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2024-2025 学年云南省丽江第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 1,0,1,2,3}，集合 = {0,1,2}， = { 1,0,1}，则 ( ∩ ) =( )
A. { 1} B. {0,1} C. { 1,2,3} D. { 1,0,1,3}
2.“2 2 = 0”是“ = 0”的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设复数 满足(1 ) = 3 + ，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
4.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即
是高，“幂”即是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几
何体的体积相等．如图所示，扇形 的半径为 3，圆心角为 90°，若扇形 绕直线 旋转一周，图中阴
影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 27
5.已知圆 过抛物线 2 = 4 的焦点，且圆心在此抛物线的准线上．若圆 的圆心不在 轴上，且与直线 +
3 3 = 0 相切，则圆 的半径为( )
A. 6 2 B. 12 C. 7 2 D. 14
6.如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， = 2， = 1， 在 上，且 //平面 ，
则 点的坐标为( )
A. (1,1,1) B. ( 23 ,
2
3 , 1) C. (
2 2 2 2
2 , 2 , 1) D. ( 4 , 4 , 1)
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7.函数 = ( ≤ ≤ )的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数 ( ) = + + ln( | | 1)，则( )
A. ( 3 5) > ( 3) > ( 15 4 ) B. ( 3) > (
3 5) > ( 15 4 )
C. ( 15 4 ) > ( 3) > (
3 5) D. (3 5) > ( 15 4 ) > ( 3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知由样本数据( , )( = 1,2,3, …, 8)组成的一个样本，得到经验回归方程为 = 1.5 0.6 且 = 2，去
除两个异常数据( 2,7)和(2, 7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为 3，则( )
A.相关变量 ， 具有正相关关系

B.去除异常数据后，新的平均数 ′ = 2

C.去除异常数据后的经验回归方程为 = 3 4.8

D.去除异常数据后，随 值增加， 的值增加速度变小
10.设 是公比为 的等比数列{ }的前 项和，且 3， 9， 6成等差数列，则下列说法正确的有( )
A. 3 = 12 B. 3， 9， 6成等差数列
C. 3， 6， 9成等比数列 D. 6， 12， 9成等差数列
11.已知函数 ( ) = 2 ( 23 )，其中 为常数，且 ∈ (0,6)，将函数 ( )

的图象向左平移24个单位所得
的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是( )
A. = 2 B. ( 点 6 , 0)是 ( )的图象的一个对称中心
C. ( ) 在[ 6 , 2 ]上的值域为[ 3, 0] D. ( ) [0,
5
的图象在 6 ]上有四条对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知平面向量| | = 1，| | = 2，|2 + | = 2 3，则 在 方向上的投影为________．
13.已知等差数列{ }的前三项为 1， + 1，2 + 3，则此数列的通项公式为______．
14
2 2
.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点为 ，若以点 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双
曲线的一条渐近线交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，且线段 交双曲线于点 ， = 3 ，则双曲线的离
心率是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，∠ = 2 3， 是 上一点， ⊥ 且 = 1．
(1)若 = 3，求 ；
(2) 2 1求 + ．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，平面 1 ⊥侧面 1 1，且 1 = = 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若直线 与平面 1

所成的角为6，求锐二面角 1 的大小．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = 2 2 + 1 + ( ∈ )．
(Ⅰ)若 = 5 时，求函数 ( )的单调区间；
(Ⅱ)设 ( ) = ( ) 2 1，若函数 ( )在 ∈ [ , ]上有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2， 为椭圆短轴端点，
若△ 1 2为直角三角形且周长 2 2 + 4．
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(1)求椭圆 的方程；
2
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率的乘积为 2，求
取值范围．
19.(本小题 17 分)
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第 2 站、 、第 100 站，共 101 站，设棋子跳到
第 站的概率为 ，一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子
向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败)时，游戏结
束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6)．
(1)求 0、 1、 2，并根据棋子跳到第 站的情况，试用 2和 1表示 ；
(2)求证：{ 1}( = 1,2, , 99)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. = 2 3
14. 2
15.解：因为 ⊥ 且 = 1，所以在△ 中， 2 = 2 + 2 =
1 + 2，①
2
因为∠ = 3， ⊥ ，所以∠ = 6，
在△ 中， = 3， = 1，由余弦定理可得 =
2 + 2 2 cos 6 = 3+ 1 2 × 3 × 1 ×
3
2 = 1，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos 2 3，即(1 + )
2 = 3 + 2 + 2 3 12 =
2 + 3 + 3，②
由①②可得 = 3， = 2，
所以 = + = 1 + 2 = 3，
所以 = 3；
(2) ∠ = 2

因为 3，所以
= 3 ，

在△ 中，由正弦定理可得 = = sin( 3 )
，
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△ = 1 在 中， = = ，
所以 =

sin( 3 )
= sin( 3 )
，

所以 2 1
2 (3 )+ = + = 3 + ． = 3
2 1
所以 + 的值为 3
16.(1)证明：如图，取 1 的中点 ，连接 ，
∵ 1 = ，∴ ⊥ 1 ，
∵平面 1 ⊥侧面 1 1，且平面 1 ∩侧面 1 1 = 1 ，
在侧面 1 1内，
∴ ⊥平面 1 ，又 平面 1 ，
∴ ⊥ ，
∵三棱柱 1 1 1是直三棱柱，
∴ 1 ⊥底面 ，又 底面 ，
∴ 1 ⊥ ，
又 1、 为侧面 1 1内两条相交直线，
∴ ⊥侧面 1 1，
又 侧面 1 1，
∴ ⊥ ；
(2)解：连接 ，由(1)可知 ⊥平面 1 ， 平面 1 ，
则 是 在平面 1 内的射影， ⊥ ，
∴ ∠ 即为直线 与平面 1 所成的角，则∠ = 6，
∵ 1 ⊥底面 ，又 、 底面 ，
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∴ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
在等腰直角△ 1 中， 1 = = 2，且点 是 1 中点，

