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广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三上·广东模拟）若双曲线满足，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·广东模拟）设全集，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·广东模拟）已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·广东模拟）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(　　).
A． B． C． D．
6．（2024高三上·广东模拟）已知向量，，，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·广东模拟）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(　　).
A． B． C． D．
8．（2024高三上·广东模拟）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．24
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东模拟）已知复数满足，则（　　）
A．可以是 B．若为纯虚数，则的虚部是2
C． D．
10．（2024高三上·广东模拟）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
11．（2024高三上·广东模拟）已知函数，则（　　）
A．当时，在上的最大值为
B．在上单调递增
C．当时，
D．当且仅当时，曲线与轴有三个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.
12．（2024高三上·广东模拟）在中，，，，则　 　.
13．（2024高三上·广东模拟）若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为　 　.
14．（2024高三上·广东模拟）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则　 　；若没有经过点，则的周长为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高三上·广东模拟）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行
频数 54 27 38 42 18 21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
16．（2024高三上·广东模拟）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
17．（2024高三上·广东模拟）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
（1）求证；平面；
（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
18．（2024高三上·广东模拟）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
（1）求，，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（2024高三上·广东模拟）已知集合，，设函数.
（1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
（2）已知，求函数是常数函数的概率；
（3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由不等式，解得或，
集合是集合或的真子集，
则“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得相应解集，再根据解集之间的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 双曲线满足，
则的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线离心率公式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，所以，则，
即.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交并补集的性质可得，再求解即可.
4．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：四棱锥，如图所示：
设四棱锥的高为，
因为四棱锥的体积为，所以，得，
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：B.
【分析】设四棱锥的高为，根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，则；
函数的定义域为，令，即，根据对数、反比例函数图象可知：，即；
函数定义域为，令，即，由图可知：，即，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】分别求零点，结合图象判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，所以四边形为直角梯形，且，，，
则四边形的面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意推得四边形为直角梯形，并求相应得边长，再由梯形面积公式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，因为，，
所以，所以，即，
又因为在区间上单调，所以，解得，
则的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据，，可得函数的周期，根据函数的最小正周期公式求，再根据函数在区间上单调，列出不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解： 任意抛掷一次这个正八面体 ，样本空间为，
因为，，所以，，
若事件满足，，则，，且，
由，可得事件；又因为，所以1或2，
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①、若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②、若，，同理有个满足条件的事件；
③、若，，此时或
或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，
即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个.
故答案为：C.
【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可.
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、若为纯虚数，则，故B错误；
C、易知，故C正确；
D、由，可得复数在复平面对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，
的几何意义是点到点的距离，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据复数的模、虚数的概念、复数的乘法即可判断ABC正；根据复数的几何意义并根据圆上点的距离最值问题即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；
D、由A选项可得：，
则
即数列为等差数列，公差为4，首项为，
则的前项和为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质求解即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，函数，
求导可得，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数有最大值，且最大值为，故A正确；
图（a） 图（b） 图（c） 图（d）
B、当时，，，
①当时，恒成立，单调递增，如图（b）；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（c）；
当时，，易知
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；如图（d）
综上所述，在上单调递增，故B正确；
C、取时，，故C错误；
D、当时，的图象与轴可能有三个交点，
则，解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将代数函数，分情况取绝对值可得分段函数的解析式，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可判断A；对参数进行分类讨论得出解析式，求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；取特殊值可知当时，即可判断C；根据函数图象由交点个数得出不等式可解得即可判断D.
12．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解： 在中，，，，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理求解即可.
13．【答案】3
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【解答】解：易知函数定义域为，且为偶函数，，
当且仅当，即时等号成立，
因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】易知函数的定义域以及奇偶性，由基本不等式求得，当且仅当时，的图象与直线有两个交点，即可得的最小值.
14．【答案】；；
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，长半轴长，离心率；
若经过点且垂直于轴，则，因为，所以，
直线，将代入椭圆，解得，则；
若没有经过点，设，，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
，
由椭圆方程得，
代入上式有
，
则，
同理，则的周长.
故答案为：，.
【分析】易知椭圆的右焦点，长半轴长，当直线经过点且垂直于轴时，，利用椭圆中的关系求得，即可求线段；当直线不经过点时，设，，由圆与直线相切的位置关系，结合弦长公式计算即可.
15．【答案】（1）解：记事件=“低碳出行”，，，，
；
（2）解：由（1）知，则有，
记事件=“今年参加活动的游客明年继续参加活动”，
由题意，，
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件，根据二项分布的期望公式计算即可；
（2）根据全概率公式计算即可.
（1）记“低碳出行”为事件，估计.
则，，
；
（2）由（1）知，则有，
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，
由题意，，
所以.
