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第十五章 轴对称
综合与实践 最短路径问题
活动 目标 1.1.会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题； 2.会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案.
活动 准备 1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题； 2.了解施瓦兹三角形.
活动1牧民饮马问题 1.原理 如图，在直线上取一点C，使AC+BC最小. 解：如图①，连接AB交直线于点C，点C即为所求，根据为两点之间线段最短； 如图②，作点B关于直线的对称点B'，连接AB'交直线l于点C，点C即为所求. 2.应用七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A
活动2牧民饮马问题的拓展 1.原理 (1)一定两动 如图①,在OM和ON上分别取点E,F,使PE+EF+PF最短. 作法:分别作点P关于OM和ON的对称点P',P",连接PP",分别交OM和ON于点E,F,点E,F即为所求. (2)两定两动 如图②,在OA,OB上分别取点E,F,使ME+EF+NF+MN最短. 作法:分别作点M,N关于OA,OB的对称点M',N',连接M'N',分别交OA,OB于点E,F,点E,F即为所求. (3)三动点 已知：如图③，在△ABC中，在三边上分别取D，E，F，使△DEF的周长最小，作出相应图形并写出作法. 作法:作AE⊥BC,垂足为E,作点E关于AB,AC的对称点E',E",连接E'E",分别交AB,AC于点D,F,点D,E,F即为所求,
活动2牧民饮马问题的拓展 2.应用 (1(1)如图①,已知.，点M是角内任意一个点，OM=5，若OA上存在点P，OB上存在点Q使得△MPQ的周长最小，则最小值为_____________. ( (2)如图②,在△ABC中,，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，的大小是____________. ( (3)如图③,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F分别是AB,BC,AC边上的动点,则DE+EF+DF的最小值是__________.
活动3造桥选址问题 1.原理
问题 作法 最小值
已知两点A，B，直线m∥n,在直线m,n上分别取点M，N，使MN⊥m,且AM+MN+NB最小. 将点A沿与直线m，n垂直的方向平移至点A′，使AA′的长等于直线m，n之间的距离，连接A'B，交直线n于点N,过点N作NM⊥m于点M,连接AM. 的最小值为的长.
2.应用 如图，已知A，B两点在直线l的同侧，在l上找两点C和D(CD的长度为定值a，MN=a)，使得CD+DB最短.(不要求写画法)
参考答案
活动1应用
【解】如图，作点B关于OP的对称点C，连接AC交OP于点T,连接BT,小明按B-T-A的路线跑，去捡T点位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A.
活动2应用
(1)5【点拨】如图,作点M关于OA的对称点E,关于OB的对称点F,连接EP,FQ,OE,OF,EF.
由轴对称的性质可知PE=PM,MQ=FQ,∠POM=∠POE,∠QOM=∠QOF,OE=OM=OF,∴C△PQM=PM+PQ+QM=PE+PQ+FQ≥EF,且当E,P,Q,F四点共线时,C△PQM最小,即为EF的长.∵∠AOB=∠POM+∠QOM=30°,∴∠EOF=2∠AOB=60°.∴△EOF为等边三角形.∴EF=OE=OM=5,∴△PQM的最小周长为5.故答案为5.
(2)90°【点拨】如图所示,作点E关于AM的对称点E',作点D关于BC的对称点D'，连接D'E',分别交BC,AC于点N',M',连接E'M,ND',EM',N'D,
∴四边形DEMN的周长=DE+EM+MN+ND=
∴点M与M'重合,点N与N'重合时,四边形DEMN的周长最小.
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°.
在△CM'N'中,∵∠1+∠3+∠C=180°,∴∠1+∠3=
∴∠AE'M'=∠AEM',∠N'DP=∠N'D'P,
∴∠EM'N'=
.
∴当四边形DEMN的周长最小时,∠DNM+∠EMN的大小是90°.
(3)4.8【点拨】如图,作D关于直线AC的对称点M,作D关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,FM.
则DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD,∴CD=CM=CN.
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,∴∠MCD+∠NCD=180°.∴M,C,N共线.
∴DF+EF+DE=FM+EF+EN≥MN=CM+CN=2CD,
∴当M,F,E,N共线时,且CD⊥AB时,DE+EF+DF最小,最小值为2CD.
∵CD⊥AB,
∴DE+EF+DF的最小值为4.8.
活动3应用
【解】如图所示，点C，D即为所求.
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