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第十五章 轴对称
专题 等腰三角形的三线合一
类型1 利用“三线合一”求角的度数
1、如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD.
(1)求证:∠ADB=∠BAC;
(2)若E为BC的中点,∠DAE=36°,求∠EAC的度数.
类型2 利用“三线合一”求线段的长
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长.
类型3 利用“三线合一”证明角相等
3.如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于点点E在△ABC外.
求证:∠ACE=∠B.
类型4 利用“三线合一”证明线段相等
4.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF.求证:DE=DF.
类型5 利用“三线合一”证明角的倍分关系
5.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D.求证:∠BAC=2∠DCB.
类型6 利用“三线合一”证明线段的垂直关系
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E为CB上一点,且CE=AC,EF⊥CD,垂足为F,连接AE.
(1)求证:AD=CF;
(2)点G为AE上一点,连接GD,GF,若∠1=45°,求证:GD⊥GF.
类型7 利用“三线合一”证明线段的倍分关系(构造三线法)
7.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD.
类型8 利用“三线合一”证明线段的和差关系
8. 如图①、图②,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=8,AD为∠BAC的平分线,E是边BC上一动点(点E不与点B,C重合),连接AE,过点C作CF⊥AE于点F,交射线AD于点G.
(1)当点E在点D的左侧运动时(如图①所示)，求证:△BAE≌△ACG;
(2)若AD=4,DG=3,求BE的长;
(3)当点E的位置如图②所示时,过点A,B,C分别作AM⊥AE,BP⊥AE,CF⊥AE,且AM=AF,点P在AE的延长线上,连接BM,BM与AE交于点H,写出HF,PF与CF之间的数量关系.
参考答案
1.(1)【证明】∵AB=AC,AD=BD,∴∠C=∠B,∠DAB=∠B.
又∵∠ADB=180°-∠B-∠DAB=180°-2∠B,∴∠ADB=∠BAC.
(2)【解】∵AB=AC,E为BC的中点,∴∠AED=90°.
又∵∠DAE=36°,
又∵∠ADE=∠DAB+∠B=2∠B,∴∠B=27°,即∠C=∠B=27°.
∵∠AED=90°,∴∠EAC=∠AED-∠C=90°-27°=63°.
2.【解】∵△BDC的周长=BD+BC+CD=24,且BC=10,∴BD+CD=14.
又∵AD=BD,∴AC=AD+CD=BD+CD=14.
又∵AB=AC,∴AB=14.∵AD=DB,DE⊥AB,
3.【证明】如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,∴∠CAD＝ ∠BAC.
又∵∠CAE=∠BAC,∴∠CAD=∠CAE.
∵AD⊥BC,CE⊥AE,∴∠AEC=∠ADC=90°.
在△ACD和△ACE中∴△ACD≌△ACE.∴∠ACD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACD.∴∠ACE=∠B.
2.【证明】如图,连接AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,∠BAC=90°,∴AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠B.∴BD=AD.
又∵BE=AF,∴△BDE≌△ADF.∴DE=DF.
5.【证明】过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=90°.∴∠BAE+∠B=90°.
∵AB=AC,AE⊥BC,∴AE平分∠BAC.∴∠BAC=2∠BAE.
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.∴∠DCB+∠B=90°.∴∠BAE=∠DCB.
∴∠BAC=2∠DCB.
6.【证明】(1)∵CD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ADC=∠EFC=90°.∴∠ECF+∠CEF=90°
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠ECF=90°.∴∠ACD=∠CEF,
又∵AC=CE,∴△ADC≌△CFE.∴AD=CF.
(2)如图,取AE的中点H,连接FH,DH,CH,则AH=EH.
∵AC=CE,∠ACB=90°,∴∠CAE=∠CEA=45°,CH⊥AE,CH平分∠ACE.
∴∠CHA=90°,∠ACH=∠ECH=45°=∠CAE=∠CEA.∴AH=CH.
∵△ADC≌△CFE,∴∠CAD=∠ECF.∴∠CAD-∠CAE=∠ECF-∠HCE,即∠HAD=∠HCF,
又∵CF=AD,∴△AHD≌△CHF.∴∠CHF=∠AHD,FH=DH.
∴∠CHF+∠AHF=∠AHD+∠AHF,即∠FHD=∠CHA=90°.∴∠DFH=∠FDH=45°.
∵且H,G都在AE上,∴点H,G重合.
∴∠FGD=90°.∴GD⊥GF.
7.【证明】如图,延长BA,CD交于点E.
∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,∴∠1=∠2,∠BDC=∠BDE=90°.
又∵BD=BD,∴△BDC≌△BDE.∴DC=DE.∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,∴∠2=∠ACE.
又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,∴△ABF≌△ACE.∴BF=CE.∴BF=2CD.
8.(1)【证明】∵∠BAC=90°,CF⊥AE,∴∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠ACG=90°.
∴∠BAE=∠ACG.
∵AD为∠BAC的平分线,AB=AC,∠BAC=90°,∴易得
在△BAE和△ACG中,∴△BAE≌△ACG(ASA).
(2)【解】当点E在点D的左侧时,如图①,
∵△BAE≌△ACG,∴BE=AG.
∵AD=4,DG=3,∴AG=AD-DG=1.∴BE=AG=1;
当点E在点D的右侧时，如图②，
∵AB=AC,∠BAC=90°,AD为∠BAC的平分线,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD.
又∵CF⊥AE,∴∠G+∠FAG=∠G+∠DCG=90°,∴∠FAG=∠DCG.
∴∠FAG+∠BAD=∠DCG+∠ACD,即∠BAE=∠ACG.
在△BAE和△ACG中,∴△BAE≌△ACG(ASA).∴BE=AG.
∵AD=4,DG=3,∴AG=AD+DG=7.∴BE=AG=7.
综上所述，BE的长为1或7.
(3)CF=2(HF+PF).理由如下:
∵BP⊥AE,CF⊥AE,∴∠APB=∠CFA=90°.
∵∠BAP+∠CAE=∠CAE+∠ACF=90°,∴∠BAP=∠ACF.
在△ABP和△CAF中.∴△ABP≌△CAF(AAS).∴BP=AF,AP=CF.
∵AM=AF,∴BP=AM.
∵AM⊥AE,∴∠MAE=∠BPH=90°.
在△BPH和△MAH中,∴△BPH≌△MAH(AAS).∴PH=AH.
∴AP=AH+PH=2PH=2(HF+PF).∴CF=2(HF+PF).
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