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2024-2025 学年四川省甘孜州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选
择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有( )
A. 7 种 B. 8 种 C. 9 种 D. 10 种
2.若随机变量 ～ (2, 2)，且 ( > 3) = 0.3，则 (1 < < 3) =( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
3.已知函数 ( ) = 3 ′(1) 2 + + 12，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 12 2
4.在等差数列{ }中，若 2 + 8 = 10， 4 = 4，则公差 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5.以下四个命题中，其中真命题为( )
A.在回归分析中，可用相关指数 2的值判断模型的拟合效果， 2越大，模型的拟合效果越好
B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越大
C.若数据 1， 2，…， 的方差为 1
1
，则2
1 1 1
1，2 2，…，2 的方差为2
D.对分类变量 与 的随机变量 2的观测值 来说， 越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大
6.“ = 1”是“函数 = 2 + 2 1 只有一个零点”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，设 =“甲中靶”，
=“乙中靶”，则( )

A. 与 ， 与 ， 与 ， 与 都相互独立

B. 与 是对立事件

C. ( ) = 0.98

D. ( ∪ ∪ ) = 0.02
8.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 8， 8 = 40，则 12 =( )
A. 52 B. 96 C. 106 D. 120
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{ }， 1 = 2， = 3，则( )
A.数列{ 1 } 1 是等比数列 B.数列{ }的前 项和是 3
1
3 1
C.数列{log2 }是等差数列 D.数列{log2 }的前 10 项和是 45 23
10.下列说法正确的是( )
A.从容量为 的总体中抽取一个容量为 的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同
方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 1， 2， 3则 1 = 2 = 3

B.若 ( ) = 1 , ( ) = 29 3 , ( ) =
1
3，则事件 与事件 相互独立
C.一个人连续射击 2 次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D.若 ( ) = 0.3， ( ) = 0.4，且事件 与事件 相互独立，则 ( ∪ ) = 0.58
11.已知函数 ( ) = 3 2 2 + 2 + 1 在 = 1 处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A. = 1 或 = 3 B.函数 ( )有且仅有一个零点
C.函数 ( )恰有两个极值点 D.函数 ( ) 6在(0, 5 )有最小值，无最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 ～ (3, 14 )，则 ( ) = ______．
13.甲、乙、丙、丁、戊五人完成 ， ， ， ， 五项任务所获得的效益如下表：现每项任务选派一人完成，
其中甲不承担 任务，丁不承担 任务的指派方法数有______种；效益之和的最大值是______．

甲 11 13 10 13 11
乙 25 26 24 23 23
丙 10 14 15 13 11
丁 7 9 11 9 11
戊 14 16 15 16 12
14.在△ 中，若 2 = cos( ) cos( + ) = ，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 1)10 = 2 100 + 1 + 2 + … + 10 ．
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(1)求 1 + 2 + … + 10的值；
(2)求 1 + 3 + 5 + 7 + 109的值. (参考数据：3 = 59049)
16.(本小题 15 分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间( 分钟/每天)和他们的数学成绩( 分)的关系，某实验小组做了调
查，得到一些数据如下表：
编号 1 2 3 4 5
10 20 30 40 50
70 80 100 120 130
(1)若该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求 关于 的回归直线方程. (参考数据：
5 =1 = 16600)
(2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了 160 位学生.按照参与课
后自主学习与成绩进步情况得到如下 2 × 2 列联表：
成绩没有进步成绩有进步合计
参与课后自主学习 5 135 140
未参与课后自主学习 5 15 20
合计 10 150 160
依据 = 0.001 的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
(
附：回归方程 = + )( )中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 2 , = ， =1 ( )
2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由 6 道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取 3 道，
若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的 4 道题．
(1)设 表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量 的分布列和方差；
(2) 1假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为2 .若各题作答结果互不影响，求他
通过预赛的概率．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 1 ) + + 1， ∈ ，函数 ( ) = ( 2) + 1．
(1)求 ( )的最小值；
(2)若 > 3．
①求 ( )零点的个数；
②证明： ( )的所有零点之和为定值．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 2 = + 2( ∈ )．
(1)求数列{ }通项公式；
(2) { } 数列 满足 = 2

