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第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
基础提优题
1.已知△ABC是等腰三角形,若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是( )
A.40° B.100° C.40°或100° D.以上都不正确
2.如图,AB∥CD,在AD上截取AE=AB,连接BE,当∠B=65°时,∠D的度数是( )
A.65° B.55° C.50° D.45°
3.如图①是两名同学玩跷跷板的场景，如图②是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，O是AB的中点，AB绕着点O上下转动.当A端落地时,∠OAC=25°,则跷跷板上下可转动的最大角度∠A'OA是( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
4.“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑———“爱晚亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是( )
A.∠DAB=∠DAC B.AD⊥BD C.BC=2AD D.△ABD与△ACD的周长相等
5.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,∠A=40°,若以点B为圆心,BC长为半径画弧，交腰AC于点E，连接BE，则∠ABE=____________°.
6.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3,则腰AB的长为_______________.
7.小琳想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已知与求证补充完整，并完成证明过程.
已知:如图,在△ABC中,_____________,MC,NB分别为AB边与AC边上的中线，
求证:_________________.
综合应用题
8.如图，已知O是四边形AB-CD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是( )
A.70° B.110° C.140° D.150°
9.已知a，b，c分别是等腰三角形ABC三边的长,且满足ac=12-bc,若a,b,c均为整数,则这样的等腰三角形ABC有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.如图,在△ABC中,∠BCA=90°,CA=CB,AD为边BC边上的中线,CG⊥AD于点G,交AB于点F,过点B作BC的垂线交CG于点E.有下列结论:①△ADC≌△CEB;②DF=EF;③G为CF的中点;④F为EG的中点;⑤∠ADC=∠BDF.其中正确的结论为 ( )
A.①②③ B.①③④ C.①②⑤ D.③④⑤
11.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的三等分角仪能三等分任意一个角.如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是_____________°.
12.如图,在△ABA 中,∠B=20°,AB=A B,在A B上取一点C,延长AA 到点,使得.;在A C上取一点D,延长到点A ,使得.A D;…,按此做法进行下去,的度数为______________.
13.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点F,交BC的延长线于点E,连接DF,AE.
(1)求证:AC∥FD;
(2)∠B与∠CAE的大小是否相等 若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由.
创新拓展题
14.【探究与发现】如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在底边BC上,点E在AC上,连接AD,使AE=AD,连接DE.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC(点B,C除外)上运动时,试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系;
(3)【深入探究】若∠BAC≠90°,其他条件与题干相同,试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
参考答案
1.C 2.C 3.B 4.C 5.30
6.6【点拨】∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB.
若AB=2BC=6,则△ABC的三边长分别是6,6,3,符合题意,∴腰AB的长为6;
若BC=3=2AB,则AB=1.5,则△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3,
∵1.5+1.5=3,∴此时不能构成三角形,这种情况不存在.
7.综上所述，腰AB的长是6.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵CM是AB边上的中线,BN是AC边上的中线,
又∵AB=AC,∴MB=CN.又∵BC=CB,∴△MBC≌△NCB(SAS).∴CM=BN.
8.D【点拨】∵OA=OB=OC,∴∠ABO=∠BAO,∠OBC=∠OCB.
∵∠ABC=70°,∴∠AOB+∠BOC=360°-2(∠ABO+∠OBC)=220°.
∴∠AOC=360°-220°=140°.
∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°,∠ADC=70°,∴∠DAO+∠DCO=150°.
故选D.
9.B【点拨】.
∵12=1×12=2×6=3×4,a+b>c,∴或或
当时，三边长分别为1,6,6;
当时，三边长分别为2，3，3；
当时,三边长分别为3,2,2或3,3,1.
综上,这样的等腰三角形ABC一共有4个.故选B.
10.C【点拨】∵∠BCA=90°,CG⊥AD,∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°.
∴∠E=∠ADC.
∵BE⊥BC,∴∠EBC=∠ACD=90°.
在△ADC和△CEB中,∴△ADC≌△BDF（SAS），
故①正确;∴CD=BE.
∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴BE=CD=BD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴易得.
在△BEF和△BDF中,∴△BEF≌△BDF（SAS）.
∴∠E＝∠BDF,EF=DF,故②正确;
假设G为CF的中点,∴GF=GC.
又∵GD=GD,∠DGF=∠DGC=90°∴△DGF≌△DGC(SAS).∴DF=DC.
又∵CD=BD,∴DF=BD.∵∠DBF=45°,∴∠DBF=45°=∠BFD,∴∠FDB=90°.
∵∠E=∠BDF,∴∠E=90°,此与∠EBC=90°相矛盾,故假设错误,即G不是CF的中点,故③错误;
在Rt△DFG中,DF>FG,∵EF=DF,∴EF＞FG,∴F不是EG的中点,故④错误;
∵∠E=∠ADC,∠E=∠BDF,∴∠ADC=∠BDF,故⑤正确.故正确的有①②⑤.
11.50【点拨】设∠O=x°,∵OC=CD,∴∠O=∠CDO=x°.
∵CD=DE,∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°,
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°.∴x°=25°.∴∠DCE=2x°=50°.
点方法 (1)等边对等角的使用前提是必须在同一个三角形中；
(2)利用三角形的外角是解决此类问题的关键；
(3)牵涉到角的倍分运算，尽量使用方程思想解答.
【点拨】∵在△ABA 中,∠B=20°,AB=A B,
A C,∠BA A是△A A C的外角,40°;
同理可得,.
∴以An为顶点的锐角的度数为
当n=2025时,
13.(1)【证明】∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD.∵AD的垂直平分线交AB于点F,∴AF=DF.∴∠FDA=∠BAD.∴∠FDA=∠CAD.∴AC∥FD.
(2)【解】∠B=∠CAE.证明如下:∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AE=DE.∴∠ADE=∠EAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠EAD=∠CAD+∠CAE,∠CAD=∠BAD,∴∠B=∠CAE.
14.【解】(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=45°.
∵∠BAD=60°,∴∠DAE=30°.
又∵AD=AE,∴∠AED=75°.∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)猜想:∠BAD=2∠CDE.探究如下:设∠BAD=x,则
又∵AE=AD,∴∠AED=45°+x.
又∵∠C=45°,∴∠CDE=x.∴∠BAD=2∠CDE.
(3)设∠CDE=x,∠C=y.∵AB=AC,∴∠B=∠C=y.易知∠AED=y+x.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=y+x.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∴y+∠BAD=y+x+x.∴∠BAD=2x.
∴∠BAD=2∠CDE.
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