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第三章《勾股定理》知识点复习题
1.中，，则斜边的长为（ ）
A．10 B． C． D．
2.在中，，，，则的长是（ ）
A． B．11 C．13 D．17
3.如图，在中，，于点D，，．
(1)求 ABC的面积；
(2)求线段的长．
1.如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
3.如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
1.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　）
A．3 B． C．5 D．
2.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
3.如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点．
(1)线段的长度等于__________；
(2)以点A、B、P为顶点的面积为__________；
(3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足．
1.已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
2.如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
3.如图，，M，N分别是，的中点．
(1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想．
(2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
(1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简）
方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________；
(2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积．
(3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
2.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
3.勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．

(1)如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为．
①请写出勾股定理的表达式：______．
②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形．
(2)如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
1.综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证．
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长．
2.综合与实践
探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？
(1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．
(2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明．
(3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：．
3.【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度；
(2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值；
1.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15
2.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．4，5，6
C．0.6，0.8，1 D．9，12，15
3.已知．
(1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________；
(2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由．
1.每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米．
2.如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
(1)此时梯子顶端A离地面多少米？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？
3.与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
(1)求处与地面的距离．
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米
1.如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
2.如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
3.请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
1.如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ．
2.如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
3.如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
1.如图，四边形中，∠B=90°，，，，，求四边形的面积．
2.如图，，，，，，求这块地的面积．
3.“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，，
(1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长；
(2)证明：
1.在 ABC中，，设为最长边，当时， ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究 ABC的形状（按角分类）．
(1)当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为________三角形；当 ABC三边分别为6、8、11时， ABC为________三角形；
(2)猜想：当________时， ABC为锐角三角形；当________时， ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当 ABC为直角三角形时，则的取值为________；
当 ABC为锐角三角形时，则的取值范围________；
当 ABC为钝角三角形时，则的取值范围________．
2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
3.先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
辛苦答案
1.A
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
2.C
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，在中，，，据此直接计算即可求解．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴，
故选C．
3.（1）解：在 ABC中，， ，，
∴，
∴，
∴ ABC的面积为24．
（2）解：∵在 ABC中，，于点，
∴S ABC = AC BC= AB CD ，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为．
1.A
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题．
【详解】解：设，由折叠可知：，
在中，
，
故选：A．
2.A
【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查的是矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，即．
解得：，
在中，．
由翻折的性质可知：，．
∴．
设，则．
在中，由勾股定理得：，
∴．
解得：，
∴．
故选：A．
3.C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题
【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵长方形中，，，
∴，
∵将 ABC沿折叠，点B落在处，与交于E，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
故选：C．
1.D
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为，
故选：D．
2.D
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．
【详解】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故选：．
3.（1）解：由网格的特点和勾股定理可得；
（2）解：；
（3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求；
可证明 ABC是等腰直角三角形，则，
可证明，则可证明．
1.（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到 BCF，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

2.（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求，理由如下：
∵直线为线段段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即点P符合题意．
3.（1）解：与的位置关系是垂直且平分，
证明∶连接，
，，M为中点，
，，
，
∵N为中点，
，，
即与的位置关系是垂直且平分；
（2）解：，
，
，，
，
即．
1.（1）解：方法1：，
方法2：，
，
故答案为：；；；
（2）解：，
当时，；
（3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
2.（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：，
即最后化简为；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；
根据面积相等，得：，
化简最后结果是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：空白部分的面积为：，
当时，原式．
3.（1）解：①勾股定理的表达式：，
故答案为：；
②如图2，即为所求；

（2）证明：如图3，连结、，

由题意可知：，
，，，，
，
，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
．
1.（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样，
设梯形的面积为，则
，
又，
，
．
（2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形．
，
（3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连，
，
，
，
．
．
又，，
．
．
又是的中点，
．
．
，
，
的中点为，的中点为，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
．
2.（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；
方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．
由此我们可以得到平方差公式：；
故答案为：；；
（2）证明：如图3，
方法①：，
方法②：，
；
（3）证明：如图4，
大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，
方法①：大正方形的边长为，所以，
方法②：，
所以，
．
3.（1）解：在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：在中，由勾股定理，得 ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
整理得，，
解得，．
1.D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C，，不是勾股数，不符合题意；
D，因为，所以是勾股数，符合题意．
故选：D．
2.D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件．根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、0.6，0.8，1不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，符合题意；
故选：D．
3.（1）解：当时，，，，
，
以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，面积为：，
故答案为：6；
（2）解：小安的猜想正确，
理由如下：，
，
，
当取大于1的整数时，，，为勾股数，
小安的猜想正确．
1.（1）解：在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：；
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
，
．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
2.（1）解：因为，米，米，
所以（米）．
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）解：因为梯子顶端下滑了3米到处，
所以梯子距离地面的高度（米），
所以（米），
所以，
因为当时，梯子最稳定，使用时最安全，
又，即．
所以这时使用不安全．
3.（1）解：在中，
米，米，
米
（米）．
答：处与地面的距离是米；
（2）在中，
米，（米），
米
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
1.（1）解：由题意，知．
因为，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面处折断；
（2）解：如图：
因为点P距地面，
所以，
所以，
则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险，
所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险．
2.（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
3.解：根据题意可知，
设，则，根据勾股定理得
，
解得．
所以折断处离地面的高度是4尺．
1.
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案．
【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示：
∵底面直径为，高为，
∴，，
∴，
∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是，
故答案为：．
2.25
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
3.
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了由从不同方向看几何体以及勾股定理等知识点，掌握长方体的展开图特点是解答本题的关键．根据长方体的展开图以及勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，把包含A．B两点的两个格子及其隔断展开成一个平面图形，
此时，蚂蚁爬行最短距离为线段长度，
由勾股定理得，，
故答案为：．
1.解：连结，
∵，，，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴．
2.解：连结，
在中，，，，
∴，
，
在中 ，，，
∴，
∴，
∴
，
答：这块地的面积为
3.（1）解：∵，
∴∠B=90°，
在中，由勾股定理得：
，
答：无人机飞行路径的长为；
（2）证明：，，
，
是直角三角形，且，
1.（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为锐角三角形
当 ABC三边分别为6、8、11时， ABC为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时， ABC为锐角三角形；
当时， ABC为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当 ABC为锐角三角形时，，
；
当 ABC为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
2.解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴．
3.（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：∵n为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．

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