16．【答案】（1）解：函数定义域为，且，
，，
则曲线在点处的切线方程为；
（2）证明：函数定义域为，
①当时，，，则，即；
②当时，，
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，所以，
则在上单调递增，，，即，在上单调递增，，
则，
综上所述，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）对分和，求导，即可根据单调性求解，将不等式变形为，构造，，分别利用导数求解函数的单调性，求最值即可.
（1），
，则，
曲线在点处的切线方程为.
（2）解法1：定义域为.
①当时，，，则，即；
②当时，.
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，
所以，
所以在上单调递增，，，即，
所以在上单调递增，，则，
综上所述，.
解法2：定义域为.
要证，只需证，只需证，
令，，，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
，
，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
，
综上所述，，也就是，即
17．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，，如图所示：
因为点，分别是，的中点，所以，，
在菱形中，，，则四边形为平行四边形，即，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：连接，，
因为，，，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
又因为，则，所以，即直线，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即取，
则，即，取，
设平面与平面所成角为，则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】空间中的点的坐标；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，，利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；
（2）根据线面垂直的判定先证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点为，连接，.
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，.
，，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，平面.
（2）连接，，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
，
又，则，所以.
即直线，，两两垂直.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得取.
由得取.
设平面与平面所成角为，则
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）解： 由数列中，，都有，，成等差数列，且公差为，
可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4，
则，，，；
（2）解：由题意，，
当，时，
，
且满足上式，当为奇数时，，
当时，，
故；
（3）解：存在时，使得，，，成等比数列；
证明如下：由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，故当时，，，，成等比数列.
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；
（2）由题意可得，再分与两种情况求解即可；
（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.
（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19．【答案】（1）解：当时，函数为常数函数；
当时，函数
，函数不是常数函数；
（2）解：设，不妨令，
函数
，
若函数是常数函数，则，
则，
得，即，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①，
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个，
而满足①的集合有，，，，，
共5个，
则使得函数是常数函数的概率为；
（3）解：不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是，
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是，
综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
【知识点】充分条件；古典概型及其概率计算公式；简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系，二倍角公式化简函数，再结合常数函数概念判定即可；
（2）根据常数函数概念，结合和差角公式计算，再结合古典概型概率公式计算即可；
（3）根据常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可.
（1）当时，，
此时是常数函数；
当时，
，此时不是常数函数.
（2）设，不妨令.
.
若函数是常数函数，则
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个，
而满足①的集合有，，，，，共5个，
则使得函数是常数函数的概率为.
（3）不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
综上所述，
当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
1 / 1广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由不等式，解得或，
集合是集合或的真子集，
则“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得相应解集，再根据解集之间的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．（2024高三上·广东模拟）若双曲线满足，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 双曲线满足，
则的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线离心率公式计算即可.
3．（2024高三上·广东模拟）设全集，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，所以，则，
即.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交并补集的性质可得，再求解即可.
4．（2024高三上·广东模拟）已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：四棱锥，如图所示：
设四棱锥的高为，
因为四棱锥的体积为，所以，得，
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：B.
【分析】设四棱锥的高为，根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为求解即可.
5．（2024高三上·广东模拟）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，则；
函数的定义域为，令，即，根据对数、反比例函数图象可知：，即；
函数定义域为，令，即，由图可知：，即，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】分别求零点，结合图象判断即可.
6．（2024高三上·广东模拟）已知向量，，，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，所以四边形为直角梯形，且，，，
则四边形的面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意推得四边形为直角梯形，并求相应得边长，再由梯形面积公式计算即可.
7．（2024高三上·广东模拟）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(　　).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，因为，，
所以，所以，即，
又因为在区间上单调，所以，解得，
则的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据，，可得函数的周期，根据函数的最小正周期公式求，再根据函数在区间上单调，列出不等式求解即可.
8．（2024高三上·广东模拟）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解： 任意抛掷一次这个正八面体 ，样本空间为，
因为，，所以，，
若事件满足，，则，，且，
由，可得事件；又因为，所以1或2，
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①、若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②、若，，同理有个满足条件的事件；
③、若，，此时或
或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，
即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个.
故答案为：C.
【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东模拟）已知复数满足，则（　　）
A．可以是 B．若为纯虚数，则的虚部是2
C． D．
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、若为纯虚数，则，故B错误；
C、易知，故C正确；
D、由，可得复数在复平面对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，
的几何意义是点到点的距离，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据复数的模、虚数的概念、复数的乘法即可判断ABC正；根据复数的几何意义并根据圆上点的距离最值问题即可判断D.
10．（2024高三上·广东模拟）已知等差数列的前项和为，且，则（　　）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；
D、由A选项可得：，
则
即数列为等差数列，公差为4，首项为，
则的前项和为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质求解即可.
