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2024-2025 学年河北省邯郸市涉县一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | < 2}， = { | = }，则 ∪ =( )
A. ( 2, + ∞) B. (2, + ∞) C. ( 2,2) D. ( ∞,2)
2.已知复数 满足 3 = 1 + 2 ，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某同学记录了以下数据，分别为 12，10，13，11，6，8，16，14，则该组数据的第 80 百分位数为( )
A. 10 B. 13 C. 13.5 D. 14
4 .已知点 (1,2)，将线段 绕坐标原点 逆时针转动4至 ′，则点 ′的纵坐标为( )
A. 22 B.
2 C. 3 22 2 D.
7 2
2
2 25.已知双曲线 2

2 = 1( > > 0)
4
的两条渐近线的夹角的正切值为3，则该双曲线的离心率为( )
A. 52 B. 2 C. 5 D. 3
6 27.已知扇形的圆心角为 2，弧长为 ，面积为 ，扇形所在圆的半径为 ，则 + + +1取最小值时，半径
的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知函数 ( )的定义域为 ，函数 = ( + 3) + 2 是奇函数，则5 =1 ( ) =( )
A. 10 B. 5 C. 5 D. 10
2 2
8.已知实数 ， ( )2 + ( ，则 2 + 2)
2 + 2的最小值为( )
A. 5 2 12 2 B.
5 2 1 C. 5 2 1 5 2 14 2 2 + 2 D. 4 + 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， // ， ∩ = ，则 //
10 ( ) = 1.已知函数 3
3 + 2 + (2 1) ，则( )
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A. 5若 = 1，则函数 ( )的极小值点是 3
B.函数 ( )的图象关于点( 1, 2 + 53 )中心对称
C. 1 7若过点(1,0)有三条直线与曲线 = ( )相切，则实数 的取值范围为( 6 , 6 )
D.若函数 ( )在(1,3)上存在唯一的极值点，则实数 的取值范围为( 7, 1)
11.已知半圆 1：( 2)2 + ( 4)2 = 4( ≥ 4)，半圆 2与半圆 1关于 轴对称，焦点为 的抛物线 ： 2 = 4
的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形 ，点 ， 在 的抛物线 部分上，点 在半圆 1或半圆 2上，
则下列说法正确的是( )
A. 12 13若 在半圆 1上，则 到直线 2 的距离最大值为 13 + 2
B.若 在半圆 2上，则| | + | |的最小值为 5
C.若 = ，则△ 的面积的最大值为 7
D.若 在半圆 1上， (1,1)是 的中点，则
41
的最大值为 4 10 + 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 12， 4 = 18，则 6 = ______．
13.如图，在△ 中，点 在边 上，过点 的直线与 ， 所在的直线分别
交于点 ， ，且 是 的中点，若 = ， = ( , > 0) 1 2，则 +
的最小值为______．
14.已知小张、小王等 6 名同学需要到甲、乙、丙、丁 4 个单位去实习，要求每名同学只去一个单位实习，
每个单位都有学生参加实习，则在小张去丁单位实习的前提下，小王不去丁单位实习的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + 2 2 2 = 0．
(1)求 ；
(2)求 + 2 的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + ，其中 ， ∈ ．
(1)若曲线 = ( )在 = 0 处的切线方程为 + 2 = 0，求 ， 的值；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若曲线 = ( )的一条切线是 轴，求 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，底面 为直角梯形， =
2 = 2， ⊥ ， 与 相交于点 ，点 满足 = 2 ，且 ⊥ ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 的长度；
(3)若点 到平面 2的距离为 2 ，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题 和 ，乙同学做试题 ，已知甲同学做对试题 的概率为 0.6，
做对试题 的概率为 0.4，同时做对试题 和 的概率为 0.2；乙同学做对试题 的概率为 0.6，且甲、乙两名
同学做题结果互相不受影响．
(1)求甲同学做对试题 没有做对试题 的概率；
(2)求甲同学在没有做对试题 的条件下做对试题 的概率；
(3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为 ，求 的分布列和数学期望．
19.(本小题 17 分)
2 2 2
已知离心率 = 2 且焦点在 轴上的序列椭圆 ： + = 1( ∈
)，其中 2的一个焦点为(2,0).过 上
+1
一点 ( , )( > 0)作 的两条弦 、 ，交 于另两点 ， ，且△ 的内心在垂直于
轴的一条直线上．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求直线 的斜率；
(3)若 2 1 5为坐标原点，当△ 的面积为 2 时，直线 交 轴于( , 0)，证明： =1 2 < ． 1 6
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.21
13.32 + 2
14.1113
2 2 2
15.(1)由 2 + 2 2 = 2 ，得 = + 2 =
2
2 ，

