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5.2三角函数的概念题型总结
【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】
【例1】角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】已知角的终边过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．4或 B． C． D．或
【变式1.3】已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（ ）
A． B．4 C． D．
【题型2 由单位圆求三角函数值】
【例2】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．－4和 B． C．－4 D．1
【变式2.1】如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】已知角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 三角函数值在各象限的符号】
【例3】已知，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式3.1】若，且，则角是第（ ）象限的角.
A．一 B．三 C．一或三 D．二或四
【变式3.2】已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【变式3.3】若，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【题型4 诱导公式一的应用】
【例4】的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】（ ）
A． B． C． D．
【变式4.3】下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【题型5 同角三角函数的基本关系】
【例5】已知，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【变式5.1】已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.3】已知为第四象限角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 正、余弦齐次式的计算】
【例6】设，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式6.1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6.3】已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
【题型7 三角函数式的化简、求值】
【例7】已知，则（ ）
B． C．1 D．
【变式7.1】已知是第三象限角，则化简结果为（ ）
B． C． D．
【变式7.2】已知是第二象限角.
(1)化简； (2 )若，求的值.
【变式7.3】已知
(1)求的值 (2)求的值.
【题型8 三角恒等式的证明】
【例8】求证：
(1)； (2).
【变式8.1】求证：＝ .
【变式8.2】求证：
(1)； (2)； (3)．
【变式8.3】）求证：
(1)； (2).
跟踪训练
一、单选题
1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．求的值（ ）
A．4 B．0 C．1 D．3
3．若，则为（ ）
A．第一 二象限角 B．第二 三象限角 C．第一、三象限角 D．第一 四象限角
4．已知是三角形的内角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知角的终边过，则（ ）
A．角为第二象限角 B．
C．当时， D．的值与的正负有关
11．已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知点是角α的终边上一点，则 ．
13．已知点在第四象限，则角的终边在第 象限．
14．已知为第三象限角，且，则的值为 ．
四、解答题
15．已知角的终边经过点 ，其中.
(1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值.
16．已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点．
(1)求以射线为终边的角的正弦值和余弦值； (2)求以射线为终边的角的正切值．
17．在平面直角坐标系中，点在角的终边上.
(1)求的值： (2)求的值.
18．（1）化简：. （2）求证：.
19．已知函数，其中为第三象限角且
(1)求的值； (2)求的值.
5.2三角函数的概念题型总结答案
【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】
【例1】【解答过程】已知角的终边经过点，所以.
【变式1.1】【解答过程】设，
由三角函数的定义得，整理可得，
因为，所以，所以.故选：D.
【变式1.2】【解答过程】因为，所以，
又角的终边经过点，所以，
又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A.
【变式1.3】【解答过程】由题意可知：，且，可得，解得.
【题型2 由单位圆求三角函数值】
【例2】【解答过程】由三角函数的定义可得，则，
整理可得，因为，解得，
【变式2.1】【解答过程】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得，所以.故选：C.
【变式2.2】【解答过程】因为角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则，
则.
【变式2.3】【解答过程】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，
所以，，.
【题型3 三角函数值在各象限的符号】
【例3】【解答过程】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，由，可得角的终边位于第三象限.
【变式3.1】【解答过程】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角，所以为第三象限的角，即，，∴，，∴为第二或第四象限的角.
【变式3.2】【解答过程】由，得，则且，又，
因此且，是第二象限角，即，
则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
【变式3.3】【解答过程】由，，得，，
因此，所以角是第四象限角.
【题型4 诱导公式一的应用】
【例4】【解答过程】由诱导公式可得，．
【变式4.1】【解答过程】.故选：A.
【变式4.2】【解答过程】.
【变式4.3】【解答过程】对于①：，
对于②：，
对于③：，
因为，所以，即，
对于④：因为，所以.
【题型5 【解答过程】将 两边平方，得，
即，所以，所以
【变式5.1】【解答过程】由两边平方得，
即，而，故.
所以，而解得，
所以，
【变式5.2】【解答过程】因为，所以，又，
联立上述式子,又，所以，
解得，故
【变式5.3】【解答过程】∵为第四象限角，∴，
∵，则，即，故，
所以，∴，∴.
【题型6 正、余弦齐次式的计算】
【例6】 【解答过程】因为，所以.
【变式6.1】【解答过程】由 .
所以 .
【变式6.2】【解答过程】因为，
则，所以，则，
所以．
【变式6.3】【解答过程】由三角函数的定义可得，所以.
【题型7 三角函数式的化简、求值】
【例7】【解答过程】原式，
因为，则，所以上式.
【变式7.1】【解答过程】 ，
因为是第三象限角，所以，所以原式化简结果为.
【变式7.2】【解答过程】（1）∵为第二象限角，∴
∴
.
（2）由，得，∴，
所以.
【变式7.3】【解答过程】（1）因为，所以.
（2）因为，
又，所以.
【题型8 三角恒等式的证明】
【例8】【解答过程】（1）证明：左边=
=右边.
（2）证明：左边= =右边.
【变式8.1】【解答过程】证明：∵右边＝＝＝
＝＝＝左边，∴＝.
【变式8.2】【解答过程】（1）.
故成立.
（2）
故成立.
（3）
. 故成立.
【变式8.3】【解答过程】（1）
.所以原式成立.
（2） .所以原式成立.
跟踪训练答案
一、单选题
1．【解答过程】由题意，且，解得，所以.
2．【解答过程】.
3．【解答过程】因为，则或，所以为第一象限或第四象限角.
4．【解答过程】∵是三角形的内角，∴，即，
∵，∴，∴.
5．【解答过程】由题意及图示可知，点的纵坐标为，则点的横坐标为，所以.
6．【解答过程】由可得，解得.
7．【解答过程】因为角α的终边在函数的图象上，所以，
=
8．【解答过程】由，两边平方得：，
则，因，故有，故A正确；
由上已得：，故，
由可得，于是，
又，联立解得：，故，故B,D正确，C错误.
二、多选题
9．【解答过程】由题意角的终边经过点，且，可知，
解得，故A正确，B错误；所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误.
10．【解答过程】由，角的终边在第四象限，显然A错误；由定义，，B项正确；
当时，，所以，所以C项正确；
因为，与的正负无关，所以D项错误，
11．【解答过程】对于A，由，则，化简得，故A正确；
对于B，由，，则，即，
，，故B正确；
对于C，由，解得，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
三、填空题
12．【解答过程】点即，依题意，.
13．【解答过程】因点在第四象限，故有，
由①可得，的终边落在第一或第三象限；
由②可得，的终边落在第二或第三象限，或落在轴的非正半轴上.
综上可知，角的终边在第三象限. 故答案为：三.
14．【解答过程】因为为第三象限角，所以，
所以， 则，
又，所以,解得，又，所以，
四、解答题
15．【解答过程】（1）因为，所以当，
当
（2）若为第二象限角，则，所以.
16．【解答过程】（1）由题意可知点坐标为，
所以，.
（2）由题意可得点坐标为，所以.
17．【解答过程】（1）由于点在角的终边上，所以，
（2）.
18．【解答过程】（1）原式
.
（2）左边
右边.
所以原等式成立.
19．【解答过程】（1）
，
为第三象限角，故，，故，
.
（2）
.

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