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2025年安徽省安庆市宿松县宿松五校联考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．今年1月至3月，我省重点铁路项目加快实施建设，累计完成投资80亿元，占全年计划的19％，同比增长87.8％，实现良好开局，80亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．“工”字型零件如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【 】
A． B． C． D．
7．周末，小明、小华两人一起到图书馆去查阅资料，两人约定7时到8时之间在图书馆门口会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去．若小明到图书馆门口，两人能会面的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ）
A． B． C． D．
9．某快递公司受新一次疫情影响，4月份业务量比3月份下降了，由于采取了科学的防控措施，5月份疫情明显好转，该快递公司5月份业务量比4月份增长了，若设该快递公司3月份业务量为a，则5月份的业务量为（ ）．
A． B．
C． D．
10．在△EFG中，∠G＝90°，，正方形ABCD的边长为1，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝(k≠0)交于点A，过点C(0，2)作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D(0，4)，则k的值为 ．

14．如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）则面积是 ，
（2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ．
三、解答题
15．计算：（3﹣π）0﹣cos45°+（）﹣1﹣|﹣4|．
16．在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，的顶点均在格点上．
(1)把向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，请画出，并写出点的坐标；
(2)请画出关于x轴对称的，并求出的面积．
17．如图，是的直径，点、在圆上，且，连接、．
(1)尺规作图，保留作图痕迹：过点作的切线，分别与、的延长线交于点、；
(2)若，，求的半径．
18．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式 ；
(2)写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示），并证明；
19．观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可）
20．如图，在四边形ABCD中，，，以BC为直径的半与边AD相切于点E．
(1)求证：；
(2)若，求DE的长．
21．为落实“双减”政策，某校随机调查了名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组 时间（时） 人数





