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2024-2025 学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 + .若复数1+ 是实数( 是虚数单位)，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2.在△ 中， 为 边上的中点，则 =( )
A. 1 12 + 2
B. 1 2
1 1 2 C. 2 +
D. + 1 2
3.4 名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是 0.6，则 4 人都没中靶的概率为( )
A. 0.256 B. 0.016 C. 0.0256 D. 0.036
4.已知向量 = (1, 3)， = (2,1)，则 在 上的投影向量为( )
A. ( 1 1 1 1 2 1 2 15 , 10 ) B. ( 5 , 10 ) C. ( 5 , 5 ) D. ( 5 , 5 )
5.中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘
1
之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长 ，高 ，那么圆锥的体积公式是 = 12
2 ，若一圆锥
的轴截面是边长为 2 2的等边三角形，据依所给公式计算其体积为( )
A. 2 3 2 63 B. 2 3 C. 3 D. 2 6
6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了 5 个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有
数据一定都不小于 20 的同学人数是( )
甲同学：中位数为 22，众数为 20
乙同学：中位数为 25，平均数为 22
丙同学：第 40 百分位数为 22，极差为 2
丁同学：有一个数据为 30，平均数为 24，方差为 10.8
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 + = ，则△ 为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.已知四棱锥 的底面 为正方形，平面 ⊥平面 ，且 = = 3 2， = 6，则四
棱锥 的外接球的体积为( )
A. 72 2 B. 27 6 C. 2432 D.
45 5
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从一批准备出厂的电视机中随机抽取 10 台进行质量检查，其中有 1 台是次品，若用 表示抽到次品这一
事件.则下列说法中不正确的是( )
A. 1 1事件 发生的概率为10 B.事件 发生的频率为10
C.事件 1发生的概率接近10 D.每抽 10 台电视机，必有 1 台次品
10.已知 为虚数单位，则下列说法正确的是( )

A.若复数 ∈ ，则 ∈
B.若复数 2 ∈ ，则 ∈
C.若复数 2 + 3 4+ ( 2 2 24) = 0，则实数 = 1 或 = 4
D.若复数 = + ( , ∈ )满足| + 1| = | |，则 + = 0
11.如图，在直棱柱 1 1 1 1中，底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， 1 = 2，点 为 1
的中点，动点 在侧面 1 1内(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ 1
B.若点 在线段 1 上，则四面体 1 的体积为定值
C.若 1 = 7，则点

轨迹的长度为3
D.若点 在直线 1 上，则 + 的最小值为 9 + 2 10
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这 50 名学生成绩的
75%分位数为______分.
13.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小
明需要在 9 个小格子中填上 1 至 9 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了 4 个小格子中的准确数字，
， ， ， ， 这 5 个数字未知，且 ， 为奇数，则 + > 5 的概率为______．
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9 7

4 5
14.已知四棱锥 的底面 是边长为 3的正方形， = 2 3， ⊥平面 ， 为线段 的
中点，若空间中存在平面 // 满足 ， ，记平面 与直线 ， 分别交于点 ， ，则 = ______，
四边形 的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,3)， = (1, 2)．
(1)求向量 ， 的夹角的余弦值；
(2)若 = (3, )，且 2 3 与 的夹角为钝角，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为 10 /片.由于升级了生产工艺，需检验
采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的 10 片药品作为样本，测得其有效成分含
量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．

(1)计算样本的平均数 和方差 2；
2
(2) 判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标(若| 10| > 3.25 10，则认为采用新工艺生产的药品
的有效成分不达标；反之认为达标)
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 1， = 2，
= 3. 为 1的中点，点 在 上，且 = 2．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ) 3在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 9 ，若存在求出点 的位置，不存在请说明理由．
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18.(本小题 17 分)
如图，在平面四边形 中， = 2 = 4 2 ，∠ = 2，∠ = 6．
(1)若 cos∠ = 53 ，求△ 的面积；
(2)若∠ = ∠ ，求 ．
19.(本小题 17 分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对( 1, 2)( 1, 2 ∈ )视为一个向量，记
作 = ( 1, 2).类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 = ( 1, 2)， = ( 3, 4)

的数量积记作 ，定义为 = 1 3+ 2 4；复向量 的模定义为| | = ．
(1)设 = (3,4)， = (1 , )，求复向量 与 的模；
(2)已知对任意的实向量 与 ，都有| | ≤ | || |，当且仅当 与 平行时取等；
①求证：对任意实数 ， ， ， ，不等式| + | ≤ 2 + 2 2 + 2成立，并写出此不等式的取等条
件；
②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式| | ≤ | || |仍然成立；
(3)当| | = | || |时，称复向量 与 平行.设 = (1 + , 2 )， = ( , )， ∈ ，若复向量 与 平行，求
复数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.86.25
13.23
14.2 6
15.(1)因为向量 = (1,3)， = (1, 2)，
所以 = 1 6 = 5，| | = 1 + 9 = 10，| | = 1 + 4 = 5，
5 2
所以向量 ， 夹角的余弦值为 cos < ， >= = = ．
| || | 10× 5 2
(2)因为 2 3 = (2,6) (3, 6) = ( 1,12)， = (3, )，
1
由夹角为钝角知，(2 3 ) = 3 + 12 < 0，解得 < 4，
由(2 3 )// ，得 = 3 × 12，解得 = 36，
因为 2 3 与 的夹角为钝角，
所以 的取值范围是( ∞, 36) ∪ ( 36, 14 )．
16.解：(1)根据题意，样本数据为：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1，
1
则其平均数 = 10 (9.7 + 10 + 9.7 + 9.6 + 9.7 + 9.9 + 10.2 + 10.1 + 10 + 10.1) = 9.9 ，
1
其方差 2 = 10 (0.04 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0 + 0.09 + 0.04 + 0.01 + 0.04) = 0.04，