∴ = 1 1 = 2，且∠ = 2，∠ =

2 6， = 2 2，
过点 作 ⊥ 1 于点 ，连 ，
由(1)知 ⊥平面 1 ， 1 平面 1 ，
则 ⊥ 1 ，且 、 为平面 内两条相交直线，
∴ 1 ⊥平面 ，∵ 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ 平面 1 ， 平面 1 ，且平面 1 ∩平面 1 = 1 ，
∴ ∠ 即为二面角 1 的一个平面角，
△ = 1 = 2×2 2 2 6且直角 1 中， 2 3 = 3 ，1
∵ ⊥平面 1 ， 平面 1 ，
∴ ⊥ ，
又 = 2，∠ =

2，
∴ sin∠ = = 2 = 3 2 6 2 ，
3
且二面角 1 为锐二面角，
∴ ∠ = 3，即二面角 1 的大小为3．
17.解：(Ⅰ)当 = 5， ( ) = 2 2 5 + 1 + ，( > 0)，
则 ( ) = 4 5 + 1 = 4
2 5 +1
′ =
(4 1)( 1)，

由 ′( ) > 0 得 > 1 或 0 < < 14，此时函数单调递增，
由 ′( ) < 0 1得4 < < 1，此时函数单调递减，
1 1
即函数的单调递增区间为(1, + ∞)，(0, 4 )，单调递减区间为( 4 , 1)．
(Ⅱ) ( ) = ( ) 2 = 2 2 + 1 + 2 = 2 2
+ 1 ，
由 ( ) = 0 得 2 2 + 1 = ，
2
即 = 2 +1 ，
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2 1
设 ( ) = 2 +1 ， ∈ [ , ]，
(4 1) (2 2+1 ) 4 2函数的导数 ( ) = = 1 2
2 1+ = 2
2+ 2
′ ， 2 2 2
函数 ( ) = 2 2 + 2 在(0, + ∞)上为增函数，且当 = 1 时， (1) = 2 + 1 2 = 0，
当 1 < ≤ 时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )为增函数，
1
当 ≤ < 1 时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )为减函数，
即当 = 1 时， ( )取得极小值，极小值为 (1) = 2 + 1 = 3，
2 1
当 = 时， ( ) = 2
2+1 1 +1 ln
= 2 = (
1
，当 时， ) =
2 = 21 + 2 > ( )，

要使 = ( ) 1在， ∈ [ , ]上有两个交点，
得 3 < ≤ 2 ，
即实数 的取值范围是(3,2 ]．
18.(1)因为△ 1 2为直角三角形，
所以 = , = 2 ，
又△ 1 2周长为 2 2 + 4，
所以 2 + 2 = (2 2 + 2) = 2 2 + 4，
故 = 2, 2 = 4, 2 = 2，

2 2
所以椭圆 ： 4 +

2 = 1．
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
当直线 斜率不存在时，
1 2 1 = = 2 , 1 = 2, 1 = 2，1 2
=
2
1 1所以 2 = 2， 1
2 2
又 1 + 14 2 = 1，
解得 2 21 = 2, 1 = 1，
= 1 2 + 2 21 2 = 1 1 = 1；
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ： = + ，
= +
由 2 +
2 得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 4 = 0，
4 2 = 1
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由 > 0 得 16 2 2 4(1 + 2 2)(2 2 4) > 0，
即 2 < 4 2 + 2，
1 + 2 =
4
1+2 2 2 2
2 2 4 ， 1 2 = ( + )( + ) =
2 + ( + ) + 2 4 1 2 1 2 1 2 =
= 1+2
2 ，
1 2 1+2 2
1
由 1 2 = = ，1 2 2
2 4 2
1+2 2 = 1得 2 2
2 2 4 2，即 = 2 + 1，
1+2 2

= + = 1
2 2 2 2 1 2
所以 1 2 1 2 2 1 2 = 1+2 2 = 1+2 2 = 1 1+2 2 ∈ [ 1,1)．
所以 ∈ [ 1,1]．
19.解：(1)棋子开始在第 0 站是必然事件，∴ 0 = 1，
棋子跳到第 1 站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，
1 1
其概率为2，∴ 1 = 2；
棋子跳到第 2 站，包括两种情形，
1
①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为2；
1
②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为4，
∴ = 1 + 1 = 32 2 4 4；
棋子跳到第 (2 ≤ ≤ 99)站，包括两种情形，
1
①棋子先跳到第 2 站，又掷骰子出现偶数点，其概率为2 2；
1
②棋子先跳到第 1 站，又掷骰子出现奇数点，其概率为2 1，
故 = 1 + 1 2 1 2 2( = 2,3, , 99)，
棋子跳到 100 站只有一种情况，
1 1
棋子先跳到第 98 站，又掷骰子出现偶数点，其概率为2 98，∴ 100 = 2 98．
(2) 1 1 1证明：由(1)可得 1 = 2 1 + 2 2 = 2 ( 1 2)且 1 0 =
1
2，
∴数列{ 1}( = 1,2, , 99)
1
为等比数列，且公比为 2．
(3)由(2) 1 1 1可知 1 = 2 ( )
1
2 = ( 2 )
，
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∴ 99 = 0 + ( 1 0) + ( 2 1) + + (
1 1 2
99 98) = 1 + ( 2 ) + ( 2 ) + + (
1
2 )
99
1 ( 1)100
= 2 = 2 1
1+1 3
(1 2100 )．
2
∴ 2 1玩该游戏获胜的概率为3 (1 2100 )．
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