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第十五章 轴对称
专题 等腰三角形中的分类讨论思想
类型1 腰和底不确定时分类讨论
1.一个等腰三角形的两条边长分别为m和n，且满足则等腰三角形的周长等于_____________.
2.已知等腰三角形ABC的周长为18,BC=8,若△ABC≌△DEF,则△DEF的边DE的长为( )
A.8 B.2或5或7 C.5或8 D.2或5或8
3.用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，求该等腰三角形底边的长.
类型2 顶角和底角不确定时分类讨论
4.已知在等腰三角形ABC中,∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.50° B.65° C.50°或65° D.50°或80°或65°
5.在一个等腰三角形中，有两个内角的度数比是2：5，则它的三个内角可能是 ( )
A.30°,30°,120° B.50°,50°,80°
C.75°,75°,30° D.80°,80°,20°
6.已知在等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少20°，求该三角形顶角的度数.
类型3 高的位置不确定时分类讨论
7.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角等于( )
A.15°或75° B.30° C.150° D.150°或30°
8.在等腰三角形中有一个角为40°，求腰上的高与底边的夹角的度数.
9.已知的高AD，BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.
类型4 线段垂直平分线与腰线所在直线的交点位置不确定时分类讨论
10.已知,在△OPQ中,OP=OQ,OP的垂直平分线交OP于点D,交直线OQ于点E,∠OEP=50°,求∠POQ的度数.
类型5 腰上的中线分周长不确定时分类讨论
11.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，求BC的长.
类型6 分割成的等腰三角形情况不确定时分类讨论
12.如图,已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
13.过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数.
参考答案
1.14或16 2.D
3.【解】设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x=20，解得x=4
此时三角形的三边长分别为4cm，8cm，δcm，配组成二角形；
若较长的边为底边，较短的边为腰，则2x+x+x=20，解得x=5,
此时三角形的三边长分别为5cm,5cm,10cm,不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形.
综上所述，该等腰三角形底边的长为4cm.
4.D 5.C
6.【解】设∠B=x,则∠A=2x-20°.
分三种情况讨论：
①当∠B是顶角，∠A是底角时，解得x=44°,∴顶角的度数是44°;
②当∠B是底角，∠A是顶角时，解得x=50°，∴顶角的度数是
③当∠B与∠A都是底角时,x=2x-20°,解得x=20°,∴顶角的度数是
综上所述，该三角形顶角的度数是44°或80°或140°.
7.A【点拨】当高在三角形内部时，如图①，
∵∠ABD=60°,BD⊥AC,∴∠A=30°.∴∠ABC=∴底角为75°；
当高在三角形外部时，如图②，
∵∠ABD=60°,BD⊥AC于点D,∴∠BAD=30°.
∴底角是15°.综上,底角是75°或15°.
8.【解】当40°角为底角时,
∵CA=CB,∴∠CAB=∠B=40°.
过点A作AD⊥CB,交BC的延长线于点D,如图①,∴∠ADC=90°.∴∠DAB=90°-∠B=50°;
当40°角为顶角时，
过点A作AG⊥CB,交BC于点G,如图②,
∴∠AGB=90°.∴∠GAB=90°-∠B=20°.
综上，腰上的高与底边的夹角为20°或50°.
9.【解】①当∠ABC为锐角时,如图①,∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
又∵BF=AC,∴△BDF≌△ADC.
∴BD=AD.∴∠ABD=45°,即∠ABC=45°;
②当∠ABC为钝角时,如图②,同理可证△BDF≌△ADC,
∴BD=AD.∴∠ABD=45°.∴∠ABC=135°.
综上所述,∠ABC的度数为45°或135°.
10.【解】①如图①,当△OPQ为锐角三角形时,
∵DE垂直平分OP,∴∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE.
又∵∠OEP=50°,∴∠OED=25°.
,即∠POQ=65°.
②如图②，当△OPQ为钝角三角形时，
∵DE垂直平分OP,∴∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE.
又∵∠OEP=50°,∴∠OED=25°.
综上,∠POQ的度数为65°或115°.
11.【解】∵BD为AC边上的中线,
又∵AB=AC,∴AB=2AD.
分两种情况,①当AB+AD=24cm时,2AD+AD=24cm,解得AD=8cm.∴CD=8cm.
∵BC+CD=30cm,∴BC=30-CD=22cm.
②当AB+AD=30cm时,2AD+AD=30cm,解得AD=10cm.∴CD=10cm.
∵BC+CD=24cm,∴BC=24-CD=14cm.
综上,BC的长为14cm或22cm.
12.B【点拨】如图所示,当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG时,都能得到符合题意的等腰三角形.
13.【解】分两种情况讨论：
①如图①,
当BC=BD=AD,AB=AC时,设∠A=α.
∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=α.∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α.
又∵BC=BD,∴∠C=∠CDB=2α.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2a.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴α+2α+2α=180°,解得α=36°，
即此时原等腰三角形的顶角为36°；
②如图②,
当AD=BD,BC=DC,AB=AC时,设∠A=β.
∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=β.∴∠BDC=∠A+∠ABD=2β.
又∵BC=DC,∴∠CBD=∠BDC=2β.∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3β.
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3β.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴β+3β+3β=180°,解得
即此时原等腰三角形的顶角为
综上，原等腰三角形顶角的度数为36°或(
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