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2024-2025 学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 3 3在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图，已知 = ， = ， = 2 ，用 ， 表示 为( )
A. = 53 +
2 B. = 13 2 +
1
3

C. = 2 1 13 3 D. = 3 +
2 3
3.某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，举办 2023 年“一二 九”文艺汇演，其中对于高三(1)班
的大合唱“保卫黄河”，12 位评委的打分情况如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，
8.1，9.4，则这组数据的( )
A.极差为 1 B.众数为 8.4
C. 80%分位数为 8.9 D.第三四分位数为 9.05
4.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 30°，腰长为 2，如图，那么
它在原平面图形中，顶点 ′到 轴的距离是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
5.从 1，2，3，4 这 4 个数中，任取 2 个数求和，那么“这 2 个数的和大于 4”为事件 ，“这 2 个数的和
为偶数”为事件 ，则 + 和 包含的样本点数分别为( )
A. 1；6 B. 4；2 C. 5；1 D. 6；1
2
6.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“△ sin 1 为等腰直角三角形”是“sin2 1 = ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至
西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，
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有一点 从点 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点 经过 3 次跳
动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 的概率为( )
A. 116 B.
1
8 C.
1 1
4 D. 2
8.已知三棱锥 2 7的棱长均为 2，点 在△ 内，且 = 3 ，则点 的轨迹的长度为( )
A. 1 13 B. 2 C.
2
3 D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2 ∈ ，则下列说法中正确的是( )

A.若 1 = 1，则 1 ∈ B. ( 1 + 2)2 = | 1 + 2|2

C.若| 1| = | 2|，则 1 1= 2 2 D. | 1 + 2| ≤ | 1| + | 2|
10.设 1 3， 为两个随机事件，若 ( ) = 2， ( ) = 4，则下列结论中正确的是( )
A.若 ， 3相互独立，则 ( ∩ ) = 8
B. ( ∩ ) = 3若 8，则 ， 相互独立

C.若 3与 相互独立，则 ( ∩ ) = 8
D.若 与 相互独立，则 ( ∪ ) = 78
11.如图， 是圆锥 的底面圆 的直径，点 是底面圆 上异于 ， 的动点，已
知圆锥的底面积为 ，侧面积为 3 ，则下列说法正确的是( )
A.圆锥 的体积为 2
B.三棱锥 2 2的体积的最大值为 3
C.一只蚂蚁沿圆锥 的侧面从 点爬到 点处的最短路径的长度为 3
D.若二面角 的大小为 ，二面角 1 1 1的大小为 ，则tan2 + tan2 = 8
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，若 为 的中点， = 2， = 2，则 =______．
13.如图所示， ， ， ， 为空间四点，在△ 中， = 2， = = 2，等边
三角形 以 所在直线为轴旋转，当平面 ⊥平面 时， = ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三
角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条
圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的
交点)如图，已知锐角△ 外接圆的半径为 4，且三条圆弧沿△ 三边翻折
后交于点 .若 = 6，则 cos∠ = ______；若 ： ： = 6：5：4，则 +
+ 的值为______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了 100 名学生，统计了他们某一周的综合体育
活动时间(单位：时)，并按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]将样本数据分成 6 组，制成如图
所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生
中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时的概率．
16.(本小题 15 分)
已知锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , 3 )， = (2 , 3 )，
且 与 共线．
(1)求角 的值；
(2)若 = 2，求 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1，点 在 上(异于 ， )．
(1)若平面 分别交 1， 1， ， 于点 ， ， ， ，四边形 为平行四边形，求证： //平面 ；
(2)若 ⊥ 1，求异面直线 1 与 1 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = sin2 + 3 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 = 7， 为 中点， 2 ，求△ 的面积；
(3)在△ 内，将满足∠ = ∠ = ∠ 的点 称为△ 的布洛卡点.若 为△ 的布洛卡点，且
= = 2，求△ 的周长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.1
13.2
14.3 234 2
15.(1)第五组的频率为 1 2 × (0.05 + 0.075 + 0.10 + 0.125 + 0.050) = 0.2，
0.2
所以该组对应的小矩形高度为 2 = 0.100，
故补全频率分布直方图如下：

设样本数据的中位数为 ，平均数为 ．
因为样本数据在[0,6)的频率为 2 × (0.05 + 0.075 + 0.1) = 0.45 < 0.5，
样本数据在[0,8)的频率为 2 × (0.05 + 0.075 + 0.1 + 0.125) = 0.7 > 0.5，
则 ∈ (6,8)，所以 0.45 + 0.125 × ( 6) = 0.5，解得 = 6.4，