(1)分别写出、的值并补全条形统计图；
(2)若该校有学生人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人？
(3)学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从组的人中随机抽取人进行谈话，已知组中七、八年级各人，九年级人，则抽取的人都是九年级学生的概率为多少？
22．如图，在等边的，边上分别任取一点，，且，、相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)若的周长为，求出的最小值．
23．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”．
(1)小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式．
(2)求a，b的值，及二次函数的顶点坐标．
(3)将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中y的最大值和最小值．
2025年安徽省安庆市宿松县宿松五校联考三模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B B C A D C
1．B
【详解】解：的绝对值是．
故选B．
2．A
【详解】解：
，
故选：A．
3．C
【详解】解：80亿=8000000000=8×109，
故选：C．
4．C
【详解】解：由几何体可知，左视图是
故选：C．
5．B
【详解】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=100°，
∴∠ACD=10°，
∵∠AOD与∠ACD都对着，
∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．
故选∶B．
6．B
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线，
∴b＜0．
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∴的图象经过第一、三、四象限；反比例函数图象在第一、三象限，只有B选项图象符合．
故选B．
7．C
【详解】解：∵约定见面的时间是60分钟，能会面的时间是30分钟，
∴两人能会面的概率是．
故选：C．
8．A
【详解】解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，，
，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
9．D
【详解】解：3月份业务量为a，4月份业务量比3月份下降了，
4月份业务量为，
快递公司5月份业务量比4月份增长了，
5月份的业务量为．
故选：D．
10．C
【详解】∵，∠G＝90°，
∴由勾股定理得EF＝5，
①当0≤t≤1时，如图1，
则AE＝t＝AH，
S＝×AE×AH＝t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，；
②当1＜t≤2时，如图2，设EG交CD于点H，BC交EG于点G，
则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，
S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1﹣×CH×CG＝，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，S=1；
③当2＜t≤3时，如图3，
S＝S正方形ABCD＝1，
④当3＜t≤4时，如图4，设AB、BC分别交FG于点N、M
则AF=4 t=AN
∴BN=BM=AB AN=1 (4 t)=t 3
∴S＝S正方形ABCD﹣S△BMN＝1﹣×BM×BN＝
函数为开口向下的抛物线，且当t=4时，S=
故选：C．
11．
【详解】根据题意得，
解得．
故答案为：．
12．
【详解】解：由题意知从第3个数开始，每个数均为前两个数的和,则第7个数是，第8个数是，第9个数是，
故答案为．
13．．
【详解】∵OA的解析式为：y＝，
又∵AO∥BC，点C的坐标为：（0，2），
∴BC的解析式为：y＝ ，
设点B的坐标为：（m，m+2），
∵OD＝4，OC＝2，BC∥AO，
∴△BCD～△AOD，
∴点A的坐标为：（2m，m），
∵点A和点B都在y＝ 上，
∴m（）＝2m m，
解得：m＝2，
即点A的坐标为：（4， ），
k＝4×＝，
故答案为．
14．
【详解】解：（1）点P，N是，的中点，
，
点P，M是，的中点，
，
，
，
，
，即，
，
为等腰直角三角形，
故，
故答案为：；
（2）由（1）可知为等腰直角三角形，
则，
最大时，面积最大，即最大时，面积最大，
点D在BA的延长线上，
，
，
∴△PMN面积的最大值；
故答案为：．
15．﹣2．
【详解】解：（3﹣π）0﹣cos45°+（）﹣1﹣|﹣4|
＝1﹣×+2﹣4
=1-1+2-4
＝﹣2．
16．(1)，见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以向左平移4个单位，再向上平移2个单位后各点坐标为，，，作图如下：
则即为所求．
（2）因为，
所以关于x轴对称后各点坐标为，，，作图如下：
所以=．
17．(1)详见解析
(2)半径为
【详解】（1）如图所示，直线即为所求；
（2）取的中点，连接、，
，
，
，
，
，
连接，
为的切线，
，
，
，
∽，
，
，
，
是的直径，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
的半径为．
18．(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）∵第个等式：，
第个等式，
第个等式，
第个等式，
∴第个等式为：．
故答案为：．
（2）由（1）得，第个等式：，
证明如下：
，
等式左边右边，
故答案为：．
19．(1)
(2)第n个等式为：，验证见解析
(3)
【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确；
（3）
，
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接OE，
∵半与AD相切于点E，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接BE，
∵，，
∴，
∵，
∴．
设，则，
∵BC为的直径，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
即DE的长为．
21．(1)图见解析，，
(2)估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有人
(3)
【详解】（1）解：由图形知，
则．
补全图形如下．
（2）解：（人）．
答：估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有人．
（3）解：用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C、D表示九年级学生，画树状图如图所示．
共有种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有种情况，
抽取的两名学生都来自九年级的概率为．
22．(1)见解析；
(2)
(3)的最小值为3
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：是等边三角形，
．
，
．
，
．
如图，过点作交于，
，，
，，
，
，
，
．
（3）解：的周长为，
．
如图，以为边作等边三角形，连接，
，．
，
，
点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设与圆交点为，与交点为，即为的最小值．
，，
垂直平分，
，
．
在中，
，
，，
，即的最小值为3．
23．(1)
(2)，顶点坐标为
(3)的范围内，当时，y取得最大值；当时，y取得最小值-3
【详解】（1）解：由题意，设直线l的解析式为y=kx+b，
将“潇洒点”（﹣1，1）（2，﹣2）代入，得：k=-1，b=0，
∴直线l的解析式为y=﹣x；
（2）解：令，即，
由题意，得，即①，
又∵抛物线经过点，
∴，即②，
由①②解得，
此时抛物线解析式为，顶点坐标为；
（3）解：由题意，得抛物线的解析式为．
∵是上的两个“潇洒点”，
∴，且是方程的两根，
∴
∴．
则，
∴，解得．
∴即的两根为，
在的图象上，顶点坐标为，
∵-1＜0，图象开口向下，
∴在的范围内，当时，y取得最大值，
当时，y取得最小值﹣3．

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