11．（2024高三上·广东模拟）已知函数，则（　　）
A．当时，在上的最大值为
B．在上单调递增
C．当时，
D．当且仅当时，曲线与轴有三个交点
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、当时，函数，
求导可得，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数有最大值，且最大值为，故A正确；
图（a） 图（b） 图（c） 图（d）
B、当时，，，
①当时，恒成立，单调递增，如图（b）；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（c）；
当时，，易知
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；如图（d）
综上所述，在上单调递增，故B正确；
C、取时，，故C错误；
D、当时，的图象与轴可能有三个交点，
则，解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将代数函数，分情况取绝对值可得分段函数的解析式，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可判断A；对参数进行分类讨论得出解析式，求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；取特殊值可知当时，即可判断C；根据函数图象由交点个数得出不等式可解得即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.
12．（2024高三上·广东模拟）在中，，，，则　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解： 在中，，，，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理求解即可.
13．（2024高三上·广东模拟）若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为　 　.
【答案】3
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【解答】解：易知函数定义域为，且为偶函数，，
当且仅当，即时等号成立，
因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】易知函数的定义域以及奇偶性，由基本不等式求得，当且仅当时，的图象与直线有两个交点，即可得的最小值.
14．（2024高三上·广东模拟）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则　 　；若没有经过点，则的周长为　 　.
【答案】；；
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，长半轴长，离心率；
若经过点且垂直于轴，则，因为，所以，
直线，将代入椭圆，解得，则；
若没有经过点，设，，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
，
由椭圆方程得，
代入上式有
，
则，
同理，则的周长.
故答案为：，.
【分析】易知椭圆的右焦点，长半轴长，当直线经过点且垂直于轴时，，利用椭圆中的关系求得，即可求线段；当直线不经过点时，设，，由圆与直线相切的位置关系，结合弦长公式计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高三上·广东模拟）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行
频数 54 27 38 42 18 21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
【答案】（1）解：记事件=“低碳出行”，，，，
；
（2）解：由（1）知，则有，
记事件=“今年参加活动的游客明年继续参加活动”，
由题意，，
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件，根据二项分布的期望公式计算即可；
（2）根据全概率公式计算即可.
（1）记“低碳出行”为事件，估计.
则，，
；
（2）由（1）知，则有，
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，
由题意，，
所以.
16．（2024高三上·广东模拟）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
【答案】（1）解：函数定义域为，且，
，，
则曲线在点处的切线方程为；
（2）证明：函数定义域为，
①当时，，，则，即；
②当时，，
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，所以，
则在上单调递增，，，即，在上单调递增，，
则，
综上所述，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）对分和，求导，即可根据单调性求解，将不等式变形为，构造，，分别利用导数求解函数的单调性，求最值即可.
（1），
，则，
曲线在点处的切线方程为.
（2）解法1：定义域为.
①当时，，，则，即；
②当时，.
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，
所以，
所以在上单调递增，，，即，
所以在上单调递增，，则，
综上所述，.
解法2：定义域为.
要证，只需证，只需证，
令，，，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
，
，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
，
综上所述，，也就是，即
17．（2024高三上·广东模拟）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
（1）求证；平面；
（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：取的中点为，连接，，如图所示：
因为点，分别是，的中点，所以，，
在菱形中，，，则四边形为平行四边形，即，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：连接，，
因为，，，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
又因为，则，所以，即直线，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即取，
则，即，取，
设平面与平面所成角为，则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】空间中的点的坐标；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，，利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；
（2）根据线面垂直的判定先证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点为，连接，.
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，.
，，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，平面.
（2）连接，，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
，
又，则，所以.
即直线，，两两垂直.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得取.
由得取.
设平面与平面所成角为，则
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
18．（2024高三上·广东模拟）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
（1）求，，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解： 由数列中，，都有，，成等差数列，且公差为，
可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4，
则，，，；
（2）解：由题意，，
当，时，
，
且满足上式，当为奇数时，，
当时，，
故；
（3）解：存在时，使得，，，成等比数列；
证明如下：由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，故当时，，，，成等比数列.
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；
（2）由题意可得，再分与两种情况求解即可；
（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.
（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19．（2024高三上·广东模拟）已知集合，，设函数.
（1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
（2）已知，求函数是常数函数的概率；
（3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数为常数函数；
当时，函数
，函数不是常数函数；
（2）解：设，不妨令，
函数
，
若函数是常数函数，则，
则，
得，即，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①，
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个，
而满足①的集合有，，，，，
共5个，
则使得函数是常数函数的概率为；
（3）解：不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是，
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是，
综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
【知识点】充分条件；古典概型及其概率计算公式；简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系，二倍角公式化简函数，再结合常数函数概念判定即可；
（2）根据常数函数概念，结合和差角公式计算，再结合古典概型概率公式计算即可；
（3）根据常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可.
（1）当时，，
此时是常数函数；
当时，
，此时不是常数函数.
（2）设，不妨令.
.
若函数是常数函数，则
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个，
而满足①的集合有，，，，，共5个，
则使得函数是常数函数的概率为.
（3）不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
综上所述，
当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
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