第十五章 轴对称 专题 轴对称及其性质的六种应用(含答案)

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第十五章 轴对称 专题 轴对称及其性质的六种应用(含答案)

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第十五章 轴对称
专题 轴对称及其性质的六种应用
应用1 轴对称的性质在计算中的应用
1.如图,点P在∠AOB的内部,点C和点P关于OA对称,点P关于OB的对称点是点D,连接CD交OA于点M,交OB于点N,连接OC,OD,PM,PN.
(1)①若∠AOB=60°,求∠COD的度数;
②若∠AOB=n°,则∠COD=___________°(用含n的代数式表示);
(2)若CD=4,则△PMN的周长为
应用2 轴对称的性质在证明线段与直线关系中的应用
2.如图,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠ABC=125°,∠A+∠D=155°,AB=3cm,EH=4cm.
(1)试写出EF,AD的长度.
(2)求∠G的度数.
(3)连接BF,线段BF与直线MN有什么关系
应用3 轴对称的性质在辨析中的应用
3.如图,O为△ABC内部一点,OB=3,P,R分别为点O关于直线AB,BC的对称点.
(1)请指出当∠ABC为多少度时,会使得PR的长度等于6,并说明理由.
(2)在(1)的基础上,请判断当∠ABC不是你指出的角度时,PR的长度是小于6还是大于6 并说明理由.
应用4 轴对称的性质在判断最短距离中的应用
4.(1)如图①,草原上两个居民点A,B在河流l的同侧,一辆汽车从A出发到B,途中需要到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短 在图中画出该点,并说明理由.
(2)嘉淇同学秋游时,发现一位农民伯伯正在浇地,这块地的外形是如图②所示的△ABC,其中边BC在一条水渠上,这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠,把水引到顶点A处,且水渠把地分成面积相等的两部分.
①这条水渠是△ABC的_______________(填“中线”“角平分线”或“高”);
②请在图②中画出水渠的位置,并说明水渠把三角形地分成面积相等的两部分的理由.
应用5 轴对称的性质在图案设计中的应用
5.如图,点A,B,C都在正方形网格的格点上,图中5个点D均在格点上,则能与点A,B,C组成轴对称图形的点D的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.如图,三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上,请在图①②③④中分别画出另一个格点三角形,使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称,并画出对称轴.
应用6 轴对称的性质在折叠中的应用
类型1 折叠中的空间认识
7.将一张正方形纸片按如图所示折叠,再把折叠后的纸片剪去阴影部分,展开后得到的图形是( )
类型2 折叠中的相关计算
8.如图,将一张长方形纸片分别沿着EP,FP折叠,使点B落在点B',点C落在点C'(PB'在PC'左边).若则∠EPF=_____________.
9.在学习“生活中的轴对称”之后,小颖对图形的变换进行操作实践.P为长方形纸片ABCD的边AB上一点,点E,M分别为AD,CD上的动点,如图,先把纸片ABCD沿PE翻折,点A翻折至点F,再把纸片沿PM翻折,点B翻折至点H.当点E,M运动时,若∠FPH=34°,求∠APE+∠BPM的值.
参考答案
1.【解】(1)①连接OP.∵点C和点P关于OA对称,∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB的对称点是点D,∴∠BOD=∠BOP.
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=2×60°=120°.
②2n
(2)4【点拨】∵点C和点P关于OA对称,∴CM=PM.∵点P关于OB的对称点是点D,∴DN=PN.∵CD=4,∴CM+MN+DN=4.∴PM+MN+PN=4,即△PMN的周长为4.
2.【解】(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,AB=3cm,EH=4cm,
∴EF=AB=3cm,AD=EH=4cm.
(2)∵∠ABC=125°,∠A+∠D=155°,
.易得∠G=∠C=80°.
(3)∵对称轴垂直平分对应点的连线,点B和点F为对应点,∴直线MN垂直平分线段BF.
3.【解】(1)当∠ABC=90°时,PR=6.
理由:如图,连接PB,RB.
∵P,R分别为点O关于直线AB,BC的对称点,
∴PB=OB=3,RB=OB=3,∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO.又∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°.∴∠PBR=180°.
∴点P,B,R三点共线.∴PR=PB+RB=6.
(2)PR的长度小于6.理由如下:
∵∠ABC≠90°,∴由(1)易知点P,B,R不在同一直线上.∴PB+BR>PR.
又∵PB+BR=3+3=6,∴PR<6.
4.【解】(1)如图①,作点A关于的对称点A',连接A'B交l于点C,点C即为所求.
理由如下:
∵点A与点A'关于直线l对称,∴AC=A'C.∴AC+BC=A'C+BC=A'B.
又∵两点之间线段最短,∴此时.最小,即AC+BC最小.
(2)①中线
②如图②,AE为水渠,即BC边上的中线.
理由:作AD⊥BC于点D.
∵BC边上的中线为AE,∴BE=CE.
又∵
∴水渠AE把三角形地分成面积相等的两部分.
5.B【点拨】如图,
则点D的个数是4.
6.【解】如图所示.(答案不唯一)
7.A 8.97°
9.【解】当PF在PH左边时,由折叠的性质可得∠APE=∠FPE,∠BPM=∠HPM.
∵∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM+∠FPH=180°,
∴∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM=180°-34°=146°.∴∠APE+∠BPM=73°.
同理,当PF在PH右边时,可得∠APE+∠BPM=107°.
综上,∠APE+∠BPM的值为73°或107°.
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