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2024-2025 学年内蒙古巴彦淖尔市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 = 5 7 ，则 =( )
A. 5 7 B. 5 + 7 C. 5 7 D. 5 + 7
2.已知向量 ， 满足| | = 3，| | = 2，且向量 ， 的夹角为 60°，则向量 在向量 上的投影向量是( )
A. 3 2
B. 3 3 34 C. 2 D. 4
3.已知某圆锥的轴截面是边长为 10 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是( )
A. 25 B. 25 C. 50 D. 50
4.若虚数 = + ( , ∈ )是关于 的一元二次方程 2 + 4 + = 0( ∈ )的一个根，则 =( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
5.下列结论正确的是( )
A.若事件 与事件 互斥，则 ( ) + ( ) = 1
B.若事件 与事件 互斥，则 ( ) = ( ) + ( )
C.若事件 与事件 对立，则 ( ) + ( ) = 1
D.若事件 与事件 对立，则 ( ) = ( ) + ( )
6.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出以下结论：①若 // ， ， ，
则 // ；②若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ ；③若 // ， // ，则 // ；④若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ .
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知点 在点 的正西方向，为了测量 ， 两点之间的距离，在观测点 处测得 在 的北偏西 15°方向，
在 的北偏东 45°方向，且 ， 两点之间的距离为 20 米，则 ， 两点之间的距离为( )
A. (30 2 10 6)米 B. (30 2 + 10 6)米
C. (30 10 3)米 D. (30 + 10 3)米
8 2 3 1.甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为 .已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为3 , 5 , 2，且甲、
乙、丙投篮的结果相互独立，则 = 2 的概率是( )
A. 15 B.
4
5 C.
13 17
30 D. 30
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = (1 + 2 )(1 3 )，则下列结论正确的是( )
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A. 的实部是 5 B. 的虚部为 1
C. | | = 26 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评
估自己的训练成果.小明记录了他在 3 月份的 10 次训练成绩和 4 月份的 20 次训练成绩.通过计算，他发现 3
月份的训练成绩的平均值为 177，方差为 5.4；4 月份的训练成绩的平均值为 186，方差为 6.3.下列结论正
确的是( )
A.小明这两个月的 30 次训练成绩的平均数为 181.5
B.小明这两个月的 30 次训练成绩的平均数为 183
C.小明这两个月的 30 次训练成绩的方差为 6
D.小明这两个月的 30 次训练成绩的方差为 24
11.如图，在正四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列结
论正确的是( )
A.设 ∩平面 = 1，则 = 3
B.三棱锥 与正四棱锥 的体积之比为 1：4
C. = 5若 2 ，则正四棱锥 内切球与外接球的半径之比为 1：6
D.正四棱锥 被平面 分成的上、下两部分的体积之比为 1：5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数据 21，19，31，25，28，18，30 的极差是______．
13.在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，则直线 与 1 所成角的余弦值为______．
14.在△ 中， = 3 3， 是线段 的中点，过点 的直线分别与线段 ， 交于点 ， ，若 = 4 ，
= ，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( , 2)， = ( 1,3)．
(1)若( + ) ⊥ (2 + )，求 的值；
(2)若向量 = (3,1)，且 //( )，求向量 ， 的夹角．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，△ 是等边三角形，四边形 是正方形， = 2 ．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某中学组织了一次文学常识知识竞赛(满分：100 分)，从参赛学生中随机抽取 100 名学生的成绩并进行整
理，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第 60 百分位数；
(3)现从被抽取的竞赛成绩在[50,70)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取 5 人进行座谈了解，再从这 5 人
中随机抽取 2 人作发言，求抽取的 2 人恰好在同一组的概率．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ( ) = ．
(1)证明： 2 + 2 = 3 2；
(2)求 的取值范围；
(3)若 = 2 5，求△ 外接圆面积的最小值．
19.(本小题 17 分)

公共
定义：两个多面体 1， 2的重合度 = + ，其中 公共是多面体 1， 2的重合部分的体积， 1， 21 2 公共
分别是多面体 1， 2的体积.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是棱 1， 1上的点(不包含端
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点)，且 = ，延长 ， ，分别交 1 1， 1 1的延长线于点 ， ．
(1) = 1已知 2 1，且三棱柱 1 1 1的体积为 18．
①求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积；
②求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 ．
(2) 1 若三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 = 3，求 的值．1
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参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.13
13. 1515
14. 310
15.(1)由题意可知， + = ( 1,1)，2 + = (2 1, 1)．
又因为( + ) ⊥ (2 + )，
所以( 1)(2 1) + 1 × ( 1) = 0 3，解得： = 0 或 = 2．
(2)因为 = (3,1)， = ( 1,3)，
所以 = ( 4,2)，| | = ( 1)2 + 32 = 10．
又因为 = ( , 2)， //( )，
2
所以 4 = 2 ，解得： = 4，
则 = (4, 2)．
所以| | = 42 + ( 2)2 = 2 5， = 4 × ( 1) 2 × 3 = 10．
设向量 ， 的夹角为 ， ∈ [0, ]；

