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阶段性测试题
等腰三角形的性质与判定
[时间:45分钟 分值:100分]
一、选择题(每题4分，共32分)
1.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是( )
2.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
3.如图，一次强台风中一棵大树在离地面5m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树折断前的高度为( )
4.等边三角形三条对称轴中任意两条的夹角(锐角)的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E,连接DE,则BE的长是( )
A.5 B.10 C.2.5 D.3
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形,AB=AC,BC∥x轴,若A(2,5),B(-1,1),则点C的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5)
7.如图，直线表示一条河，P，Q表示两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，分别向P，Q两村供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是( )
8.如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题5分，共20分)
9.如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB=__________.
10.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6cm,则AC=___________cm.
11.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行__________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处.
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是△ABC的一条中线,AD=4,点P,E分别是AD,AB上的一个动点,则BP+EP的最小值是_____________.
三、解答题(共48分)
13.(10分)母题教材P84习题T4如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.
(1)若∠BAC=106°,∠DAE=48°,求∠BAD的度数；
(2)求证:BD=EC.
14.(12分)如图,△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E,使CE=CD,过点D作DF⊥BE于F.
(1)求证:BD=DE;
(2)请猜想FC与BF间的数量关系，并证明你的猜想.
15.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AD平分∠CAB,延长AC至E,使CE=AC,连接DE.
(1)求证:DE=DB;
(2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由.
16.(14分)新考法化动为定法如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动.
(1)若点P的运动速度是1cm/s,点Q的运动速度是2cm/s,当Q到达点C时,P,Q两点都停止运动，设运动时间为ts，当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由.
(2)若它们的运动速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形
参考答案
一、1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D
8.C【点拨】如图,当AB为腰时,分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，可找出格点C的个数有2个;当AB为底时,作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个,∴点C的个数为2+1=3(个).
二、9.45° 10.6 11.4
12.【点拨】连接CE,CP,过点C作CF⊥AB,根据等腰三角形三线合一得到B，C关于AD对称，故BP+EP=CP+PE≥CE≥CF,进而根据等面积法,即可得解.
三、13.(1)【解】∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=106°,∠DAE=48°,
∴∠BAD=∠ADE-∠B=66°-37°=29°.
(2)【证明】如图,过点A作AF⊥BC于F.
∵AB=AC,AD=AE,∴BF=CF,DF=EF.∴BD=CE.
14.(1)【证明】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°.∴∠DBE=∠E.∴BD=DE.
(2)【解】BF=3FC.证明如下:
∵DF⊥BE,∠BCD=60°,∴∠DFC=30°.∴DC=2FC.
∵BD⊥AC,∠DBC=30°,∴BC=2DC.∴BC=4FC.∴BF=3FC.
15.(1)【证明】∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠CAB=60°.
∵AD平分∴DA=DB.
∵CE=AC,BC⊥AE,∴BC是线段AE的垂直平分线.∴DE=DA.∴DE=DB.
(2)【解】△ABE是等边三角形.理由如下：
∵BC是线段AE的垂直平分线，∴BA=BE.
又∵∠CAB=60°,∴△ABE是等边三角形.
16.【解】(1)△BPQ是等边三角形.理由如下:
由题意得,当t=2时,AP=2cm,BQ=4cm,∴BP=AB-AP=4cm,∴BP=BQ.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∴△BPQ是等边三角形.
(2)由题意得AP=tcm,BQ=tcm,∴BP=AB-AP=(6-t)cm.
如图①所示,
当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=90°-∠B=30°.
∴BP=2BQ.∴6-t=2t,解得t=2;
如图②所示,
当∠BPQ=90°时,同理可得∠BQP=30°,∴BQ=2BP.∴t=2(6-t),解得t=4.
综上所述,当t为2或4时,△PBQ是直角三角形.
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