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第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
基础提优题
1如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E，下列结论不一定成立的是 ( )
A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
2.下列说法中错误的个数是( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A.4 B.3 C.2 D.1
3.有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的( )
A.三边中线的交点处 B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处 D.三边上高的交点处
4.如图,在△ABC中,∠ABC=52°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB,BC于点M,N,若M在PA的垂直平分线上,N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A.104° B.116° C.128° D.142°
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC=2，则边AB的长的取值范围为______________.
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥BC于点E,连接AE.
(1)求证:△ABD≌△EBD;
(2)求证:BD垂直平分AE;
(3)若△ABC的周长为24,AB=8,求△CDE的周长.
综合应用题
7.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P,连接AP,则( )
8.如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.若∠OEB=46°,则 ( )
A.92° B.88° C.46° D.86°
9.如图,在△ABC中,点D在边BC上,连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是边AC的垂直平分线.若点M在直线EF上运动，连接DM,CM,则△CDM周长的最小值为( )
A.8 B.16 C.18 D.20
10.如图，在平面直角坐标系xOy中,点A(5,5),点B(1,1),点C(7,1),若点P到点A，B，C的距离相等，则点P的坐标为_____________.
11.如图,在△ABC中,D为AB中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥BC交BC于F,AC=8,BC=12,那么BF=______________.
12.如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(0,8)，点C在AB的垂直平分线上,且∠ACB=90°,则点C的坐标为____________.
13.如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线与BC交于点D,与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证:BF=CG;
(2)若AB=6,AC=8,求AF的长度.
创新拓展题
14.(1)如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AB+CD=AD;
(2)如图②为一家餐馆的平面区域示意图，AB，CF为走廊通道，BC为顾客用餐区域，其中∠B=∠C=90°.为了提高配菜及送餐效率，需规划一条直线型的机器人通道AD(其中点D在通道CF上)，并在通道AD上设置一个机器人送餐停靠点G，使得机器人从点G出发,分别沿送餐路线G→A→B与G→D→C送至接餐点B，C的路程相等，且都等于通道AD的长度.求作通道AD和机器人送餐停靠点G.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
参考答案
1.C 2.B 3.B
4.B【点拨】∵∠ABC=52°,∴∠BMN+∠BNM=180°一∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上,∴MA=MP,NP=NC,∴∠MAP=∠MPA,∠NPC=∠NCP,∴∠BMN=∠MAP+∠MPA=2∠MPA,∠BNM=∠NCP+∠NPC=2∠NPC,∴∠MPA+∠NPC=∠BMN+
5.【点拨】∵△BCD的周长为5,BC=2,∴BC+BD+CD=2+BD+CD=5,∴BD+CD=3.∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴AC=AD+CD=BD+CD=3.由三角形的三边关系得AC-BC6.(1)【证明】∵BD平分∠ABC,∠BAC=90°,DE⊥BC,∴AD=DE,∠BAD=∠BED=90°.
又∵BD=BD,∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL).
(2)【证明】∵△ABD≌△EBD,∴BA=BE.
又∵AD=DE,∴BD垂直平分AE.
(3)【解】由(2)得BE=BA=8.
∵AD=DE,∴△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+CA.
∵△ABC的周长为24,∴AB+BE+CE+CA=24,即8+8+CE+CA=24,
∴CE+CA=8,∴△CDE的周长为8.
7.B
8.B【点拨】连接BO,并延长BO到P,如图.
∵∠OEB=46°,⊥AB,∴∠ABC=44°.
∵分别为AB,BC的垂直平分线,∴OA=OB=OC,
易证得△AOF≌△BOF,△BOD≌△COD,∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.
∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2∠ABC=2×44°=88°.
故选B.
9.C【点拨】如图,连接AM,
∵EF是AC的垂直平分线,M在EF上运动,∴AM=MC,∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,∴要想△CDM的周长最小,即AM+DM的值最小,∴当A,M,D三点共线时,AM+DM的值最小,此时AM+DM=AD=13,∴△CDM周长的最小值为13+5=18.
10.(4,2)【点拨】∵点P到点A,B，C的距离相等，∴点P是线段AB，BC垂直平分线的交点，如图,故点P的坐标为(4,2).
11.10【点拨】如图所示,连接AE,过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G.
∵D为AB中点,DE⊥AB,∴DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE.
∵∠ACE+∠BCE=180°,∠ACE+∠ECG=180°,∴∠ECF=∠ECG.
∵EF⊥BC,EG⊥CG,∴EF=EG.
在Rt△EFC和Rt△EGC中,∴Rt△EFC≌Rt△EGC(HL),∴FC=GC.
在Rt△BEF和Rt△AEG中,∴Rt△BEF≌Rt△AEG(HL),∴BF=AG.
∵BF=BC-CF,AG=AC+CG,∴BC-CF=AC+CF,即12-CF=8+CF,解得CF=2,
∴BF=BC-CF=12-2=10.
12.(6,6)或(-2,2)【点拨】分两种情况:如图①所示,过点C作CD⊥OB于D,CE⊥x轴于E,则∠BCA=∠DCE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
∵点C在AB的垂直平分线上,∴BC=AC.
在△BCD与△ACE中,，∴△BCD≌△ACE(AAS),
∴AE=BD,CE=CD,易知OE=CD,OD=CE,∴OE=OD.
又∵OA=4,OB=8,∴4+AE=8-AE,∴AE=2,∴OE=OD=6,∴点C的坐标为(6,6).
如图②所示,过点C作CD⊥OB于D,CE⊥x轴于E.
同理可得△BCD≌△ACE,OE=CD,OD=CE,∴AE=BD,OE=OD,∴4+OE=8-OE,
∴OE=2,∴OD=2，∴点C的坐标为(-2,2).
综上可知，点C的坐标为(6,6)或(-2,2).
13.(1)【证明】如图,连接BE和CE.
∵DE所在直线是BC的垂直平分线,∴BE=CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,∴∠BFE=∠EGC=90°,EF=EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中,,∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),∴BF=CG.
(2)【解】由题意知∠AFE=∠AGE=90°,∠FAE=∠GAE.
在△AFE和△AGE中∴△AFE≌△AGE(AAS),
∴AF=AG.∵BF=CG,∴AB+AC=AF-BF+AG+CG=2AF.∵AB=6,AC=8,∴AF=7.
14.【解】(1)过点E作EF⊥AD于点F,如图①所示.
∵∠B=∠C=90°,∴EC⊥CD,EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC,∴EF=EC.
∵E是BC的中点,∴EC=EB,∴EF=EB.
∵EF=EC,ED=ED,∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL),∴DF=DC.
同理可得Rt△AEF≌Rt△AEB(HL),∴AF=AB,∴AB+CD=AF+DF=AD.
(2)AD即为所求通道，点G即为所求送餐停靠点，如图②所示.
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