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第十五章 对称轴
章末复习
【核心考点整合】
考点1 轴对称图形
1.2024年10月30日凌晨4点27分，神舟十九号发射圆满成功.“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章.下列航天图标(不考虑字符与颜色)为轴对称图形的是 ( )
2.如图,△ACD和△ECB都是△ACB的轴对称图形，对称轴分别是直线AC，BC,若AD⊥BE,则∠DCE=_______°.
考点2 坐标系中的轴对称
3.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A 关于x轴对称，点A与点A 关于y轴对称.已知A (1，2),则点A 的坐标是( )
A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2)
4.圆周率π是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.如图，在平面直角坐标系中，对π进行循环往复的轴对称变换.若π第一笔画上有一点A，其坐标为(m，n)，则经过第2025次变换后所得的点A的坐标是( )
考点3 线段垂直平分线
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线与AB交于点D,与AC交于点F,BF=6,CF=2,则AC的长度为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6.如图,在△ABC中,AB=AC,尺规作图:(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D;(2)作射线AD,连接BD,CD.则下列结论中正确的有_________.(填序号)
①∠BAD=∠CAD;
②△BCD是等边三角形；
③AD垂直平分BC;
④S四边形ABDC=AD·BC.
考点4 等腰三角形的性质与判定
7.如图,在△ABC中,AB=AC.过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D,连接BD.
(1)求证:△ABD为等腰三角形;
(2)若∠BDC=20°,求∠ADC的度数.
考点5 等边三角形的性质与判定
8.如图，已知点B是线段AC上的动点(不与A，C重合)，在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,连接AE交BD于G,连接CD交BE于F,交AE于H,连接BH,GF,下列结论:①AG=DF;②△BFG是等边三角形;③HB平分∠AHC;④当B为AC的中点时,BF⊥CD.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②③④ C.③④ D.①②④
9.已知，△ABC为等边三角形.
(1)如图①,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.
①依题意将图②补全；
②求证:PA=PM.
考点6 含30°角的直角三角形的性质
10.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是____________.
【思想方法整合】
思想1 分类讨论思想
11.如图,在△ABC中,AB=21cm,AC=12cm,∠A=60°,点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts，当△APQ为直角三角形时，t的值为( )
A.5 B.3 C.2.5或3 D.3或214
思想2 方程思想
12.如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,分别交AB,AC于点D,E,连接BE.若BE=BC,则∠C的度数为( )
A.78° B.75° C.72° D.60°
思想3 转化思想
13.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为____________.
参考答案
1.D
2.45 【点拨】如图.
∵△ACD和△ECB都是△ACB的轴对称图形,∠ABE.∵AD⊥BE,∴∠AOB=90°.在△ABO中,∠AOB+∠BAD+∠ABE=180°,
∴∠BAD+∠ABE=90°,∴∠BAC+∠ABC=45°.
由对称的性质可得∠ACD=∠BCE=∠ACB=135°,∴∠DCE=135°×3-
3.D【点拨】∵点A与点A 关于x轴对称,点A 的坐标为(1,2),∴点A的坐标为(1,-2).∵点A与点A 关于y轴对称,∴点A 的坐标为(-1,-2).
4.C【点拨】∵点A第1次变换后在第四象限,点A第2次变换后在第三象限，点A第3次变换后在第二象限，点A第4次变换后在第一象限，即点A回到原始位置，∴每4次变换为一个循环组，依次循环.∵2025÷4=506……1,∴经过第2025次变换后所得的点A与第1次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为(m，-n)，
5.B
6.①②③【点拨】根据题中的作图方法可得BC=BD=CD,∴点D在BC的垂直平分线上,△BCD是等边三角形,故结论②正确;∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∴AD垂直平分BC，故结论③正确；设AD与BC交于点O,∴O为BC的中点.∴AO是△BAC的中线.又∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,故结论①正确;由题意得，四边形ABDC的面积AD，故结论④错误.
7.(1)【证明】∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCB.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB.∴∠ADC=∠ACD.∴AD=AC.
又∵AB=AC,∴AD=AB.∴△ABD是等腰三角形.
(2)【解】设∠ADC=x°,
由(1)可得∠ACD=∠DCB=∠ADC=x°,∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°.
∵∠BDC=20°,∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=(x+20)°.
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB=(x+20)°.
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,∴∠BDC+∠ABD+∠ABC+∠DCB=180°.
∴20+x+20+2x+x=180,解得x=35.∴∠ADC=35°.
8.B【点拨】根据等边三角形的性质可证明△ABE≌△DBC(SAS),再证明△ABG≌△DBF(ASA),即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作BM⊥AE于M,BN⊥CD于N,则∠AMB=∠DNB=90°,证明△AMB≌△DNB(AAS),可证BM=BN,再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④.
9.(1)【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.
又∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°.
(2)①【解】补全图形如图所示.
②【证明】过点A作AH⊥BC于点H,如图.
∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°.
∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP.∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C,即∠PAB=∠QAC.
∵点Q,M关于直线AC对称,∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM.∴∠MAC=∠PAB,AP=AM.
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=∠BAC=60°.
又∵AP=AM,∴△APM为等边三角形.∴PA=PM.
10.4m
11.D【点拨】根据题意,先表示出AP,AQ的长度,当△APQ为直角三角形时,则∠AQP=90°,∠APQ=30°或∠APQ=90°,∠AQP=30°,再根据30°角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可.
12.C【点拨】设∠A=α.∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.
∴∠EBA=∠A=α.∴∠CEB=∠EBA+∠A=2a.
∵BE=BC,∴∠C=∠CEB=2α.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2a.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴α+2α+2α=180°.
∴α=36°.∴∠C=2α=72°.
13.8【点拨】如图,连接AM,AD,AD交EF于点M'.
∵△ABC是等腰三角形,点D为底边BC的中点,∴AD⊥BC,BD=
4×AD=12,∴AD=6.
∵腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F,
∴AM=BM.∴BM+MD=AM+MD.
∴当点M与点M'重合时,BM+MD有最小值,最小值为6,
∴△BDM的周长的最小值为AD+BD=6+2=8.
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