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第5章分式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 杭州月考）下列代数式中，属于分式的是　　
A． B． C． D．
2．（2025春 宁波期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．（2019春 鄞州区期末）下列分式约分正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（2025春 诸暨市期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值　　
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
5．（2022秋 广饶县校级期末）下列分式，，，中，最简分式有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021 荆州模拟）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是　　
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
7．（2023秋 琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是　　
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
8．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是　　
A． B． C． D．
9．（2025春 德化县期末）我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M＝，N＝，M+N＝＝2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P＝，Q＝，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　）
A．6 B．5 C．3 D．1
10．（2025春 柯桥区期末）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是，；的解是，；的解是，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于的方程的解是，．并尝试解关于的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为　　
A．， B．，
C．， D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 浙江模拟）当　　 时，分式的值为0．
12．（2025春 青神县期中）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于的分式方程有（填写序号）　　 ．
13．（2025春 越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ．
14．（2025 阳谷县二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 　　 万元．
15．（2025春 景德镇期末）已知关于的分式方程无解，则的值为　　 ．
16．（2025春 柯桥区月考）设，，且，则　　
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 宿城区期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025春 城关区校级期末）解方程．
（1）；
（2）．
19．（2025春 深圳期末）已知．先在，，中任选2个分式用除号“”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．
20．（2025春 寿县期末）已知关于的分式方程．
（1）若分式方程无解，求的值；
（2）若分式方程的解是非负数，求的值．
21．（2024秋 巨野县期末）因为，所以（第一步）
所以．（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了 　　的基本性质；
②第二步的解题过程运用了 　　的方法，是对分式进行了 　　．
（2）模仿材料解答：已知，求的值．
22．（2024春 江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
（1）分式是 　　（填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式；
（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）．
23．（2025 东莞市校级模拟）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划．
甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前3天．
乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的，地为正整数，且．
（1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？
（2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由．
24．（2025 桑植县三模）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值” 的值为 　　．
（2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值．
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第5章分式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 杭州月考）下列代数式中，属于分式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式、整式的定义判断即可．
【解答】解：、是分式，故此选项符合题意；
、是整式，故此选项不符合题意；
、是整式，故此选项不符合题意；
、是整式，故此选项不符合题意；
故选：．
2．（2025春 宁波期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，
则，
解得，
故选：．
3．（2019春 鄞州区期末）下列分式约分正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案．
【解答】解：、是最简分式，不能约分，故本选项错误；
、是最简分式，不能约分，故本选项错误；
、是最简分式，不能约分，故本选项错误；
、，故本选项正确；
故选：．
4．（2025春 诸暨市期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值　　
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】
【分析】根据题意得出，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：，
所以如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值不变，
故选：．
5．（2022秋 广饶县校级期末）下列分式，，，中，最简分式有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据最简分式的定义对各分式进行判断．
【解答】解：，，
，，，中，最简分式有，，一共2个．
故选：．
6．（2021 荆州模拟）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是　　
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：
，
出现错误是在乙和丁，
故选：．
7．（2023秋 琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是　　
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此可得．
【解答】解：、与的最简公分母是，此选项正确；
、与最简公分母是，此选项正确；
、与的最简公分母是或，此选项错误；
、与的最简公分母是，此选项正确；
故选：．
8．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出这几个分数的和，看比1大多少，再看大的数是哪两个分数的和，这两个分数即为删去的数．
【解答】解：由，而，故删去后，可使剩下的数之和为1．
故选：．
9．（2025春 德化县期末）我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M＝，N＝，M+N＝＝2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P＝，Q＝，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　）
A．6 B．5 C．3 D．1
【答案】A
【分析】根据题意列式为+，将其计算后即可求得答案．
【解答】解：+
＝
＝
＝
＝6，
即P关于Q的“和约分式值”是6，
故选：A．
