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第十五章综合素质评价
[时间:60分钟 分值:100分]
一、选择题(每题3分，共24分)
1.巴黎奥运会完美闭幕，以下四个奥运项目图标分别表示艺术体操、马拉松、游泳、羽毛球、乒乓球，符合轴对称的图标是( )
2.点M(1,2)关于y轴对称点的坐标为( )
A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(2,-1)
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=50°,点D,E分别在BC,AC的延长线上,且CD=CE,则∠CED的度数是( )
A.40° B.70° C.75° D.80°
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A B C ，再作与△A B C 关于x轴对称的△A B C ,则点A的对应点A 的坐标是( )
A.(1,-3) B.(-1,3) C.(1,3) D.(-1,-3)
5.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6.“在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,要使△ABC为等腰三角形，求∠B的度数.”对于其答案,甲答:50°;乙答:80°;丙答:20°.则正确的是( )
A.只有甲答得对 B.甲、乙答案合在一起才完整
C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整
7.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=13,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.5.5
8.如图,在四边形ABCD中,∠C=40°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为( )
A.100° B.90° C.70° D.80°
二、填空题(每题3分，共15分)
9.如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA=OB，若剪刀张开的角为40°,则∠A=_____________°.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为______________.
11.如图,∠B=∠C,∠1=∠2,且BE=6,DE=2,则BC的长为____________.
12.如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上的点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且α=60°,OB=10,则BD=________________.
13.在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD=_____________.
三、解答题(共61分)
14.(8分)如图,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,且CE∥AB.求证:△ABC为等腰三角形.
15.(8分)如图①所示的是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm,双翼的边缘AC=BD=62cm,且与闸机侧立面夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
16.(8分)现计划新建一所学校P，A，B两村坐落在两条相交公路CD，CE旁(如图所示).学校P必须符合下列条件：①使其到两条公路CD，CE的距离相等；②到A，B两村的距离也相等.请确定该学校P的位置.(要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法)
17.(9分)如图，在平面直角坐标系中，点A(-3，2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',其中点B'的坐标为；
(2)在y轴上找一点P，使得△APC的周长最小(保留作图痕迹).
18.(12分)在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.
(1)如图①,若点Q是BC上一定点,BQ=6,PQ∥AC,求t的值;
(2)如图②,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动(当点P到达点B时，两点同时停止运动)，当t为何值时，△APQ为等边三角形.
19.(16分)在△ABC和△DCE中,CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α.
(1)如图①，连接AD，EB并延长，延长线相交于点O.
①求证:BE=AD;
②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果)；
(2)如图②,当α=45°时,连接BD,AE,过点C作CM⊥AE于M点,延长MC与BD交于点N.求证:N是BD的中点.
参考答案
一、1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D
8.A【点拨】如图,作A关于BC和CD的对称点A',A",连接A'A",交BC于点E,交CD于点F,则A'A"即为△AEF周长的最小值.
∵∠C=40°,∠B=∠D=90°,∴∠DAB=360°—∠B—∠C—∠D=140°.
∴∠AA'E+∠AA"F=180°-∠DAB=40°.
∵易知∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠AA"F,∴∠EAA'+∠DAF=40°.
∴∠EAF=140°-
二、9.70 10.55° 11.10 12.5 13.10°或100°
三、14.【证明】∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.
∵CE∥AB,∴∠A=∠ACE,∠B=∠DCE.∴∠B=∠A.∴△ABC为等腰三角形.
15.【解】如图,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F.
在Rt△ACE中,31(cm).
同理可得,BF=31cm.
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm,
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为31+12+31=74(cm).
16.【解】如图,点P即为所求.
17.【解】(1)如图,△A'B'C'即为所求.(4,-3)
(2)如图，点P即为所求.
18.【解】(1)∵△ABC是边长为9的等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=9.
∵PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°.
∴△BPQ是等边三角形.∴BP=BQ.
由题意可知AP=t,∴BP=9-t.
又∵BQ=6,∴9-t=6,解得t=3.∴当t的值为3时,PQ∥AC.
(2)①当点Q在边BC上时,如题图②,此时，△APQ不可能为等边三角形.
②如图，当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形,则AP=AQ.
由题意可知,AP=t,BC+CQ=2t,∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t.
∴t=18-2t,解得t=6.∴当t=6时,△APQ为等边三角形.
19.(1)①【证明】∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α,
∴易得∠ACB=180°-2α,∠DCE=180°-2α.
∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB.∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD.
②【解】∠AOB=2α.
(2)【证明】过点B作BP⊥MN,交MN的延长线于点P,过点D作DQ⊥MN于点Q,
则∠BPC=∠DQN=90°.
∵CM⊥AM,∴∠AMC=90°=∠BPC.
∵CA=CB,∠CAB=45°,∴∠CBA=∠CAB=45°.∴∠BCA=90°.
∴∠BCP=∠CAM.
在△CBP与△ACM中,
同理可得，
在与中，
∴N是BD的中点.
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