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第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
基础提优题
1.下列能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60° B.∠A=50°,∠B=80°
C.AB=AC=2,CB=4 D.AB=3,BC=7,周长为13
2.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.如图,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC,已知AB=3,AC=4,BC=4.5,则△AMN的周长为( )
A.6 B.7 C.7.5 D.8.5
4.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40 n mile的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为________________.
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形.下列作法正确的有___________个.
7.如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠,AD交EC'于点G,若折叠后
(1)求∠CEF的度数;
(2)求证:△EFG是等腰三角形.
综合应用题
8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
11.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，3)，B(3,0),若点C在x轴上,且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A.3 B.4 C.7 D.8
12.如图,△ABC中,AC=DC=3,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,E为AC的中点,连接BE交AD于点O,则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为_________________.
13.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=100°,D是AB边上一点(不与A,B重合)，连接CD，以CD为边作等腰三角形CDE,CD=CE,且∠DCE=100°,CB与DE交于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,证明△DCF是等腰三角形.
创新拓展题
14.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P,Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts.
(1)BP=_____________cm.(用含t的式子表示)
(2)当点Q在边BC上运动时，运动几秒后，△PQB是等腰三角形
(3)当点Q在边CA上运动时，运动多少秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形
参考答案
1.B 2.D
3.B【点拨】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形,从而可得MO=MB,NO=NC，然后根据等量代换可得，△AMN的周长=AB+AC，从而进行计算即可解答.
4.D 5.2 6.3
7.(1)【解】∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC.由折叠的性质，得
(2)【证明】∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC.
∴∠GFE=∠CEF.由(1)得∠CEF=∠C'EF.
∴∠GFE=∠C'EF.∴GE=GF,即△EFG是等腰三角形.
8.B
9.A【点拨】由题意可得DG是∠ADC的平分线.∴∠ADG=∠CDG.
∵AD∥BC,∴∠ADG=∠CGD.∴∠CDG=∠CGD.∴CG=CD=3.∴BG=CB-CG=5-3=2.
10.B
11.B【点拨】∵A(0,3),B(3,0),∴OA=OB=3.如图,以点A为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C ，得到以A为顶点的等腰三角形ABC ,以点B为圆心,AB长为半径画圆，交坐标轴于点C ，C ，得到以B为顶点的等腰三角形ABC ，等腰三角形ABC ，作AB的垂直平分线，交坐标原点于点C ，得到以C 为顶点的等腰三角形ABC .综上所述，符合条件的点C一共有4个.
12.【点拨】如图,延长BD,AC交于点H.∵AD⊥BH,
∴∠ADB=∠ADH=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠HAD.∴∠ABD=∠H.∴AB=AH.
又∵AD⊥BH,∴BD=DH.∵DC=CA,∴∠CDA=∠CAD.
又∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°,∴∠CDH=∠H.∴CD=CH=AC.
∵E为AC的中点
S△ADH－S△CDH＝S△ACD.
∵AC=CD=3,∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为
13.【证明】(1)∵∠ACB=100°,∠DCE=100°,
∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)∵AC=BC,∠ACB=100°,
同理∠CDE=40°.
∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠A=∠CBE=40°.
又∵AD=BF,∴BE=BF.∴∠BFE=70°.∴∠DFC=∠BFE=70°.
∵在△DCF中,∠CDE=40°,∠DFC=70°,
∴△DCF是等腰三角形.
14.【解】(1)(16-t)
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ,
由题意得BP=(16-t)cm,BQ=2tcm,∴16-t=2t,解得
∴运动s后，△PQB是等腰三角形.
(3)分情况讨论：①如图①所示，
当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，则CQ=BQ，
∴∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°.
∴∠A=∠ABQ.∴BQ=AQ.
∴CQ=AQ=10cm.∴BC+CQ=22cm.∴t=22÷2=11;
②如图②所示，当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时,则CQ=BC,
∴BC+CQ=24cm.∴t=24÷2=12.
综上所述,运动11s或12s后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.
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