10．（2025春 柯桥区期末）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是，；的解是，；的解是，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于的方程的解是，．并尝试解关于的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为　　
A．， B．，
C．， D．
【答案】
【分析】对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题．
【解答】解：，
，
，
或，
，．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 浙江模拟）当　　 时，分式的值为0．
【分析】若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
【解答】解：分式值为0，
且，
解得．
故答案为：．
12．（2025春 青神县期中）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于的分式方程有（填写序号）　⑤　 ．
【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，
⑤的分母中含有未知数，是分式方程，
所以分式方程有⑤．
故答案为：⑤．
13．（2025春 越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ．
【答案】．
【分析】利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可．
【解答】解：不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数为，
故答案为：．
14．（2025 阳谷县二模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 　4.8　 万元．
【答案】4.8．
【分析】设原计划每间教室的建设费用是万元，则实际每间建设费用为万元，即万元，根据实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每间教室的建设费用是万元，则实际每间建设费用为万元，即万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
即实际每间教室的改造费用为4.8万元，
故答案为：4.8．
15．（2025春 景德镇期末）已知关于的分式方程无解，则的值为　或或　 ．
【答案】或或．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案．
【解答】解：原分式方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解；
当时，
原方程无解，
原方程有增根，
或，
或，
或，
解得或；
故答案为：或或．
16．（2025春 柯桥区月考）设，，且，则　1　
【分析】充分利用这个关系，对中的、都用进行替换即可求解．
【解答】解：，
，
即：，解得：．
故答案为1．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 宿城区期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将原式直接约分即可；
（2）将除法化为乘法，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
．
18．（2025春 城关区校级期末）解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）无解．
【分析】（1）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可；
（2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：（1），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解是；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
19．（2025春 深圳期末）已知．先在，，中任选2个分式用除号“”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】见解析．
【分析】从、、中选两个分式用“”连接，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子分母因式分解，约分化简，最后选使原分式有意义（分母不为的值代入计算．
【解答】解：选
，
，
原式，
不能取1（使原分式分母为，当时，；当时，．
20．（2025春 寿县期末）已知关于的分式方程．
（1）若分式方程无解，求的值；
（2）若分式方程的解是非负数，求的值．
【答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）先化成整式方程并求得，再根据分式方程无解可得，再解一元一次方程即可；
（2）由（1）可得，再根据分式方程的解是非负数可得，再求解即可．
【解答】解：（1）化成整式方程得：，
解得：，
分式方程无解，
，
解得；
（2）由（1）可得，，
分式方程的解是非负数时，且，
，
解得：且．
21．（2024秋 巨野县期末）因为，所以（第一步）
所以．（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了 　等式　的基本性质；
②第二步的解题过程运用了 　　的方法，是对分式进行了 　　．
（2）模仿材料解答：已知，求的值．
【答案】（1）①等式；
②代入，约分；
（2）．
【分析】（1）根据等式的基本性质进行解答即可；
（2）令，再用表示出、、的值，代入分式进行计算即可．
【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质；
②第二步的解题过程运用了代入的方法，由得，是对分式进行了约分．
故答案为：①等式；②代入，约分；
（2），
令，则，，，
原式．
22．（2024春 江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
（1）分式是 　真分式　（填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式；
（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）．
【答案】（1）真分式；；
（2）1，2，4，5；
（3）．
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案．
（2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且为整数，即可求得．
（3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案．
【解答】解：（1）根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式，
，
故答案为：真分式；．
（2），且为正数，且为正数
或或或，
解得或或或，
故满足条件的整数的值为1，2，4，5．
（3）
，
而，
，
，
，
，
．
故答案为：．
23．（2025 东莞市校级模拟）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划．
甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前3天．
乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的，地为正整数，且．
（1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？
（2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由．
【分析】（1）利用工作时间工作总量工作效率，结合提前3天完成施工任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）利用工作时间工作总量工作效率，可用含，的代数式表示出，，作差后，可得出，结合，可得出，可得出，即，进而可得出工程队应采取乙方案；
（3）根据工程队采用甲方案完成施工时间与工程队完成时间相同，可列出关于，的方程，结合，均为正整数且，求出，的值，检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队完成施工任务需要5天；
（2）乙工程队应采取乙方案，理由如下：
根据题意得：；
．
．
，
，，
，
即，
，
乙工程队应采取乙方案．
24．（2025 桑植县三模）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值” 的值为 　　．
（2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值．
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数且为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【解答】解：（1）分式，互为“和整分式”，
，
其“和整值” 的值为2；
（2）①，，
，
与互为“和整分式”，且“和整值” ，
，
；
②，且分式的值为正整数且为正整数，
或，
或，
为正整数，
（舍去），则的值为1；
（3）由题意可得：，
，
，
，整理得：，
当，解得：，方程无解，
当，方程无解，则有增根，
将代入得，，解得：，
综上：的值为：1或．
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