所以 = 4．
(2) + 2 = cos( 3 4 ) + 2 =
2
2 +
2
2 + 2 = sin( +

4 )，
0 < < 3 因为 4，所以4 < + 4 < ，

所以当 + 4 = 2，即 = 4时， + 2 取得最大值 1．
16.(1)由函数 ( ) = 2 + ，导函数 ′( ) = 2 ，
根据题意得 ′(0) = 1，由于导函数 ′( ) = 2 ，
因此 ′(0) = 1 2 = 1，解得 = 1．
将 = 0 代入切线可得 = 2，所以 (0) = 1 + = 2，解得 = 1，
根据题意得 ′(0) = 1，由于导函数 ′( ) = 2 ，因此 ′(0) = 1 2 = 1，解得 = 1．
(2)导函数 ′( ) = 2 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，则 ( )在 上单调递增；
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当 > 0 时，由 ′( ) = 0，得 = ln(2 )，
当 ∈ (ln(2 ), + ∞)时， ′( ) > 0，所以 ( )在(ln(2 ), + ∞)上单调递增；
当 ∈ ( ∞, ln(2 ))时， ′( ) < 0，所以 ( )在( ∞, ln(2 ))上单调递减．
综上，当 > 0 时， ( )在(ln(2 ), + ∞)上单调递增，在( ∞, ln(2 ))上单调递减；
当 ≤ 0 时，函数 ( )在 上单调递增．
( ) = 0, 0
(3) ( , 0) 0 2 0 + = 0设切点为 0 ，则 ，即 ． ′( 0) = 0, 0 2 = 0
所以 0 = ln(2 )， > 0，
则 = 2 (2 ) 2 ，
设 ( ) = ，则 ′( ) = ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = (1) = 1，所以 ( )的值域为[ 1, + ∞)，
故 的取值范围为[ 1, + ∞)．
17.(1)证明：因为底面 为直角梯形，且 ⊥ ，
所以 // ， ⊥
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
过点 可以作 ⊥ 于点 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
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(2)由(1)可知 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
在梯形 中，由 // ，
得△ ∽△ ，
所以 ： = ： = 2：1 = ： ，
所以 // ，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以△ ∽△ ，
= 可得 ，
又因为 = 2 = 2，
2
所以 = 1 ，即 = 2．
(3)以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ( 2, 1,0)， ( 2, 2,0)， (0,2,0)，设 (0,0, )，
= ( 2, 0,0)， = (0,2, )， = (0,1,0)， = ( 2, 1, )， = ( 2, 1,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
⊥ 则 ，则 = 0 2 1 = 0
⊥
，即 ，
= 0 2 1 1 = 0
令 1 = 2，则 = (0, , 2)，

点 到平面 2的距离为 2 = |

| | | = ， 2+4
解得 = 2，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
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则 ⊥ ，则 = 0
2 = 0
⊥
，即 ，
= 0 2 2 2 + 2 2 = 0
令 2 = 1，则 = ( 2, 0,1)，
设 与平面 所成角为 ，
则 = |cos < , > | = | 2 23× 3 | = 3，
即 2与平面 所成角的正弦值为3．
18.(1)根据题意，设甲同学做对试题 为事件 ，甲同学做对试题 为事件 ，

则 ( ) = ( ) + ( )，而 ( ) = 0.2，

则 ( ) = ( ) ( ) = 0.4，
(2)根据题意， ( ) = 0.6， ( ) = 0.4， ( ) = 0.2，

则 ( ) = 1 ( ) = 0.4，

又 ( ) = ( ) + ( ) = 0.4，所以 ( ) = 0.2，

( | ) = ( ) 1故 = ；
( ) 2

(3)根据题意， ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) = 0.2，
甲、乙两名同学做对试题的题数之和为 ，则 可取的值为：0，1，2，3，
( = 0) = 0.2 × 0.4 = 0.08，
( = 1) = 0.6 × 0.4 + 0.2 × 0.6 = 0.36，
( = 2) = 0.6 × 0.6 + 0.2 × 0.4 = 0.44，
( = 3) = 0.2 × 0.6 = 0.12，
可得 的分布列为
0 1 2 3
0.08 0.36 0.44 0.12
数学期望 ( ) = 0 × 0.08 + 1 × 0.36 + 2 × 0.44 + 3 × 0.12 = 1.6．
19.(1) 2 因为椭圆的离心率 = +1 2 = ， +1
所以 +1 = 2 ．
因为椭圆 2的一个焦点为(2,0)，
所以 4 = 3 2 = 2 2 2，
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解得 2 = 4，
则 = 4 × 2 2 = 2 ；
(2)由(1)知 ： 2 + 2 2 = 2 +1，
因为△ 的内心在垂直于 轴的一条直线上，
所以 + = 0．
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立 ，消去 并整理得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2( 2 2 + 2 2 = 2 +1 2 ) = 0，
此时 = 16 2 2 8(1 + 2 2)( 2 2 ) > 0，
解得(2 2 + 1)2 2 > 0，
2
由韦达定理得 1 +
4
2 = 1+2 2 , =
2( 2 )
1 2 1+2 2 ，
又 ( 2 , 2 1 )，
1 2 1 + 2 2
1
所以 1 2 2
= 0，
2
即( 1 1 + 2 )( 2 2 ) + ( + 2 12 )( 1 2 ) = 0，
2
因为 1 + 2 =
4 , = 2( 2 )1+2 2 1 2 1+2 2 ，
所以( 2 + 2 1)( 2 1) = 0，
当 2 + 2 1 = 0 时， 过点 ，不符合题意；
2
所以 = 2 ；
(3) (2) 2证明：由 知直线 的方程为 = 2 + ，
此时 2 < 2 +1，
又 1 + 2 = 2 , 2 1 2 = 2 ，
所以| | = 1 + 2 ( 1 + )2 4 =
6 2 +2 22 1 2 2 2 ，
6
因为 到直线 的距离 = 3 | |，
1 2 2 2
所以△ 的面积 = | +1 2 2 2 | = 2 (2 ) = 2 = 2 2 ，
解得 2 = 2 ，
此时满足 > 0，
因为 > 0，
所以 = 2 , = 2 +1 ，
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1 1 1 1 1 2
2 1
2 = 2 +1 1 2 = 2 (2 +1 1) < 0，
1 1
则 2 1
< 2 ，
故 1 1 1 1 1 1 1 1 5 =1 2 ≤ 2 + + + + = + < ． 1 1 1 22 23 2 3 2 2 6
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