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江苏省扬州市邗江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．调查某品牌烟花爆竹燃放安全质量
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．了解国内外观众对电影《哪吒之魔童闹海》的观影感受
D．检测神舟二十号飞船返回舱的零部件
3．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线相等 B．内角和等于
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
5．已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1
6．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
7．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线，则图1中对角线的长为（）
A． B． C． D．
8．已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．比较大小： （填“＞”或“＜”或“＝”）．
11．一只袋内装有6只红球和4只白球，这10只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则第四人摸到白球的概率是 ．
12．柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：
柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500
损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 ．（精确到）
13．如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是 ．
14．若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15．如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则 ．
16．在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其函数图像如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
17．如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为 ．
18．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为 ．
三、解答题
19．计算:
(1)
(2)
20．解下列方程∶
(1)
(2) ．
21．先化简，再求值：，请在－1、1、2三个数中选择一个合适的整数代入求值．
22．为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有__________人；
(2)条形统计图中的值为_________，扇形统计图中的度数为_____________°；
(3)根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？
23．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的．
(2)作出△ABC关于原点成中心对称的；
(3)点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标为 　　．
24．列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
25．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
26．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点．
(1)求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标．
27．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母）
A： B：
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值．
28．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值．
参考答案
1．D
解：由题意可得，
A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．D
解：A、烟花爆竹燃放安全质量检测具有破坏性，需抽样调查，不符合题意；
B、 端午节粽子质量调查对象数量庞大，适合抽样调查，不符合题意；
C、 国内外观众观影感受调查范围广，无法全面普查，适合抽样调查，不符合题意；
D、 航天器零部件检测要求绝对精确，必须全面检查以确保安全，适合普查，符合题意，
故选：D．
3．D
解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；
B． ，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算错误，不符合题意；
D．，故原计算正确，符合题意，
故选：D．
4．A
解：A：对角线相等，矩形的对角线相等是其固有性质，而菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等（除非是正方形），因此，矩形具有而菱形不一定具有该性质；
B：内角和等于，所有四边形的内角和均为，矩形和菱形均满足，故排除；
C：对边平行且相等，矩形和菱形均为平行四边形，均满足对边平行且相等，故排除；
D：对角线互相垂直，菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅当为正方形时才垂直，普通矩形不满足，故排除；
故选：A．
5．C
∵反比例函数的解析式为，且图象位于第一、三象限，
∴，
解得，
故选：C．
6．C
解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
7．C
如图1中连接，如图2中，连接．
在图2中，
∵四边形是正方形，
，
，，
，
在图1中，∵四边形是菱形，，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴，
故选：C．
8．B
解：过点A作于点H，
∵在中，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：B．
9．x≠4
解：∵x-4≠0，
∴x≠4．
故答案为：x≠4．
10．＜
解：∵，，且18＞12，
∴，
∴，
∴．
故答案为：＜
11．
解：根据题意得：
第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况，
第四人摸到白球的概率是：，
故答案为：．
12．
解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右，
所以可估计柑橘损坏率大约是，
故答案为：．
13．
，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
14．1
解：将分式方程化为整式方程为，
分式方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．90
解：设反比例函数关系式为，
∵反比例函数图像经过点，
∴，
解得，
所以反比例函数关系为．
当时，；
当时，，
∴．
所以气体体积压缩了90．
故答案为：90．
17．
解：如图，连接，设与轴交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵点在的图象上，点在的图象上，
∴，，
∴，
∵点在的图象上，点在的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．
解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接，
则点B是的中点，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，最大，
∵点C为坐标平面内一点，且，
当点在延长线时，有最大值，
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值．
故答案为：．
19．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)
(2)无解
（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验，当时，，
∴时原方程的增根，
∴原方程无解．
21．；
解：原式
，
要使分式有意义，故且，
且，
当时，原式．
22．(1)60
(2)11，
(3)200人
（1）解：人，
∴参加问卷调查的学生共有60人，
故答案为：60；
（2）解：由题意得，，，
故答案为：11，；
（3）解：人，
∴估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的人数为200人．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3）
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
故答案为：（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
24．小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟
解：设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
故，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
25．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
在中，，，
∴，
∴
∴四边形的面积是：．
26．(1)，；
(2)或
(3)或
（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
联立，解得或，
∴．
（2）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点，
∴观察图象，时，的取值范围是：或 ．
（3）解：设，则，
如图1，
当在点的下方时，则，
解得，
，
，
如图2，
当在点的上方时，，则，
解得 ，
，
，
∴点的坐标为或．
27．(1)A
(2)
(3)1．
（1）解：当时，分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当时，分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
（2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得，
，
解得．
（3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
当时，解得，
将化简得，
，
解得，
关于x的方程，x有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（舍去）或（舍去），
，
．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G，
，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
，
；
（3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接．
，
∴．
∴．
连接交于点，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．
由（2）易得：．
∴，．
∵．
∴．
∴．
过N作于H．
∵，
∴．
∴，
，
．

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