ) = 2 = = 0 =
1
2，
1
因此时， ≥ 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
0 < < 12时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
即 ′( ) [ 1 1的单调递减区间为 2 , + ∞)，单调递增区间为(0, 2 )．
2
(2) > 0 ( ) ≤ ≥ [ 由于 ， 恒成立，即 ] = [ ] ，
令函数 ( ) = ( > 0) 1 1 ，导函数 ′( ) = 1 = = 0 = 1，
因此函数 ( )在(1, + ∞)单调递减，(0,1)单调递增，
( ) = (1) = 1，所以 ∈ [ 1, + ∞)．
(3) ( )证明：根据第二问知 ≤ 1，所以函数 ( ) ≤ ，
要证 ( ) < + 1 2 2 ，即证 <
+ 1 2 2 ，
( 3 2 +1) + 2
等价于 > 0 ( 3 2 2 + 1)
+ 2 > 0，
又因为 > ，因此( 3 2 + 1) + 2 > ( 3 2 + 1) + 2 = ( 3 + 1)，
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令函数 ( ) = 3 2 + 1( > 0)，导函数 ′( ) = 3 2 2 = 0 = 63 ，
6 6
因此函数 ( )在( 3 , + ∞)单调递增，在(0, 3 )单调递减，
( ) = (
6
3 ) =
2 6 6 6
9 3 + 1 = 1 9 > 0，
即( 3 2 + 1) + 2 > ( 3 + 1) > 0，
即 < + 1 2 2 ，
( ) < + 1故 2
2
成立．
19.(1)由题意随机变量 1 = 0，1，2，
1 2
甲乙两盒中取红球的概率为3，取得白球的概率为3，
则 ( 1 = 0) =
1
3 ×
2
3 =
2
9， ( 1 = 1) =
2 × 2 + 1 × 13 3 3 3 =
5
9，
( 2 1 21 = 2) = 3 × 3 = 9，
所以随机变量 1的分布列如下：
1 0 1 2
2 5 2
9 9 9
2 5 2
故数学期望 ( 1) = 0 × 9 + 1 × 9 + 2 × 9 = 1．
(2)由全概率公式可得 ( +1 = 1) = ( = 0) ( +1 = 1| = 0)
+ ( = 1) ( +1 = 1| = 1) + ( = 2) ( +1 = 1| = 2)
2 2 2 1 1 2
= (1 × 3 ) ( = 0) + (3 × 3 + 3 × 3 ) ( = 1) + (3 × 1) ( = 2)
= 2 5 23 ( = 0) + 9 ( = 1) + 3 ( = 2)，
由甲盒中红球的个数为 ，甲盒中恰有 1 个红球的概率为 ，
恰有 2 个红球的概率为 ，
2 5 2 2 1
可得 +1 = 3 (1 ) + 9 + 3 ，化简可得 +1 = 3 9 ，
设 +1 =
1
9 ( )
1 10
，即有 +1 = 9 + 9 ，
10
由 9 =
2 3
3，解得 = 5，
所以 3 +1 5 =
1
9 (
3
5 )，又 1 = (
5
1 = 1) = 9，
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所以数列{ 3 3 2 1 5 }是以 1 5 = 45为首项，以 9为公比的等比数列，
所以 3 2 1 1 2 1 3 2 1 5 = 45 ( 9 ) = 5 ( 9 ) ，即 = 5 + 5 ( 9 ) ．
(3)证明：由全概率公式可得 ( +1 = 2) = ( = 0) ( +1 = 2| = 0)
+ ( = 1) ( +1 = 2| = 1) + ( = 2) ( +1 = 2| = 2)，
= 0 × ( 1 = 0) + (1 × 3 ) ( = 1) + (
2 1
3 × 3 ) ( = 2) =
1
3 (
2
= 1) + 9 ( = 2)，
由甲盒中红球的个数为 ，甲盒中恰有 1 个红球的概率为 ，
恰有 2 个红球的概率为 ，
2 1 3 2 1可得 +1 = 9 + 3 ，又 = 5+ 5 ( 9 ) ，
所以 +1 =
1 2
3 + 9 [
3 2
5 + 5 (
1
9 )
]，
1 1 1可得 +1 1 +1 5 + 5 ( 9 ) = 3 [
1 + 1 ( 1 ) ] = ( = 2) = 2 5 5 9 ，又 1 1 9，
1 + 1 1故 1 5 5 × ( 9 ) =
2 19 5
1
45 = 0，
1 1 1则 1 1 1 5 + 5 × ( 9 ) = 0， = 5 5 ( 9 ) ，
所以 ( ) = + 2 + 0 × (1 ) = + 2 = 1．
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