，求数列{ }的前 项和 ；
(3)设 =
1
，求证：数列{ }中任意不同的三项都不能构成等差数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 916
13.79 80
14.43
15.解：(1)(2 1)10 = + + 2 100 1 2 + … + 10 ，
令 = 1，
则 0 + 1 + 2 + + 10 = 1①，
令 = 0，
则 0 = 1，
故 1 + 2 + … + 10 = 0；
(2)令 = 1，
则 100 1 + 2 + 10 = 3 ②，
① ②
2 可得， 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 29524．
16. (1)由题意易得 = 30， = 100，
5 又 =1 ( )( ) = 20 × ( 30) + ( 10) × ( 20) + 10 × 20 + 20 × 30 = 1600，
5 2 2 2 2 =1 ( ) = ( 20) + ( 10) + 10 + 20
2 = 1000，
1600
所以 = 1000 = 1.6， = = 100 1.6 × 30 = 52，
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所以 = 1.6 + 52；
2
(2) 2 = 160×(5×15 135×5)由题意有 140×20×10×150 ≈ 13.714 > 10.828，
所以在犯错概率不超过 0.001 的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关．
17.(1)由题易知 的所有可能取值为 1，2，3，
1 2 2 1 3 0
则 ( = 1) = 4 2 = 4 = 13 20 5， ( = 2) =
4 2 12 3
3 = 20 = 5， ( = 3) =
4 2
3 =
4
20 =
1
6 6 6 5
，
所以 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
1 3 1
故随机变量 的期望 ( ) = 1 × 5 + 2 × 5+ 3 × 5 = 2，
所以 的方差 ( ) = (1 2)2 × 15 + (2 2)
2 × 3 + (3 2)2 × 1 25 5 = 5；
(2)设事件 1 =“选手甲抽到 道会做的题目， = 1，2，3”，
事件 =“选手甲通过预赛”，
则 = 1 ∪ 2 ∪ 3，且 1， 2， 3两两互斥，并且 = 1 + 2 + 3 ，
(1) 1 1 1由 知， ( 1) = 5，又 ( |
2
1) = 1 × ( 2 ) = 4，
1 1 1
所以 ( 1 ) = ( 1) ( | 1) = 5 × 4 = 20，
3 1 3 1 1
同理 ( 1 ) = ( 1) ( | 2) = 25 × 1 × 2 = 10， ( 3 ) = ( 3) ( | ) = × 1
3
3 5 = 5，
1 3 1 11
由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率 ( ) = 20+ 10 + 5 = 20．
18.(1)函数 ( ) = ( 2) + 1 定义域为 ，则 ′( ) = ( 1) ，
当 < 1 时， ′( ) < 0；当 > 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( ∞,1)上递减，在(1, + ∞)上递增，
所以当 = 1 时，函数 ( )取得最小值 (1) = 1 ；
(2)①函数 ( ) = ( + 1 ) + + 1 的定义域为 ，则 ′( ) = ( + 2 ) + 1，
令 ( ) = ′( ) = ( + 2 ) + 1，求导得 ′( ) = ( + 3 ) ，
因为 > 3，所以当 < 3 时， ( ) < 0，当 > 3 时， ( ) > 0，
所以函数 ′( )在( ∞, 3)上递减，在( 3, + ∞)上递增，
′( ) = ′( 3) = 1 3 < 0，
又 ′( ) = 2 + 1 > 0，则存在 1 ∈ ( 3, )，使得 ′( ) = 0，
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′( ) = (2 2 ) + 1 = 2 2 + ，
令 ( ) = 2 2 + ，求导得 ′( ) = 2 + > 0，
函数 ( )在(3, + ∞)上递增， ( ) > (3) = 3 4 > 0，即 ′( ) > 0， ′(0) = 3 < 0，
因此存在 2 ∈ ( , 0)，使得 ′( 2) = 0，
当 < 2或 > 1时， ′( ) > 0，当 2 < < 1时， ′( ) < 0，
函数 ( )在( ∞, 2)，( 1, + ∞)上单调递增，在( 2, 1)上单调递减，
而 (0) = 0，则 0 是 ( )的一个零点，且 ( 2) > 0 > ( 1)，
又 ( ) = (1 2 ) 1 < 0， ( ) = + 2 1 > 0，
因此函数 ( )在( ∞, 2)，( 1, + ∞)上各有一个零点，所以 ( )零点的个数为 3；
1
②证明： ( ) = ( + 1 ) + + 1 = ( + 1) ( 1)( 1) = ( + 1)[ ( 1) +1 ]，

而 + 1 > 0，由 ( ) = 0，得 ( 1) 1 +1 = 0，

令 ( ) = ( 1) 1 +1，
( ) = ( 1) 1 1 +1 = + ( 1) +1 = ( )，
则函数 ( )为 上的奇函数，函数 ( )的图象关于原点对称，
因此 ( )的所有零点和为 0，所以 ( )所有零点和为 0，是定值．
19.(1)根据数列{ }的前 项和为 ，且 2 = + 2( ∈ )，
当 = 1 时， 1 = 1 = 2 1 2，解得 1 = 2，
当 ≥ 2，由 = 2 2，可得 1 = 2 1 2，

作差得 1 = = 2 2 (2 1 2)，化简得 = 2， 1
可知数列{ }为等比数列，所以 = 2 × 2 1 = 2 ．
(2) = 2 = 2

可知 2 = ， 2 2
则 = 1 + 2 + 3 + + =
1
2 +
2 3
22 + 23 + + 2 ，
1
则2
1 2 3
= 22 + 23 + 24 + +
1
2 + 2 +1，
1
1 1 1 1 (1
1
) 2+
作差得 2 22 = 2+ 22 + + 2 2 +1 = ，化简得 = 2 ．1 1 2 +1 2 2
(3) 1 1 1已知 = = 2 ，可知( , )在函数 ( ) = 2 上，
设等差数列 = + ，是一个首项为 + ，公差为 的等差数列，
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则( , )在函数 ( ) = + 上，
可知 = ( )是指数函数， = ( )是一次函数，
易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在 = ( )上，又在 = ( )上，
即数列{ }中任意不同的三项都不能构成等差数列．
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