因为 = = 10 2 3
| || | 2 5× 10
= 2 ，得 = 4；
3
所以向量 ， 的夹角为 4．
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16.(1)证明：设 = 2 = 2 ，
因此 = 1，即底面正方形边长是 1，等边三角形△ 的边长是 1，
由 = 2, = = 1，即 2 = 2 + 2，因此 ⊥ ，显然 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
又 平面 ，因此平面 ⊥平面 ．
(2)
作 ⊥ 垂足为 ，作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
平面 ⊥平面 ， ⊥ ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
于是 ⊥平面 ，由 平面 ，因此 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
又 平面 ，因此 ⊥ ，又 ⊥ ，
因此∠ 为平面 与平面 所成角，
由 = 32 , = 1, =
7，
2
因此 sin∠ = =
21
7
17.(1)根据频率和乘组距为 1 可知：10(0.01 + + 0.025 + 0.035 + ) = 1，解得 = 0.015；
(2)[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]对应的频率依次为：
0.1，0.15，0.25，0.35，0.15，
第 60 百分位数累计频率为 0.6，在[80,90)之间，
0.6 0.1 0.15 0.25 = 0.1，
0.1
因此估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第 60 百分位数为：80 + 0.35 × 10 ≈ 83；
(3)[50,60)，[60,70)频率之比为 2：3，
[50,60)抽 2 人，[60,70)抽 3 人，
设[50,60)抽中 ， 两人，[60,70)抽中 ， ， 三人，
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， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种，
2 人恰好在同一组的有： ， ， ， ，共 4 种，
因此 2 2人恰好在同一组的概率为：5．
18.(1)证明：因为 ( ) = ，
所以 = ，
由正弦定理得： = ，
2+ 2 2 2+ 2 2 2 2 2
由余弦定理得： 2 2 =
+
2 ，
2+ 2 2 2 2 2 2 2 2
所以 2
+ = + 2 2 ，
即 2 + 2 2 ( 2 + 2 2) = 2 + 2 2，所以 2 + 2 = 3 2；
(2)因为 2 + 2 = 3 2，
2+ 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
所以由余弦定理得： = 2 = 2 = 2 ≥ 2+ 2 = 3 2 = 3，
又因为 ∈ (0, ) 2，所以3 ≤ < 1，
所以 的取值范围是：[ 23 , 1)；
(3) (2) 2由 得3 ≤ < 1，所以 = 1 cos
2 ≤ 53 ，
设△ 的外接圆半径为 ，
所以由正弦定理得： = = 2 5 = 5 ≥ 52 2 = 3，5
3
所以△ 外接圆面积的最小值为 2 = × 32 = 9 ．
19.(1)设△ 1 1 1的面积为 ，三棱柱 1 1 1的高为 ，则三棱柱 1 1 1的体积 1 = ．
①作 // ，交 1于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，
因为 // ，且 = ，因此 // ，
又 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，
又 ∩ = ，因此平面 //平面 ，
= 1因为 2 1，因此 为棱 1的中点，
则三棱柱 1 11 1 1的体积 1 1 1 = 2 1 = 9，三棱锥 的体积 = 6 1 = 3．
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 9 + 3 = 12．
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②因为 // 1 1，因此 // 1 ，因此△ ∽△ 1，
1 1
因此 = = = 2，因此
1 1
1 1 1
= ．
1 2
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，因此 / /平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
因此 // ，因此 1 1// ，
则△ 1 1 1∽△ 1 ，故 △ 1 = 4 △ 1 1 1 = 4 ，
1 4
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 △ 1 = 3 = 24，

故三棱柱 公共 12 21 1 1与三棱锥 1 的重合度 = 1+
=
2 18+24 12
= 5．
公共
(2) 设 = (0 < < 1)，则 = 1，从而 1 = (1 ) 1，1
故三棱柱 1 1 1的体积 1 1 1 = (1 ) 1，
三棱锥 的体积 = 3 1，
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1
3 2
重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 3 1．
因为 // 1 1，因此 // 1 ，因此△ ∽△ 1，

因此 1 1 =1
=
1
= ，因此 = ．1 1
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，因此 //平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
因此 // ，因此 1 1// ，
则△ 1 1 1∽△ 1 ，故
1 1
△ 1 = 2 △ 1 1 1 = 2 ，
1 1
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 △ 1 = 3 2 1，
3 2 2 3
故三棱柱 1 1
1 3 2
1与三棱锥 1 的重合度 = 3 = ． + 1 3 2 31 3 2 1 1
2 +1
3
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2 3
因为 = 1 3 2 1 3 23，因此 2 3+1 = 3，因此 8 9 + 1 = 0，
因此( 1)(8 2 1) = 0 1 33 1+ 33，解得 = 1 或 = 16 或 = 16 ．
因为 0 < < 1 1+ 33，因此 = 16 ．
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