= 1 × 0.1 + 3 × 0.15 + 5 × 0.2 + 7 × 0.25 + 9 × 0.2 + 11 × 0.1
= 0.1 + 0.45 + 1 + 1.75 + 1.8 + 1.1 = 6.2，
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由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为 6.4 和 6.2．
(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于 8 小时的频率为(0.1 + 0.05) × 2 = 0.3．
记事件 1 =“抽取的第 1 名学生每周综合体育活动时间不低于 8 小时”，
2 =“抽取的第 2 名学生每周综合体育活动时间不低于 8 小时”，
由题意 1， 2相互独立．
利用频率估计概率， ( 1) = ( 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3．
记事件 =“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时”，

则 ( ) = ( 1 2 + 1 2 + 1 2) = 1 ( 1 2)
= 1 (1 0.3) × (1 0.3) = 0.51．
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8 小时的概率为 0.51．
16.解：(1)由于 与 共线： 3 3 (2 ) = 3( + )
2 3 = 0，
∴ sin( + ) 2 = 2 = 0，
∵ ≠ 0 1 ，∴ = 2，又△ 为锐角三角形，故 = 6．
5
(2) = = 1 =
2 (6 ) + 3 由正弦定理可得 ， = = = 3 + ，
△ ∈ (0, 由于 为锐角三角形，则 2 )，且 0 < =
5 < 6 2，

解得 ∈ ( 3 , 2 )，
2 2
∴ = 1 ( 3 + ) = 1 2 3 = 3 = tan 2 3，2 2sin2
∈ ( 3而2 6 , 4 )，即 tan 2 ∈ ( 3 , 1)，
∴ 2 3的取值范围为( 3 , 1 3)．
17.(1)证明：棱长为 2 的正方体 1 1 1 1，点 在 上(异于 ， )，如图，
∵四边形 为平行四边形，
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∴ // ，
又 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
∴ //平面 1 1 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 1 1 = ，
∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)连接 1 1， 1， 1 ， 1，且 1 ， 1交于 ，连接 1 ， ， 1 ，如图，
∵ ⊥ 1， 1 ⊥ ， 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，又 平面 1 1，
∴ ⊥ ，又四边形 为正方形，
∴ 为 的中点，∴ 1 = 2 + 21 = 2+ 4 = 6，
1
又 为 1 中点，∴ / / 1 ，且 = 2 1 = 2，
∴异面直线 1 与 1 的夹角为∠ 1(或其补角)，
在等腰三角形 1 1 中， 1 = 1 21 1 2，
2+ 2 2
由余弦定理训 cos∠ = 1 1 = 2+6 6 31 2 1 2× 2× 6
= 6 ，
3
即异面直线 1 与 1 的夹角的余弦值为 6 ．
18.(1)由 + = sin2 + 3 ，
得sin2 + sin2 + 2 = sin2 + 3 ．
由正弦定理，得 2 + 2 + 2 = 2 + 3 ，
整理得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理，得 = + = 12 2 = 2，
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又 ∈ (0, )，
所以 = 3．
(2)由题知 = 12 (
+ )，
所以| |2 = 14 (
+ )2 = 14 (|
|2 + | |2 + 2 )，
7 = 1则 ( 2 24 4 + + )，
所以 2 + 2 + = 7，
由(1)得， 2 + 2 2 = ，又 = 2，
所以 2 + 2 = 4，
3
联立，得 = 2，
△ 1 3 3故 的面积为 △ = 2 = 8 ．
(3)如图，设∠ = ∠ = ∠ = ，因为 = = 2，所以∠ = ，
由(1)知， = 3，所以 = 6，
在△ 中，设∠ = (0 < < 3 )，

由正弦定理得sin = sin ，
2
所以 = sin = 4 ，6
在△ 中，由上可知，∠ = 3 ，

由正弦定理，得sin( 3 )
= sin ，
所以 = 2 1sin( 3 )
= 4 ( 3 )
，
1
所以 4 = sin( 3 )
，
则 4 ( 3 ) = 1，
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整理，得 sin(2 + 6 ) = 1，

所以 2 + 6 = 2 + 2， ∈

，解得 = + 6， ∈ ，
又 0 < < 3，所以 =

6，
则∠ = + = 3，因此△ 为等边三角形，
在△ 中， = 2， = 2，∠ = 120°，
所以 2 = 2 + 2 2 2 3 = 12，
所以 = 2 3，
故△ 的周长为 3 = 6 3．
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