(2)根据题意，由(1)的结论，样本的平均数 = 9.9，方差 2 = 0.04，
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2
则有| 10| = 0.1，而 3.25 = 0.65 0.6510 10 > 3 ，
2
则有| 10| < 3.25 10，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．
17.解：(Ⅰ)证明：在直角梯形中， ⊥ ， // ， = = 1，
= 2，
可得 = 2，
又 = 1， = 3，即有 2 + 2 = 2，
可得 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
可得 ⊥平面 ；
(Ⅱ)以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴，过 平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 (1,0,1) 1 1， (0,0,0)， 为 的中点，可得 ( 2 , 0, 2 )，
由 (0,1,0)， (1,0,1) 1 2 1 2，点 在 上，且 = 2，可得 ( 3 , 3 , 3 )，
1 1 1 1 2
又 (1,0,0)，则 = ( 2 , 0, 2 )，
= ( 3 , 3 , 3 )，
1 1
= ( , , ) = 0
2 1 + 1 = 0设平面 的法向量为 21 1 1 ，由
可得 ，
= 0 13 1 +
1
3 1 +
2
3 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = 1， 1 = 1，即 = (1, 1,1)．
3
在棱 上假设存在点 ，使得点 到平面 的距离为 9 ，

设 = (0 < < 1)，由 (2,1,0)
1+2 1
，可得 ( 1+ , 1+ , 1+ )，
= ( 11+ , 1+ , 1+ )，
1
|
|
则 到平面 的距离为 = 1+ 3| | 3 = 9 ，
解得 = 2，即有 为靠近 的三等分点．
18.解：(1) 5 2因为 cos∠ = 3 > 0，所以 sin∠ = 1 cos
2∠ = 3，
tan∠ = sin∠ 2所以 cos∠ = 5，
△ 2 2 2在 中，tan∠ = = = 5，
所以 = 10，
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所以△ 1 1的面积 = 2 = 2 × 10 × 2 2 = 2 5．
(2)设∠ = 5 ，则∠ = ∠ = 6 ，
因为∠ = 6，所以∠ = ∠ ∠ =
2
3 ，
在 △ 2 2中，cos∠ = ，所以 = cos∠ = ，cos(2 3 )
△ 在 中，由正弦定理知，sin∠ = sin∠ = sin∠ ，
2 2 = 4 2 = 所以
cos(2 )sin(5 ) sin
( )，
3 6 6
1 2
所以
( 1
=
+ 3 )(1 + 3 ) sin
，
2 2 2 2
= 2 × ( 3 sin2 1 cos2 ) = 3 sin2 1 (1 sin2 ) = 2 2 1即 4 4 2 2 2，
整理得 4 2 2 1 = 0，解得 = 1± 54 (舍负)，
代入( ) 2 2 2 2式得， = = = 2( 10 2).1+ 5
4
19.解：(1)因为 = (3,4)，所以 = 3 × 3 + 4 × 4 = 25，所以 的模为| | = 5；

因为 = (1 , )，所以 = (1 )(1 ) + = (1 )(1 + ) + ( ) = 2 + 1 = 3，可得 的模为
| | = 3．
(2)①设实向量 = ( , )， = ( , )，则 = + ，| | = 2 + 2，| | = 2 + 2，
而| | = | + |，根据已知| | ≤ | || |，当且仅当 与 平行时取等号，即 = 0，
所以| + | ≤ 2 + 2 2 + 2，当且仅当 = 0 时等号成立；

②因为 = ( 1, 2)， = ( 1, 2)，所以| | = | 1 1+ 2 2|，

由复数的三角不等式| 1 1 + 2 2| ≤ | 1 1| + | 2 2| = | 1|| 1| + | 2|| 2|，
由| | ≤ | || | | 1 2+ 1 ，得 2| ≤ 1，
21+
2
1
2
2+
2
2
所以 1 2 + 1 2 2 22| ≤ 1 + 1 2 + 22，

所以| || | + | || | ≤ | |2 + | |2 | |2 + | 21 1 2 2 1 2 1 2| = | || |，
综上所知，| | ≤ | || |
(3)②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件

= 是存在非负实数 ，使得 1 12 根据题意，2
若复向量 = (1 + , 2 )与 = ( , )平行，
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从 = (1+ ) 3 12 = ( 5 5 )，根据| 1| 1| + | 2|| 2| ≤ | |
2
1 + | 22| | 1|2 + | 22| |中等号成立一条件，

应有| 1|| 2| = | 2|| 1|，

| | = |2 || | 10则 |1+ | = 2 ，
3 1
结合 = ( 5 5 )，
( 3得 5 )
2 + ( 15 )
2 = 10 52 ，解得 = 2，

所以 = 5 ( 3 12 5 5 ) =
3
2
1
2 ，
3 1
所以 = 2 + 2 ．
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