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2024-2025学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.从名教师和名学生中，选出人参加“我爱我的祖国”主题活动要求入选的人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是( )
A. B. C. D.
6.设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.设，，，设，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设两个随机变量、满足服从正态分布，服从二项分布，则( )
若随机变量，
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”
D. 样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强
11.已知二项式，则其展开式中( )
A. 的系数为 B. 各项系数之和为
C. 二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项是第或项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列的前项之和为，若，，则当______时，取得最大值．
13.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为______．
14.袋中有个红球，个黄球，个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且，椭圆的焦距为．
求椭圆的标准方程；
已知点不在轴上在椭圆上，求直线，的斜率之积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，求平面和夹角的余弦值．
18.本小题分
某学术平台引入智能检测系统对所收到的文本进行筛查检测系统对生成文本的识别准确率为，对人类撰写文本的识别准确率为检测系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“生成概率”得分分与文本长度字可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，已知该平台中的文本由生成．
求回归系数；
从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率精确到；
现从平台中随机抽取篇文本进行统计分析，填写列联表篇数四舍五入取整数：
文本真实性 检测结果 总计
识别为生成篇 识别为人类撰写篇
真实生成篇
真实人类撰写篇
总计
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
19.本小题分
已知函数，．
当时，讨论的单调性；
当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列；
由得，得，
所以，设数列的前项和为，
则，
，
由，得
，
所以，
故．
16.设椭圆半焦距为，则依题意有，所以，
因为椭圆左、右顶点分别为，，且，所以，则，
所以，
所以椭圆的方程为．
设，为点在椭圆上，所以，
由可得，，
则．
即直线，的斜率之积为．
17.解：证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
，，，
，，
平面，
又，平面，
，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
平面的一个法向量为，
易知为平面的一个法向量，
，
平面和夹角的余弦值为．
18.解：因为，所以回归系数；
记“由生成的文本”，“由人类撰写的文本”，
“被检测系统识别为人类撰写的文本”，
则由题意知，，
，，
由全概率公式知文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率：
，
即文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为；
由题意知，这篇文本中，真实生成的篇数：，
人类撰写的篇数：，
真实生成且检测系统识别为生成的篇数：，
人类撰写且检测系统识别为人类撰写的篇数：，
所以列联表为：
文本真实性 检测结果 总计
识别为生成篇 识别为人类撰写篇
真实生成篇
真实人类撰写篇
总计
零假设：“检测结果”与“文本真实性”无差异，
所以
，
故依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，
则可以判断“检测结果“与“文本真实性“有差异．
19.解：当时，的定义域为，
可得，
当时，恒成立，单调递增；
当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
因为，
可得，
若既有极大值又有极小值，
此时至少存在两个变号零点，
即至少有两个不同实数根，
设，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值，
当时，；当时，，
所以当，即时，有两个变号零点，且分别为极大值点和极小值点．
故的取值范围为
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