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第三章《勾股定理》复习题--利用勾股定理求线段长
题型一、直接利用勾股定理求线段长
1．如图，在中，于点D，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABC中，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．5
3．如图，在 ABC中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
(1)求证：．
(2)求的长．
4．《九章算术》记载“勾股定理”．若直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的高为（ ）．
A． B． C． D．13
5．如图，中，，，点D、E是边上的两点，且，，则 ．
题型二、利用勾股定理解决折叠问题
6．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
7．如图，在 ABC中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将 ABC沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ．
8．如图在中，，，，将 ABC沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ．
9．如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将 ADE沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
题型三、利用勾股定理解决网格问题
11．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出___________，___________，___________；
(2)判断 ABC的形状，并说明理由．
12．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为 ．
13．问题背景：在 ABC中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求 ABC的高，而借用网络就能计算它的面积．
(1)请你将 ABC的面积直接填写在横线上： ；
(2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由．
(3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数．
14．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　）
A．3 B． C．5 D．
15．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题
16．阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知，是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ，． .． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
(3)如图3，在四边形中，，，．求证：．
17．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．
(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
18．在 ABC中，，，点为射线上一点，过点作且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，连接，．
(1)如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
(2)当点在线段的延长线上时，依题意补全图．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
19．在 ABC中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)判断的数量关系，并证明．
参考答案
题型一、直接利用勾股定理求线段长
1．A
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：A．
2．D
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故选：D．
3．（1）证明：连接，，，如图所示：
根据作图可知：，，
∴点A、E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
4．C
【知识点】求一个数的算术平方根、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，先根据勾股定理求出斜边长为，然后根据等积法求出斜边上的高即可．
【详解】解：∵直角三角形两直角边为5和12，
∴斜边长为，
设斜边上的高为h，则，
∴．
故选：C．
5．
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，先证明，由旋转的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再证明，可得．
【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二、利用勾股定理解决折叠问题
6．A
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解．
【详解】解：点是边的中点，
，
由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：A．
7．10
【知识点】勾股定理与折叠问题、等边对等角
【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程．
连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面积公式即可求出．
【详解】连接，
将 ABC沿过点的直线折叠，点与点重合，是折痕，
垂直平分，
，
是边上的高，，，
，
设，则，
，
是边上的高，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
8．5
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，由折叠的性质可知．
∵，
∴．
∵F是边的中点，，
∴．
在中，，
∴，
解得，
∴的长为5．
故答案为：．
9．C
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值．
【详解】解：∵在长方形中，、，
∴，，
又∵将 ADE沿直线折叠，
∴，，，
在中，，
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得，
即的长为5．
故选：C．
10．6
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴，
设，
∵在长方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
题型三、利用勾股定理解决网格问题
11．（1）解：、，，，
故答案为：，，；
（2）解： ABC的形状是直角三角形；
理由如下：
∵ ，，；且
∴ ABC的形状是直角三角形．
12．
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理．设左下角的字母为，在中，利用勾股定理，即可求出的长，进而可得出正方形的边长．
【详解】解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
13．（1）解： ABC的面积为
故答案为：.
（2）解：如图，即为所求．
为直角三角形．
理由：∵，，，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（3）解：如图3，即为所求（答案不唯一）．
14．D
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为，
故选：D．
15．（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
题型四、利用勾股定理探究线段平方关系问题
16．（1）解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，
，，，
由旋转的性质可知，
是等边三角形，
，，
就是以，，为边的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小内角的度数为，
故答案为：18；
（3）证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，
，，
ABC是等边三角形，
，
由旋转可知，，，
为等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
17．（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如图所示，连接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四边形中，
∴是直角三角形，
∴
又 ABC是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
18．（1）解：数量关系，位置关系，理由如下：
∵，，
∴，
∵且，
∴，
∴，
连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（2）依题意补全图形，如图1．
数量关系：．
证明：连接，，如图2．
∵ ABC中，，，
∴．
∵，
∴，．
又∵
∴．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
19．（1）解：补全图形，如图所示：
（2），
，
，
，
，
；
（3）结论：；
延长到使，连接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分,
，
．

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