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第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
15.3.2等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
基础提优题
1.如图,直线l ∥l ,△ABC是等边三角形,∠2=68°,则∠1的大小为( )
A.68° B.62° C.52° D.42°
2.由于木质的衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可,如图①,衣架杆OA=OB=30cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A，B两点间的距离是( )
A.15cm B.30cm C.60cm D.以上都不对
3.如图,△ABC是等边三角形,D,E,F分别是AB,BC,CA边上一点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是_______________.
4.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1,3,则线段AB的长为___________cm.
5.如图,六边形ABCDEF的六个角都是120°,边长AB=1cm,BC=3cm,CD=3cm,DE=2cm，则这个六边形的周长是___________cm.
6.如图,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的外部,且DA=DC,连接BD交AC于点G.
(1)求证:BD垂直平分AC;
(2)在BC上取点E,连接DE,交AC于点F,若EB=ED,试判断△CEF的形状,并说明理由.
综合应用题
7.如图是由若干个相同的小等边三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是6),点B的坐标是(0,—3),由此可知点C的坐标是( )
8.如图,△ABC是等边三角形,点P在△ABC内,PA=4,将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P AC,则P P的长等于( )
A.4 C.2 D.
9.如图,已知∠MON=30°,点A ,A ,A ,…在射线ON上,点B ,B ,B ,……在射线OM上,△A B A ,△A B A ,△A B A ,…均为等边三角形，若,则△A,B,A 的边长为( )
A.16 B.32 C.64 D.128
10.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=1.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
11.如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE相交于点O,M,N分别是线段AD,BE的中点.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:△MNC是等边三角形.
创新拓展题
12.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：
已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上,连接ED,EC,且ED=EC.
(1)【特殊情况，探索结论】如图①，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论；
(2)【特例启发，解答题目】如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论.
(3)【拓展结论，设计新题】如图③，在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,连接ED,EC,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=3,求CD的长.
参考答案
1.C 2.B
3.等边三角形【点拨】∵△ABC为等边三角形,且AD=CF,∴AF=BD,∠A=∠B=60°.在△ADF与△BED中∴△ADF≌△BED(SAS).
同理证得△ADF≌△CFE(SAS).∴△ADF≌△BED≌△CFE.∴DF=ED=EF.
∴△DEF是一个等边三角形.
4.2【点拨】∵直尺的两对边相互平行,∴∠ACB=
易知∠A=60°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°.
∴∠A=∠ABC=∠ACB.∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=3-1=2(cm).
5.15【点拨】如图,分别作AB,CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，P.
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°,∴它的每一个外角是60°.
∴易得△APF,△BGC,△EDH,△PGH都是等边三角形.
∴GB=GC=BC=3cm,EH=DH=DE=2cm.∴PG=PH=GH=3+3+2=8(cm).
∴FA=PF=PA=8-3-1=4(cm).∴EF=8-4-2=2(cm).
∴六边形ABCDEF的周长为1+4+2+2+3+3=15(cm).
6.(1)【证明】∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC.又∵DA=DC,∴点B,D在线段AC的垂直平分线上.∴BD垂直平分AC.
(2)【解】△CEF为等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵DE=BE,∴∠BDE=∠DBE=30°.
∴∠CEF=∠BDE+∠DBE=60°.∴∠CFE=180°-
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF.∴△CEF为等边三角形.
7.A【点拨】由点B的坐标是(0,-3)可知,每个小等边三角形的高是3，由点A的坐标是可知，每个小等边三角形的边长为2.
易知点C是由点6)向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度得到的.∴点C的坐标是(3,9).
8.A【点拨】∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠CAB=60°.
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P AC,∴△CP A≌△BPA.
∴AP =AP,∠CAP =
即∠PAP =∠CAB=60°.∴△APP 是等边三角形.PA=4.
9.D【点拨】∵△A B A 是等边三角形,∴∠B A A =
又∵∠MON=30°,∴易得30°.∴OA =A B =A A =2.
∵△A B A 是等边三角形,∴∠B A A =60°,B A =A A .
又∵∠MON=30°,∴易得
同理可证
以此类推,△A B A 的边长为2n,∴△A B A 的边长为
10.D【点拨】如图,过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,连接MN.
∵OP平分∠AOB,∴PM=PN,∠PMO=∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°.∴此时△PMN是等边三角形.
若M向MO方向移动,N向NB方向移动,且∠MPM =∠NPN ,
则
连接M N ,在△PMM 和△PNN 中,
∴△PMM ≌△PNN (ASA).∴PM =PN .
∴△M PN 是等边三角形.∴存在无数个满足条件的等边三角形PMN.
同理,当M向MA方向移动,N向NO方向移动时，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN.综上，满足条件的△PMN有无数个.
11.(1)【证明】∵△ABC,△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE.
(2)【解】∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE是等边三角形,∴∠CED=∠CDE=60°.
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=120°.∴∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°
(3)【证明】∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,AD=BE.
又∵M,N分别是线段AD,BE的中点,
在△ACM和△BCN中,∴△ACM≌△BCN.∴CM=CN,∠ACM=∠BCN.
∵∠ACB=60°,∴∠ACM+∠MCB=60°.∴∠BCN+∠MCB=60°,即∠MCN=60°.
∴△MNC是等边三角形.
12.【解】(1)AE=DB.
(2)AE=DB.【点拨】过点E作EF∥BC,交AC于点F.∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,AB=AC.∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°.
∴△AEF为等边三角形.∴AE=EF=AF.∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
又∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC(SAS).∴DB=EF.
∴AE=DB.
(3)如图,作EF∥BC,交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CEF,
易知△AEF是等边三角形，∴AE=EF=3,BE=CF,∠ABC=∠DBE=∠F=60°.
∵ED=EC,∴∠D=∠DCE.∴∠D=∠CEF.
∵∠DEB=180°-60°-∠D,∠ECF=180°-60°-∠CEF,∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC.∴DB=EF=3.
又∵BC=1,∴CD=BC+DB=4.
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